Genel Vektorler 1 VEKTÖRLER Yazar : Dr. Tayfun Demirtürk E-posta: tdemirturk@pau.edu.tr 2 Bir fizik problemini çözmeye ba şlamadan önce ele aldı ğımız problemde kullanılan ifadelerin ne tür nicelik oldu ğunu bilmemiz kullanaca ğımız matematik dili için çok önemlidir. Çünkü her iki nicelik içinde kullanılan matematik dili farklıdır. Sözün özü, fizikte, iki tür nicelik bulununur. 1. Skaler nicelikler: Sadece büyüklük ve birim ile ifade edilen niceliklerdir. Bunlardan bazıları: Örnekler Simge Büyüklük Birim Kütle m 3 kg Zaman t 8 saat Enerji E 500 kw.saat İş W 300 joule Güç P 80 watt Elk. Yükü q -3 coulomb Hacim V 2 litre Alan S 5 cm 2 Uzunluk l 3 metre Sürat s 25 m/sn Yol d 30 km Skaler niceliklerde kullanılan matematik basit cebirsel i şlemlerdir (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi). Bu i şlemlerde i şaretlerin kullanılması çok önemlidir, çünkü i şleme dâhil edilirler. Örnek: 3 kgE + 5 kgE = 8 kgE 8 kgE – 2 kgE = 6 kgE 6 kgE ÷ 3 = 2 kgE 2 kgE * 200 Tl/kgE = 400 Tl 3 2. Vektörel nicelikler: Büyüklük ve birimi dı şında birde yön ile ifade edilen niceliklerdir, kısaca yönlü büyüklüklerdir. Örnekler Simge Büyüklük Birim Yön Kuvvet F F r ? 80 N sa ğa Yerde ği ştirme X X r ? 25 m kuzey Hız V V r ? 30 km/h batı İvme a a r ? 10 m/sn 2 güney Moment M M r ? 25 N.m × Herhangi bir ifadenin, vektörel bir nicelik oldu ğunu belirtmek için, simgesinin üzerine bir ok i şareti “ ›” koyulur ya da koyu renkte gösterilir. Bir ifadenin vektörel bir nicelik olabilmesi için şu dört ko şulunda belirtilmesi gerekir. i. Ba şlangıç noktası ii. Do ğrultusu iii. Yönü iv. Büyüklü ğü Vektörler, simgesel olarak ok ile gösterilir. Vektörel niceliklerde toplama (bile şke bulma) yapılırken artık skaler i şlemlerde oldu ğu gibi basit cebirsel i şlemleri kullanmak tek ba şına yerterli olmayabilir. Vektörlerde kullanılan matematik ço ğunlukla geometrinin ve trigonometrinin esaslarına dayanır, onun için bazı geometrik ve trigonometrik kaideleri çok iyi bilmeliyiz. i iv iii ii 4 COS İNÜS TEOREM İ Herhangi bir üçgende iki kenarın büyüklü ğü ve aralarındaki açı biliniyorsa bilinmeyen üçüncü kenarı bulmak için kullanılır. CosC b a b a c CosB a c a c b CosA c b c b a . . . 2 . . . 2 . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - + = - + = - + = sabit SinC c SinB b SinA a = = = Görüldü ğü gibi A, B ve C iç açılardır. SİNÜS TEOREM İ Herhangi bir üçgende iki açının de ğeri ve en az bir kenarın uzunlu ğu biliniyorsa bilinmeyen di ğer kenarların uzunlu ğunu bulmak için kullanılır. Yani, bir üçgende her bir kenarın uzunlu ğunun, gördü ğü açının Sinüs’üne oranı daima sabit ve birbirine e şittir. Büyük açı ? Büyük kenar Küçük açı ? Küçük kenar P İSAGOR TEOREM İ Sadece dik üçgenler için uygulanır. Herhangi bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamının karekökü hipotenüsü verir. 2 2 2 b a c + = ayrıca ? ? ? ? ? ? ? ? Tan b a Cot Cot a b Tan Sin c a Cos Cos c b Sin = = = = = = = = Tanımlardanda anla şılaca ğı gibi birbirini 90 o dereceye tamamlayan açıların “Sin” ve “Cos” de ğerleri birbirine e şittir. ? ? ? + ? = 90 o A B C b c a A C B a b c 5 Ayrıca bazı trigoneometrik açılımlarıda hatırlamada fayda var: bunlardan bazıları, Sin(A+B) = SinA.CosB+SinB.CosA Cos(A+B) = CosA.CosB-SinA.SinB Sin(A-B) = SinA.CosB-SinB.CosA Cos(A-B) = CosA.CosB+SinA.SinB Bazı Fonksiyonların Tanım Şekli ve Grafiklerinin Çizilmesi: • y = ± c 1 ve x = ± c 2 ( “c” herhangi bir sabit sayı) • y = mx + n (1. dereceden bir polinom) m ? do ğrunun yatay (x) eksenle yaptı ğı açının tanjantı yani e ğimi (m=tan?), n ? do ğrunun dü şey eksen (y) i kesti ği nokta y x +c 1 +c 2 y x ? ? n -n/m y x ? ? n +n/m e ğim + e ğim - y x -c 1 -c 2 6 • y = ax 2 + bx + c (2. dereceden bir polinom) (a,b,c birer reel sayıdır) • x= ay 2 +by+c (a,b,c birer reel sayıdır) y x x 1 x 2 c y x x 1 x 2 c (4ac-b 2 )/(4a) -b/2.a -b/2.a (4ac-b 2 )/(4a) c a b a b x . . 4 . 2 2 2 , 1 - = ? ? ± - = Eğer ‘a’ pozitif i Eğer ‘a’ negatif i y x y 2 y 1 c y x y 2 y 1 c 7 VEKTÖRLERDE TOPLAMA İŞLEM İ › A : A vektörü A veya IAI : A vektörünün büyüklü ğü diye okunurlar. • Vektörler aynı do ğrultu ve yönlü iseler: A şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi, bir cismin üzerine aynı do ğrultu ve yönlü olarak etkiyen iki kuvvet vektörümüz olsun. İki vektörün do ğrultu ve yönleri aynı ise bile şke vektörün büyüklü ğü bu vektörlerin büyüklükleri toplamına e şittir. Ayrıca, bile şke vektörde di ğer vektörlerle aynı do ğrultu ve yönlüdür. Bile şke ( R ) = Toplam ( ? ) ? • Vektörler aynı do ğrultulu fakat ters yönlü iseler: A şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi, bir cismin üzerine aynı do ğrultulu fakat ters yönlü olarak etkiyen iki kuvvet vektörümüz olsun. İki vektör aynı do ğrultulu fakat ters yönlü ise bile şke vektörün büyüklü ğü bu vektörlerin büyüklükleri farkına e şittir ayrıca bile şke vektör büyük kuvvet ile aynı do ğrultu ve yönlüdür. 2 1 2 1 F F R F F R - = ? + = 12 12 R FF RFF ››› = +?=+ Bile şke (Toplam) Vektör Notasyanu Bile şke vektörün büyüklü ğünün bulunması F 1 F 2 F 1 F 2 R ? F 1 F 2 F 1 F 2 R ? Bile şke (Toplam) Vektör Notasyanu Bile şke vektörün büyüklü ğünün bulunması 8 • Vektörler aynı do ğrultulu de ğil iseler: Peki ya bizim vektörlerimiz aynı do ğrultulu de ğil ise, ne yapmamız gerekiyor? İşte böyle bir durumda kısaca, iki vektörün bile şkesinin büyüklü ğü vektörlerin büyüklükleri farkından ya büyük-e şittir yada büyüklükleri toplamından küçük-e şittir denir. 2 1 2 1 F F R F F + ? ? - Yukarıdaki bu durum, hatırlarsanız, bir üçgendede herhangi bir kenarın uzunlugu di ğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük ya da uzunlukları toplamındanda küçüktür prensibiyle uyu şmaktadır. Soru: Herhangi üç vektörün bile şkesinin büyüklü ğünün alabilece ği max ve min de ğerleri için ne söyleyebiliriz? Cevap: Her üç vektörde aynı yönlü iseler, bile şke maximumdur: R max =F 1 +F 2 +F 3 dür. R min i bulma testi: R min i bulmak için önce bile şkenin sıfır olup olmayaca ğını kontrol etmeliyiz. Bunun için öncelikle bu üç vektörden herhangi ikisi seçilir ve bu iki vektörün max ve min bile şke de ğerleri bulunur. E ğer geride kalan 3. vektörün büyüklü ğü buldu ğumuz min ve max bile şke de ğerlerin arasında ise bize verilen bu üç vektörün bile şkesinin min de ğeri kesinlikle sıfırdır aksi takdirde de ğildir. Bu takdirde bile şkenin min de ğeri en büyük vektörden di ğer iki küçük vektörün büyüklükleri çıkartılarak bulunur. a b c F 1 F 2 F 3 F 1 , F 2 F 3 R max =F 1 +F 2 R min =F 1 -F 2 E ğer, [F 1 -F 2 ? F 3 ? F 1 +F 2 ] ise bile şke (R) yani R min sıfırdır. Aksi takdirde: R min = F 3 - (F 1 +F 2 ) dir. (F 1 ve F 2 en küçük büyüklüklere sahip olmak ko şuluyla) a-b < c < a+b 9 • Şimdide vektörlerin do ğrultuları farklı ise bile şke vektörün yönü ve büyüklü ğü nasıl bulunur buna bakalım. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. A + B = R nin do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü nedir? Bile şke vektörü bulmak için birkaç yöntem vardır, bunlardan bazıları: 1. Uç- Uca ekleme yöntemi. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. A + B = R nin do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü nasıl bulunur? Önce vektörler do ğrultu, yön ve büyüklükleri de ği ştirilmeden birinin ba şlangıç noktası di ğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yeniden çizilir. Birinci vektörün ba şlangıcından di ğer vektörün bitimine do ğru çizilen do ğru bile şke vektördür. Birinci vektörün ba şlangıcı bile şkeninde ba şlangıcı, di ğer vektörün bitim noktasıda bile şkenin bitim noktasıdır. Görüldü ğü gibi bu şekil bir üçgendir, hemen üçgenlerdeki COS teoremini hatırlayarak bilinmeyen üçüncü kenar yani bile şke vektörün büyüklü ğünü bulabiliriz. Peki, bile şkenin büyüklü ğünü bulduk ama do ğrultusunu (bile şke vektörün herhangi bir eksenle yaptı ğı açı) bulabilirmiyiz. Evet, nasılmı? Tabiki S İNÜS veya COS teoremini tekrardan uygulayarak. Bu sefer; B A ? A B ? C 2 = A 2 + B 2 - 2.A.B.Cos(180- ?) Cos(180- ?) = - Cos ? C 2 = A 2 + B 2 + 2.A.B.Cos ? A, B ve ? bilinenleriyle C ve ?= ? ? : dı ş açı B C ? A ? B 2 = C 2 + A 2 - 2.C.A.Cos( ?) Cos( ?) = [C 2 + A 2 - B 2 ] / [2.C.A] 10 2. Paralel Kenar yöntemi. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. A + B = R nin do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü nasıl bulunur? Önce vektörler, ba şlangıç noktaları çakı şacak şekilde do ğrultu, yön ve büyüklükleri de ği ştirilmeden yeniden çizilir. Daha sonra vektörlerin bitim noktalarından di ğer vektöre paralel do ğrular çizilir. Vektörlerin ba şlangıç noktalarından paralel do ğruların kesi şim noktasına çizilen do ğru bile şke vektördür. Vektörlerin ba şlangıcı bile şkeninde ba şlangıcı, paralel do ğruların kesi şim noktası ise bile şkenin bitim noktasıdır. Görüldü ğü gibi paralel kenarın bir kısmı uç-uca ekleme yönteminde olu şan üçgenin aynısıdır. Bundan yararlanarak yani COS İNÜS teoremini uygulayarak bile şke vektörün büyüklü ğü bulunur. Özel durumlar: Bazı özel durumlar vardırki “matematikteki çarpım tablosunu bilmek gibi” bunları önceden bilmek bize hem i şlem kolaylı ğı hemde zamandan kazanç sa ğlar. Mesela: • E ğer iki vektörün büyüklükleri aynı ise, bile şke vektör daima açıortay do ğrultusundadır. C 2 = A 2 + B 2 - 2.A.B.Cos(180- ?) Cos(180- ?) = - Cos ? C 2 = A 2 + B 2 + 2.A.B.Cos ? A, B ve ? bilinenleriyle C = ? A B C ? ? : dı ş açı F F R= ?2.F R F F R= ?3.F R 60 0 F F R R=F 120 0 A B ? 11 VEKTÖRLERDE ÇIKARMA İŞLEM İ Evet, yanlı ş okumadınız vektörlerde de çıkarma, hatta çarpma ve bölme i şlemide var, bunları zamanla sırası geldikçe anlataca ğız. Vektörlerde çıkarma i şlemine girmeden önce “Negatif Vektör” kavramını ö ğrenelim: Negatif Vektör: Herhangi bir vektörün do ğrultusu ve büyüklü ğü de ği ştirilmeden yönü 180 derece çevrilmi ş (yani ters döndürülmü ş) olan haline o vektörün negatif vektörü denir. Örne ğin: Şimdide şu iki vektörün farkını bulalım: A – B = ? Biz bunu şu şekildede yazabiliriz ve anlamda bir de ği şiklik olmaz: Dolayısıyla buda, A vektörünün -B vektörü ile toplamıdır. Sizin anlayaca ğınız çaktırmadan fark i şlemini negatif vektör tanımını da kullanarak daha önceden ö ğrendi ğimiz toplama i şlemine dönü ştürmü ş olduk. Şimdi bu i şlemin uygulamasını görelim. Örnek soru: Uç-uca ekleme yöntemini uygularsak, A -A B -B C -C A - B = A + (-B) A B ? C = A - B yi bulun. A B -B ? ? 12 A, B ve ? bilinenleriyle Umarım burada dikkat edilecek hususu hemen hatırladınız de ğilmi. Hani şu iç açı, dı ş açı meselesi. KAPALI VEKTÖR D İAGRAMLARI Kapalı bir vektör diagramında, vektörlerin yönleri dikkate alınarak yapılan toplamı daima sıfıra e şittir. Peki bu i şlemi nasıl uygularız: Önce diagram üzerinde kendimize bir sabit nokta ve diagram üzerinde dolanmak için bir hareket yonü tespit ederiz. Seçti ğimiz nokta ve hareket yönünde vektörler üzerinde hareket eder iken e ğer vektör bizim hareket yönümüz ile aynı yönlü ise onu pozitif (+) bir vektör, hareketimiz ile ters yönlü ise onu negatif (-) bir vektör kabul ederek vektörel toplama yaparız, hareket noktamıza geri gelinceye kadar. Harekete ba şladı ğımız noktaya geri dondü ğümüzdede yazdı ğımız bu toplamın sonucunu sıfıra e şitleriz. A B C D E F G H I II III C 2 = A 2 + B 2 - 2.A.B.Cos ? ? : iç açı O A -B ? C I) A – B – C – G + H = 0 ? A + H = B + C + G II) D + E + F – C = 0 ? D + E + F = C III) A – B – C + D + E – G + H = 0 ? A + D + E + H = B + C + G 13 Şu ana kadar hep iki vektörün bile şkesini bulmayı gördük. Peki, ikiden fazla vektörümüz olsaydı ve bunların bile şkesini bulmak isteseydik hala COS teoremini uygulamakta ısrarmı edecektik. Kesinlikle hayır, e ğer COS teoremini uygulayarak çoklu vektörlerin bile şkesini bulmaya yeltenseydik bu bize vakit kaybından ve ızdıraptan ba şka bir şeye mal olmazdı. Peki, bu durum kar şısında ne yapaca ğız. İşte bu gibi durumlar için yeni bir metot daha ö ğrenece ğiz. B İLE ŞENLER İNE AYIRMA METODU Bir vektörün kendisini meydana getirebilecek en az iki dik vektör cinsinden ifade edilmesine bile şenlerine ayırma denir (bu sayı illa iki mi olmak zorundadır?). Ya da, bir vektörün, herhangi bir koordinat sistemine yerle ştirilmi ş iken, bu vektörün her bir koordinat ekseni üzerindeki dik izdü şümlerine o vektörün dik bile şenleri denir. Dolayısıyla, bir vektörü, kendisini meydana getirebilecek sonsuz sayıda dik bile şenler cinsinden ifade etmek mümkündür. Nasılmı? Sadece vektörün ba şlangıç noktasına yerle ştirece ğiniz koordinat sistemini biraz çevirin göreceksiniz Şimdi bir vektörü yerle ştirece ğimiz koordinat sistemine göre bile şenlerine ayırmasını görelim. Bir dik üçgendeki S İN ve COS tanımlarından yararlanırsak: A = A x + A y = A.Cos ?+A.Sin ? A = A x ’ + A y ’ = A.Cos ?+A.Sin ? x y A x A y ? A x x’ y y’ A A x A y A x ’ A y ’ x’ A x’ y’ A y’ ? A ? ? ? ? ? ? ? ? Sin A A Cos A A Sin A A Cos Cos A A Sin A A Cos A A Sin x x x y y y . yada . . yada . = = = = = = = = y x A A x A y ? ? ? ? A x A y ?+?=90 14 Dikkat: Bir açının kom şulu ğundaki dik kenarın uzunlu ğunu hesaplarken Kom şu kelimesi size COS inüsün, açının kar şısındaki dik kenarın uzunlu ğunu hesaplarken de Kar şı kelimesi size S İN üsün kullanılaca ğını hatırlatmalı O. Şimdide bile şenlerine ayırma yönteminden yararlanılarak bile şke vektörün nasıl bulunaca ğına bir bakalım. Soru: A + B + C = ? X Y A + A.Cos ? + A.Sin ? B - B.Sin ? + B.Cos ? C 0 - C R R x R y R x ve R y dik bile şkeleri yeni bir kartezyen koordinat sistemine ta şır ve buradanda bile şke sonuç vektörünün büyüklü ğünü ve do ğrultusunu hesaplarız. İşte bu i şlemler yapılarak bile şke vektörün büyüklü ğü, do ğrultusu ve yönü bulunur. Örnek: A şa ğıdaki istenen sonuç vektörlerini bulunuz? A+B+C+D=? A-2B+C=? B A C B C D A R x = A.Cos ? - B.Sin ? sonucun i şareti “+” farzedelim R y = A.Sin ? + B.Cos ? – C sonucun i şareti “+” farzedelim y x R x R y R ? R 2 = R x 2 + R y 2 R = (R x 2 + R y 2 ) ½ tan ? = R y / R x A B C ? ? B y B x A y A x x y 15 UNUTMAYALIM • E ğer bir cismin üzerine etkiyen kuvvetlerin toplamı sıfır ise bu cisim ya duruyordur ya da sabit bir hızla hareket ediyordur. • Bir cisim daima üzerine etki eden kuvvetlerin bile şkesi do ğrultusu ve yönünde hareket eder. • E ğer bir cismin üzerine etkiyen kuvvetlerin toplamı sıfır ise (bu cisim ya duruyordur, ya da sabit hızla hareket ediyordur), cismin üzerine etkiyen bu kuvvetlerin bile şenleri toplamıda sıfırdır. • Vektörlerde toplama i şleminde yerde ği ştirme özelli ği vardır. Yani: A + B = B + A dır. Şekildeki noktasal cismin dengede kalabilmesi için uygulanması gereken 4. kuvvetin yönünü, do ğrultusunu ve büyüklü ğünü bulunuz. V=0 duruyor ?F=0 ise yada V=sabit hızla Cismin hareket do ğrultusu R F 2 F 1 ?F x =0 V = 0 duruyor ?F = 0 ise ve yada ?F y =0 V = sabit hızla F 1 F 2 F 3 F 1 F 1 +F 2 F 2 +F 3 F 3 vektörünü bulunuz. 16 • E ğer bir cisim üç kuvvetin etkisi altında ve dengede (cisim duruyor veya sabit hızla hareket ediyor) ise kuvvetlerden herhangi ikisinin bile şkesinin büyüklü ğü üçüncü kuvvete e şit fakat ters yönlüdür. Ayrıca buradaki (üç kuvvetin etkisi altında olan cisim için) denge ile ilgili i şlemler için S İNÜS teoremini kullanmak çok büyük kolaylık sa ğlar, buda. 3 12 F FF Sin Sin Sin ? ?ß == dir. Tabiki bile şenlerine ayırma yöntemini uygulayarak herbir bile şkeyi sıfırada e şitliyebilirsiniz. • Sinüs teoremi sadece üç kuvvetin etkisinde ve dengede olan cisimler için geçerlidir. A şa ğıdaki şekilde, Sinüs teoreminin bir uygulaması ve ispatı görülmektedir. Not: Sin(180- ?)=Sin( ?) 3 12 F FF Sin Sin Sin ? ?ß == • Dengenin Birinci Şartı: E ğer bir cismin üzerine etkiyen kuvvetlerin toplamı (bile şke kuvvet ya da net kuvvet de denebilir) sıfır ise bu cisim ya duruyordur ya da sabit hızla bir do ğru boyunca hareket ediyordur denir. F 1 +F 2 = -F 3 Dengede ise ?F=F 1 +F 2 +F 3 =0 F 2 +F 3 = -F 1 F 1 +F 3 = -F 2 F 1 F 2 F 3 180- ? 180- ? 180- ß F 1 F 3 F 1 F 2 F 1 F 2 F 3 ? ? ß ) ( ) ( ) ( ß ? ? - = - = - 180 180 180 3 2 1 Sin F Sin F Sin F 17 VEKTÖRLERDE ÇARPMA: Evet, yanlı ş okumadınız, vektörlerde çarpma diye bir i şlem vardır ve hatta ileride vektörlerde bölme i şleminide görece ğiz O. 1. Bir vektörün skaler bir nicelikle çarpılması: Bir vektör skaler bir büyüklükle ya da skaler bir nicelikle çarpıldı ğı zaman yine bir vektör elde ederiz. Elde etti ğimiz bu vektör çarpılan vektörle aynı do ğrultuludur, yönü ise çarpanın i şaretine ba ğlıdır. E ğer çarpan pozitif bir büyüklük ise elde edilen vektör çarpılan vektör ile aynı yönlüdür, e ğer çarpan negatif bir büyüklük ise elde edilen vektör çarpılan vektör ile ters yönlüdür. Örnek verecek olursak: 2. İki vektörün skaler çarpımı: İki vektörün skaler çarpımı sonucu skaler bir nicelik elde edilir. İki vektörün skaler çarpım yaptı ğını “.” i şaretinden anlarız ve buna skaler çarpım operatörü denir. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. Örnek verecek olursak, fizikte kullandı ğımız İŞ (W) formülünü hatırlayalım. A 3.A -2.A A B ? ?: A ile B vektörleri arasındaki açı ? Cos B A B A . . . = › › x y A B ? x’ y’ Kısaca: iki vektörün skaler çarpımında esas olan vektörlerden herhangi birisinin büyüklü ğü ile di ğer vektörün bu vektöre göre olan paralel bile şeninin büyüklükleri çarpımına e şittir ve sonuç tekrar hatırlatıyorum skaler bir büyüklük veya niceliktir. Ayrıca, skaler çarpma i şleminde yer de ği ştirme özelli ği vardır. Yani: A . B = B . A dır. 18 3. İki vektörün vektörel çarpımı: İki vektörün vektörel çarpımı sonucu, e ğer sonuç sıfırdan farklı ise, bir vektör elde edilir ve elde edilen bu vektör di ğer iki vektörede aynı anda diktir. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun: Şekildeki bu iki vektörün vektörel çarpımı sonucu “C” gibi bir vektör elde edilir ve elde edilen bu vektörün büyüklü ğü: ? : A ile B vektörleri arasındaki açı ile bulunur, peki ya bu elde edilen vektörün yönü nasıl bulunur. İşte yönü bulmak için “Sa ğ el kuralı” diye adlandırılan bir yöntem uygularız. Şunuda belirtmeliyimki vektörel çarpma i şleminde skaler çarpma i şleminde oldu ğu gibi yer de ği ştirme özelli ği yoktur. Vektörlerin yerleri de ği ştirilerek yapılan vektörel çarpma i şleminde yeni bir vektör elde edilir yani: F X ? F x F y F x // X ? W x ? 0 F y ? X ? W y = 0 ? F.X.Cos . F Skaler : W Vektör : X Vektör F: = = › › 4 3 42 1 X W ? Sin B A C B A C . . = × = A B - B A A B B A × = × × ? × A B ? düzlem 19 Sa ğ el kuralı: A şa ğıda belirtilen vektörel çarpıma göre bu yöntemin nasıl uygulandı ğını görelim. A ve B birbirine paralel olmayan ve büyüklükleri sıfırdan farklı iki vektör olsun. 1. Önce sa ğ elin ilk üç parma ğı (ba ş, i şaret ve orta parmaklar) birbirine dik konuma getirilir. 2. Seçilecek parmaklardan herhangi birisi (mesela i şaret parma ğı) A vektörünün yönünü göstersin, 3. bu parmaktan sonra saatin tersi yönünde (pozitif hareket yönü) hareket ederken rastladı ğımız di ğer parmak (orta parmak) B vektörünün yönünü gösterecek şekilde elimizi ayarlarsak B A C × = A + dönme yönü + dönme yönü + dönme yönü A B + dönme yönü 20 4. Açıkta kalan üçüncü parmak (ba şparmak) elde edilen C sonuç vektörünün yönünü otomatikman gösterecektir. : Sayfa düzleminden a şa ğı do ğru : Sayfa düzleminden yukarı do ğru Formule göre parmakların tanımlanma sırası Şimdi benzer soruyu şöyle soralım. Vektörünün yönü nasıl gösterilir? Görüldü ğü gibi, {A x B = - B x A} dır, yani: vektörel çarpma i şleminde yerde ği ştirme özelli ği yoktur. Not: Dikkat edilecek olursa, iki vektörün vektörel çarpımından elde edilen büyüklük bize o iki vektör tarafından olu şturulan bir paralelkenarın alanını tanımlamaktadır. O x C = A x B -C = B x A A B + dönme yönü C A B C × = - A B C + dönme yönü A B -C x x 21 Peki, bu vektörel çarpım i şlemini Fizikte nerede kullanırız? Vektörel çarpım i şleminin birçok yerde uygulaması vardır bunlardan bazıları: Moment, magnetik kuvvet, …..gibi hesaplamalarda sıklıkla kullanılır. Moment ile ilgili bir örnek verecek olursak: ? : F ile d vektörleri arasındaki açıdır. Peki, moment vektörünün yönü nedir? Hadi bunuda siz bulun. O ? Sin d F M d F M . . = × = d F ? 22 • B İR İM VEKTÖR NOTASYONU A şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi, bir A vektörümüz ve bu A vektörünün ba şlangıç noktasınada, üç boyutlu bir dik (kartezyen) koordinat sistemi yerle ştirilmi ş olsun. Şekilde görülen i, j, k vektörleri sırasıyla x, y, z koordinat sisteminde tanımlanmı ş birim vektörlerimiz olmu ş olsun. Birim Vektör: Büyüklü ğü 1 birim olarak kabul edilen vektöre denir, (i, j, k). Burada, i : x ekseni üzerindeki birim vektör, j : y ekseni üzerindeki birim vektör, k : z ekseni üzerindeki birim vektör dür. Bazen i, j, k birim vektörleri e 1 , e 2 , e 3 veya x ˆ , y ˆ , z ˆ gibi ba şka simgelerlede ifade edilebilir. Dolayısıyla, herhangi bir vektörü kendisini meydana getirebilecek dik bile şenler cinsinden ifade edebilece ğimiz gibi aynı vektörü birim vektörler cinsinden de ifade edebiliriz. Mesela, şekilde görülen A vektörünü: A = A x + A y + A z şeklinde ifade edebildi ğimiz gibi, A = A x i + A y j +A z k şeklindede ifade edilebilir. z k j i y x A x A A z A y A vektörü A = A x i + A y j + A x k A vektörünün büyüklü ğü IAI = A = (A x 2 + A y 2 + A x 2 ) 1/2 A x : A vektörünün x dik bile şeni A y : A vektörünün y dik bile şeni A z : A vektörünün z dik bile şeni 23 Birim vektör notasyanu ile vektörlerde Toplama ve Çıkarma i şlemi: Genel olarak: R x , R y ve R z dik bile şenleri bulunduktan sonra bile şke R: R = (R x 2 + R y 2 + R z 2 ) 1/2 i şlemiyle bulunur. Yada; z k j i y x ( A x , A y , A z ) A B C ( B x , B y , B z ) ( C x , C y , C z ) A vektörü A = A x i + A y j + A z k B vektörü B = B x i + B y j + B z k C vektörü C = C x i + C y j + C z k Oldu ğunu kabul edersek, A + B = B + A = (A x + B x )i + (A y + B y )j + (A z + B z )k A - B = - B + A = (A x - B x )i + (A y - B y )j + (A z - B z )k A + B + C = (A x + B x + C x )i + (A y + B y + C y )j + (A z + B z + C z )k şeklinde i şlem yapılır. ±A ± B ± C = (±A x ± B x ± C x )i + (±A y ± B y ± C y )j + (±A z ± B z ± C z )k dır. R x R y R z z y x R x R R z R y ? ? ? R vektörünün dik bile şenleri R, ?, ? ve ? bilinenleriyle R x = R.Cos ?.Cos ? R y = R.Cos ?.Sin? R z = R.Cos ? ile bulunur. R vektörünün do ğrultusu R, ?, ? ve ? bilinenleriyle Tan ? = R y / R x Cos ? = {(R x 2 + R y 2 ) 1/2 } / R Cos ? = R z / R ile bulunur. 24 Birim vektör notasyanu ile vektörlerde Çarpma ve Bölme i şlemi: Skaler Çarpma ( ?) : İki vektörün skaler çarpım yaptı ğını belirten simge iki vektörün arasına koyulan basit bir nokta i şaretidir ( ?). Birim vektör notasyonuyla birlikte skaler çarpma yaparken a şa ğıdaki tablonun sonuçlarına dikkat etmeliyiz. • İki vektörün skaler çarpımı sonucu skaler bir büyüklük elde edilir. • İki vektör birbirlerine dikse skaler çarpımlarının sonucu sıfırdır. • İki vektör birbirlerine paralel ise sonuç sıfırdan farklıdır. Örnek: A = A x i + A y j + A z k ve B = B x i + B y j + B z k gibi iki vektörümüz olsun ve bunların skaler çarpımlarını yapalım, umarım parantez açmayı hala hatırlıyorsunuzdur, e ğer hatılıyorsanız e ğer ü şenmeden şu a şa ğıdaki parantezi açın bakalım O: A ? B = ( A x i + A y j + A z k ) ? (B x i + B y j + B z k) A ? B = ( A x B x i ?i + A x B y i ?j + A x B z i ?k ) + ( A y B x j ?i + A y B y j ?j + A y B z j ?k ) + ( A z B x k ?i + A z B y k ?j + A z B z k ?k ) A ? B = A x B x + A y B y + A z B z sonucu elde edilir ve görüldü ğü gibi sonuç sadece bir büyüklüktür, yani vektör de ğildir. i . i = 1 j . i = 0 k . i = 0 i . j = 0 j . j = 1 k . j = 0 i . k = 0 j . k = 0 k . k = 1 • i ? j ? k ve i // i, j // j, k // k • Dik vektörlerin skaler çarpımlarının sonucu sıfırdır. • Paralel ya da birbirlerine paralel bile şenleri olan vektörelerin skaler çarpımları sonucu sıfırdan farklıdır. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ? i j k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 25 Vektörel Çarpma (x): İki vektörün vektörel çarpım yaptı ğını belirten simge iki vektörün arasına koyulan bir çarpı i şaretidir (x). Birim vektör notasyonuyla birlikte vektörel çarpma yaparken a şa ğıdaki tablonun sonuçlarına dikkat etmeliyiz. • İki vektörün vektörel çarpımı sonucu “e ğer sonuç sıfırdan farklı ise” vektörel bir nicelik (büyüklük) elde edilir. • İki vektör birbirlerine paralelse vektörel çarpımlarının sonucu sıfırdır. • İki vektör birbirlerine dik ise sonuç sıfırdan farklıdır ve sonuç bir vektör tanımlar. Örnek: A = A x i + A y j + A z k ve B = B x i + B y j + B z k gibi iki vektörümüz olsun ve bunların vektörel çarpımlarını yapalım, umarım parantez açmayı hala hatırlıyorsunuzdur, e ğer hatılıyorsanız ü şenmeden şu a şa ğıdaki parantezi açın bakalım O: A x B = ( A x i + A y j + A z k ) x (B x i + B y j + B z k) = C = (A x B x ixi+A x B y ixj+A x B z ixk)+(A y B x jxi+A y B y jxj+A y B z jxk)+(A z B x kxi+A z B y kxj+A z B z kxk) A x B = (A y B z - A z B y )i + (A z B x - A x B z )j + (A x B y - A y B x )k = C olarak bulunur. Bu parantez açma i şlemi matris-determinant hesaplamasıylada bulunabilir. Matris yöntemini ve determinant hesaplamasınıda umarım hatırlıyorsunuz O. i x i = 0 j x i = -k k x i = j i x j = k j x j = 0 k x j = -i i x k = -j j x k = i k x k = 0 • i ? j ? k ve i // i, j // j, k // k • Paralel vektörlerin vektörel çarpımlarının sonucu sıfırdır. • Dik ya da birbirlerine dik bile şenleri olan vektörelerin vektörel çarpımları sonucu sıfırdan farklıdır ve bu çarpım sonucu yeni bir vektör elde edilir. Elde edilen bu vektör de birbirleriyle çarpılan iki vektörede aynı anda diktir O. x i j k i 0 k -j j -k 0 i k j -i 0 0 k -j -k 0 i j -i 0 26 A x B = (A y B z - A z B y )i + (A z B x - A x B z )j + (A x B y - A y B x )k = C Oldu ğuna göre C vektörünün büyüklü ğünü, C = {(A y B z - A z B y ) 2 + (A z B x - A x B z ) 2 + (A x B y - A y B x ) 2 } 1/2 İfadesinden bulabiliriz. Ayrıca C vektörünün büyüklü ğü, C = A.B.Sin ? dır. Burada ?, A ile B vektörleri arasındaki açıdır. Dolayısıyla ? açısını bulmak istersek ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x x y y x z x x z y z z y B B B A A A B A B A B A B A B A B A B A C Sin + + + + - + - + - = = r r r ? ifadesinden yararlanırız. Not: Aynı düzlemli A ve B gibi iki vektörün vektörel çarpımı sonucu C gibi bir vektör elde ediliyorsa elde edilen bu vektörün büyüklü ğü: C=A.B.Sin ? , ile verilece ğini ve elde edilen bu sonuç vektörünün di ğer iki çarpım vektörünede aynı anda dik olaca ğını daha önce söylemi ştik. Şekildende dikkat edilecek olursa, sonuç vektörünün büyüklü ğü aynı zamanda A ve B vektörleri tarafından olu şturulan paralel kenarın alanına e şittir O. ? A B C Paralel kenarın alanı=A.B.Sin ? z y x z y x B B B A A A k j i AxB = = z y x z y x B B B A A A k j i + z y x z y x B B B A A A k j i + z y x z y x B B B A A A k j i A x B = (A y B z -A z B y )i - (A x B z -A z B x )j + (A x B y -A y B x )k + + -