Genel Vektörler Moment Denge Paralel Kuvvetler Kütle Merkezi Basit Makinalar 1 1. BÖLÜM VEKTÖRLER MOMENT DENGE PARALEL KUVVETLER KÜTLE MERKEZ İ BAS İT MAK İNALAR Yazar : Dr. Tayfun Demirtürk E-posta: tdemirturk@pau.edu.tr 2 Bir fizik problemini çözmeye ba şlamadan önce ele aldı ğımız problemde kullanılan ifadelerin ne tür nicelik oldu ğunu bilmemiz kullanaca ğımız matematik dili için çok önemlidir. Çünkü her iki nicelik içinde kullanılan matematik dili farklıdır. Sözün özü, fizikte, iki tür nicelik bulununur. 1. Skaler nicelikler: Sadece büyüklük ve birim ile ifade edilen niceliklerdir. Bunlardan bazıları: Örnekler Simge Büyüklük Birim Kütle m 3 kg Zaman t 8 saat Enerji E 500 kw.saat İş W 300 joule Güç P 80 watt Elk. Yükü q -3 coulomb Hacim V 2 litre Alan S 5 cm 2 Uzunluk l 3 metre Sürat s 25 m/sn Yol d 30 km Skaler niceliklerde kullanılan matematik basit cebirsel i şlemlerdir (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi). Bu i şlemlerde i şaretlerin kullanılması çok önemlidir, çünkü i şleme dâhil edilirler. Örnek: 3 kgE + 5 kgE = 8 kgE 8 kgE – 2 kgE = 6 kgE 6 kgE ÷ 3 = 2 kgE 2 kgE * 200 Tl/kgE = 400 Tl 3 2. Vektörel nicelikler: Büyüklük ve birimi dı şında birde yön ile ifade edilen niceliklerdir, kısaca yönlü büyüklüklerdir. Örnekler Simge Büyüklük Birim Yön Kuvvet F F r ? 80 N sa ğa Yerde ği ştirme X X r ? 25 m kuzey Hız V V r ? 30 km/h batı İvme a a r ? 10 m/sn 2 güney Moment M M r ? 25 N.m × Herhangi bir ifadenin, vektörel bir nicelik oldu ğunu belirtmek için, simgesinin üzerine bir ok i şareti “›” koyulur ya da koyu renkte gösterilir. Bir ifadenin vektörel bir nicelik olabilmesi için şu dört ko şulunda belirtilmesi gerekir. i. Ba şlangıç noktası ii. Do ğrultusu iii. Yönü iv. Büyüklü ğü Vektörler, simgesel olarak ok ile gösterilir. Vektörel niceliklerde toplama (bile şke bulma) yapılırken artık skaler i şlemlerde oldu ğu gibi basit cebirsel i şlemleri kullanmak tek ba şına yerterli olmayabilir. Vektörlerde kullanılan matematik ço ğunlukla geometrinin ve trigonometrinin esaslarına dayanır, onun için bazı geometrik ve trigonometrik kaideleri çok iyi bilmeliyiz. i iv iii ii 4 COS İNÜS TEOREM İ Herhangi bir üçgende iki kenarın büyüklü ğü ve aralarındaki açı biliniyorsa bilinmeyen üçüncü kenarı bulmak için kullanılır. CosC b a b a c CosB a c a c b CosA c b c b a . . . 2 . . . 2 . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - + = - + = - + = sabit SinC c SinB b SinA a = = = Görüldü ğü gibi A, B ve C iç açılardır. SİNÜS TEOREM İ Herhangi bir üçgende iki açının de ğeri ve en az bir kenarın uzunlu ğu biliniyorsa bilinmeyen di ğer kenarların uzunlu ğunu bulmak için kullanılır. Yani, bir üçgende her bir kenarın uzunlu ğunun, gördü ğü açının Sinüs’üne oranı daima sabit ve birbirine e şittir. Büyük açı ? Büyük kenar Küçük açı ? Küçük kenar P İSAGOR TEOREM İ Sadece dik üçgenler için uygulanır. Herhangi bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamının karekökü hipotenüsü verir. 2 2 2 b a c + = ayrıca ? ? ? ? ? ? ? ? Tan b a Cot Cot a b Tan Sin c a Cos Cos c b Sin = = = = = = = = Tanımlardanda anla şılaca ğı gibi birbirini 90 o dereceye tamamlayan açıların “Sin” ve “Cos” de ğerleri birbirine e şittir. ? ? ? + ? = 90 o A B C b c a A C B a b c 5 Ayrıca bazı trigoneometrik açılımlarıda hatırlamada fayda var: bunlardan bazıları, Sin(A+B) = SinA.CosB+SinB.CosA Cos(A+B) = CosA.CosB-SinA.SinB Sin(A-B) = SinA.CosB-SinB.CosA Cos(A-B) = CosA.CosB+SinA.SinB Bazı Fonksiyonların Tanım Şekli ve Grafiklerinin Çizilmesi: • y = ± c 1 ve x = ± c 2 ( “c” herhangi bir sabit sayı) • y = mx + n (1. dereceden bir polinom) m ? do ğrunun yatay (x) eksenle yaptı ğı açının tanjantı yani e ğimi (m=tan?), n ? do ğrunun dü şey eksen (y) i kesti ği nokta y x +c 1 +c 2 y x ? ? n -n/m y x ? ? n +n/m e ğim + e ğim - y x -c 1 -c 2 6 • y = ax 2 + bx + c (2. dereceden bir polinom) (a,b,c birer reel sayıdır) • x= ay 2 +by+c (a,b,c birer reel sayıdır) y x x 1 x 2 c y x x 1 x 2 c (4ac-b 2 )/(4a) -b/2.a -b/2.a (4ac-b 2 )/(4a) c a b a b x . . 4 . 2 2 2 , 1 - = ? ? ± - = Eğer ‘a’ pozitif i Eğer ‘a’ negatif i y x y 2 y 1 c y x y 2 y 1 c 7 VEKTÖRLERDE TOPLAMA İŞLEM İ › A : A vektörü A veya IAI : A vektörünün büyüklü ğü diye okunurlar. • Vektörler aynı do ğrultu ve yönlü iseler: A şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi, bir cismin üzerine aynı do ğrultu ve yönlü olarak etkiyen iki kuvvet vektörümüz olsun. İki vektörün do ğrultu ve yönleri aynı ise bile şke vektörün büyüklü ğü bu vektörlerin büyüklükleri toplamına e şittir. Ayrıca, bile şke vektörde di ğer vektörlerle aynı do ğrultu ve yönlüdür. Bile şke ( R ) = Toplam ( ? ) ? • Vektörler aynı do ğrultulu fakat ters yönlü iseler: A şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi, bir cismin üzerine aynı do ğrultulu fakat ters yönlü olarak etkiyen iki kuvvet vektörümüz olsun. İki vektör aynı do ğrultulu fakat ters yönlü ise bile şke vektörün büyüklü ğü bu vektörlerin büyüklükleri farkına e şittir ayrıca bile şke vektör büyük kuvvet ile aynı do ğrultu ve yönlüdür. 2 1 2 1 F F R F F R - = ? + = 12 12 R FF RFF ››› =+?=+ Bile şke (Toplam) Vektör Notasyanu Bile şke vektörün büyüklü ğünün bulunması F 1 F 2 F 1 F 2 R ? F 1 F 2 F 1 F 2 R ? Bile şke (Toplam) Vektör Notasyanu Bile şke vektörün büyüklü ğünün bulunması 8 • Vektörler aynı do ğrultulu de ğil iseler: Peki ya bizim vektörlerimiz aynı do ğrultulu de ğil ise, ne yapmamız gerekiyor? İşte böyle bir durumda kısaca, iki vektörün bile şkesinin büyüklü ğü vektörlerin büyüklükleri farkından ya büyük-e şittir yada büyüklükleri toplamından küçük-e şittir denir. 2 1 2 1 F F R F F + ? ? - Yukarıdaki bu durum, hatırlarsanız, bir üçgendede herhangi bir kenarın uzunlugu di ğer iki kenarın uzunlukları farkından büyük ya da uzunlukları toplamındanda küçüktür prensibiyle uyu şmaktadır. Soru: Herhangi üç vektörün bile şkesinin büyüklü ğünün alabilece ği max ve min de ğerleri için ne söyleyebiliriz? Cevap: Her üç vektörde aynı yönlü iseler, bile şke maximumdur: R max =F 1 +F 2 +F 3 dür. R min i bulma testi: R min i bulmak için önce bile şkenin sıfır olup olmayaca ğını kontrol etmeliyiz. Bunun için öncelikle bu üç vektörden herhangi ikisi seçilir ve bu iki vektörün max ve min bile şke de ğerleri bulunur. E ğer geride kalan 3. vektörün büyüklü ğü buldu ğumuz min ve max bile şke de ğerlerin arasında ise bize verilen bu üç vektörün bile şkesinin min de ğeri kesinlikle sıfırdır aksi takdirde de ğildir. Bu takdirde bile şkenin min de ğeri en büyük vektörden di ğer iki küçük vektörün büyüklükleri çıkartılarak bulunur. a b c F 1 F 2 F 3 F 1 , F 2 F 3 R max =F 1 +F 2 R min =F 1 -F 2 E ğer, [F 1 -F 2 ? F 3 ? F 1 +F 2 ] ise bile şke (R) yani R min sıfırdır. Aksi takdirde: R min = F 3 - (F 1 +F 2 ) dir. (F 1 ve F 2 en küçük büyüklüklere sahip olmak ko şuluyla) a-b < c < a+b 9 • Şimdide vektörlerin do ğrultuları farklı ise bile şke vektörün yönü ve büyüklü ğü nasıl bulunur buna bakalım. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. A + B = R nin do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü nedir? Bile şke vektörü bulmak için birkaç yöntem vardır, bunlardan bazıları: 1. Uç- Uca ekleme yöntemi. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. A + B = R nin do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü nasıl bulunur? Önce vektörler do ğrultu, yön ve büyüklükleri de ği ştirilmeden birinin ba şlangıç noktası di ğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yeniden çizilir. Birinci vektörün ba şlangıcından di ğer vektörün bitimine do ğru çizilen do ğru bile şke vektördür. Birinci vektörün ba şlangıcı bile şkeninde ba şlangıcı, di ğer vektörün bitim noktasıda bile şkenin bitim noktasıdır. Görüldü ğü gibi bu şekil bir üçgendir, hemen üçgenlerdeki COS teoremini hatırlayarak bilinmeyen üçüncü kenar yani bile şke vektörün büyüklü ğünü bulabiliriz. Peki, bile şkenin büyüklü ğünü bulduk ama do ğrultusunu (bile şke vektörün herhangi bir eksenle yaptı ğı açı) bulabilirmiyiz. Evet, nasılmı? Tabiki S İNÜS veya COS teoremini tekrardan uygulayarak. Bu sefer; B A ? A B ? C 2 = A 2 + B 2 - 2.A.B.Cos(180-?) Cos(180-?) = - Cos? C 2 = A 2 + B 2 + 2.A.B.Cos? A, B ve ? bilinenleriyle C ve ?= ? ? : dı ş açı B C ? A ? B 2 = C 2 + A 2 - 2.C.A.Cos(?) Cos(?) = [C 2 + A 2 - B 2 ] / [2.C.A] 10 2. Paralel Kenar yöntemi. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. A + B = R nin do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü nasıl bulunur? Önce vektörler, ba şlangıç noktaları çakı şacak şekilde do ğrultu, yön ve büyüklükleri de ği ştirilmeden yeniden çizilir. Daha sonra vektörlerin bitim noktalarından di ğer vektöre paralel do ğrular çizilir. Vektörlerin ba şlangıç noktalarından paralel do ğruların kesi şim noktasına çizilen do ğru bile şke vektördür. Vektörlerin ba şlangıcı bile şkeninde ba şlangıcı, paralel do ğruların kesi şim noktası ise bile şkenin bitim noktasıdır. Görüldü ğü gibi paralel kenarın bir kısmı uç-uca ekleme yönteminde olu şan üçgenin aynısıdır. Bundan yararlanarak yani COS İNÜS teoremini uygulayarak bile şke vektörün büyüklü ğü bulunur. Özel durumlar: Bazı özel durumlar vardırki “matematikteki çarpım tablosunu bilmek gibi” bunları önceden bilmek bize hem i şlem kolaylı ğı hemde zamandan kazanç sa ğlar. Mesela: • E ğer iki vektörün büyüklükleri aynı ise, bile şke vektör daima açıortay do ğrultusundadır. C 2 = A 2 + B 2 - 2.A.B.Cos(180-?) Cos(180-?) = - Cos? C 2 = A 2 + B 2 + 2.A.B.Cos? A, B ve ? bilinenleriyle C = ? A B C ? ? : dı ş açı F F R=?2.F R F F R=?3.F R 60 0 F F R R=F 120 0 A B ? 11 VEKTÖRLERDE ÇIKARMA İŞLEM İ Evet, yanlı ş okumadınız vektörlerdede çıkarma, hatta çarpma ve bölme i şlemide var, bunları zamanla sırası geldikçe anlataca ğız. Vektörlerde çıkarma i şlemine girmeden önce “Negatif Vektör” kavramını ö ğrenelim: Negatif Vektör: Herhangi bir vektörün do ğrultusu ve büyüklü ğü de ği ştirilmeden yönü 180 derece çevrilmi ş (yani ters döndürülmü ş) olan haline o vektörün negatif vektörü denir. Örne ğin: Şimdide şu iki vektörün farkını bulalım: A – B = ? Biz bunu şu şekildede yazabiliriz ve anlamda bir de ği şiklik olmaz: Dolayısıyla buda, A vektörünün -B vektörü ile toplamıdır. Sizin anlayaca ğınız çaktırmadan fark i şlemini negatif vektör tanımınıda kullanarak daha onceden ö ğrendi ğimiz toplama i şlemine dönü ştürmü ş olduk. Şimdi bu i şlemin uygulamasını görelim. Örnek soru: Uç-uca ekleme yöntemini uygularsak, A -A B -B C -C A - B = A + (-B) A B ? C = A - B yi bulun. A B -B ? ? 12 A, B ve ? bilinenleriyle Umarım burada dikkat edilecek hususu hemen hatırladınız de ğilmi. Hani şu iç açı, dı ş açı meselesi. KAPALI VEKTÖR D İAGRAMLARI Kapalı bir vektör diagramında, vektörlerin yönleri dikkate alınarak yapılan toplamı daima sıfıra e şittir. Peki bu i şlemi nasıl uygularız: Önce diagram üzerinde kendimize bir sabit nokta ve diagram üzerinde dolanmak için bir hareket yonü tespit ederiz. Seçti ğimiz nokta ve hareket yönünde vektörler üzerinde hareket eder iken e ğer vektör bizim hareket yönümüz ile aynı yönlü ise onu pozitif (+) bir vektör, hareketimiz ile ters yönlü ise onu negatif (-) bir vektör kabul ederek vektörel toplama yaparız, hareket noktamıza geri gelinceye kadar. Harekete ba şladı ğımız noktaya geri dondü ğümüzdede yazdı ğımız bu toplamın sonucunu sıfıra e şitleriz. A B C D E F G H I II III C 2 = A 2 + B 2 - 2.A.B.Cos? ? : iç açı O A -B ? C I) A – B – C – G + H = 0 ? A + H = B + C + G II) D + E + F – C = 0 ? D + E + F = C III) A – B – C + D + E – G + H = 0 ? A + D + E + H = B + C + G 13 Şu ana kadar hep iki vektörün bile şkesini bulmayı gördük. Peki, ikiden fazla vektörümüz olsaydı ve bunların bile şkesini bulmak isteseydik hala COS teoremini uygulamakta ısrarmı edecektik. Kesinlikle hayır, e ğer COS teoremini uygulayarak çoklu vektörlerin bile şkesini bulmaya yeltenseydik bu bize vakit kaybından ve ızdıraptan ba şka bir şeye mal olmazdı. Peki, bu durum kar şısında ne yapaca ğız. İşte bu gibi durumlar için yeni bir metod daha ö ğrenece ğiz. B İLE ŞENLER İNE AYIRMA METODU Bir vektörün kendisini meydana getirebilecek en az iki dik vektör cinsinden ifade edilmesine bile şenlerine ayırma denir (bu sayı illa iki mi olmak zorundadır?). Ya da, bir vektörün, herhangi bir koordinat sistemine yerle ştirilmi ş iken, bu vektörün her bir koordinat ekseni üzerindeki dik izdü şümlerine o vektörün dik bile şenleri denir. Dolayısıyla, bir vektörü, kendisini meydana getirebilecek sonsuz sayıda dik bile şenler cinsinden ifade etmek mümkündür. Nasılmı? Sadece vektörün ba şlangıç noktasına yerle ştirece ğiniz koordinat sistemini biraz çevirin göreceksiniz Şimdi bir vektörü yerle ştirece ğimiz koordinat sistemine göre bile şenlerine ayırmasını görelim. Bir dik üçgendeki S İN ve COS tanımlarından yararlanırsak: A = A x + A y = A.Cos ?+A.Sin ? A = A x ’ + A y ’ = A.Cos?+A.Sin? x y A x A y ? A x x’ y y’ A A x A y A x ’ A y ’ x’ A x’ y’ A y’ ? A ? ? ? ? ? ? ? ? Sin A A Cos A A Sin A A Cos Cos A A Sin A A Cos A A Sin x x x y y y . yada . . yada . = = = = = = = = y x A A x A y ? ? ? ? A x A y ?+?=90 14 Dikkat: Bir açının kom şulu ğundaki dik kenarın uzunlu ğunu hesaplarken Kom şu kelimesi size COS inüsün, açının kar şısındaki dik kenarın uzunlu ğunu hesaplarkende Kar şı kelimesi size S İN üsün kullanılaca ğını hatırlatmalı O. Şimdide bile şenlerine ayırma yönteminden yararlanılarak bile şke vektörün nasıl bulunaca ğına bir bakalım. Soru: A + B + C = ? X Y A + A.Cos ? + A.Sin ? B - B.Sin ? + B.Cos ? C 0 - C R R x R y R x ve R y dik bile şkeleri yeni bir kartezyen koordinat sistemine ta şır ve buradanda bile şke sonuç vektörünün büyüklü ğünü ve do ğrultusunu hesaplarız. İşte bu i şlemler yapılarak bile şke vektörün büyüklü ğü, do ğrultusu ve yönü bulunur. Örnek: A şa ğıdaki istenen sonuç vektörlerini bulunuz? A+B+C+D=? A-2B+C=? B A C B C D A R x = A.Cos ? - B.Sin ? sonucun i şareti “+” farzedelim R y = A.Sin ? + B.Cos ? – C sonucun i şareti “+” farzedelim y x R x R y R ? R 2 = R x 2 + R y 2 R = (R x 2 + R y 2 ) ½ tan ? = R y / R x A B C ? ? B y B x A y A x x y 15 UNUTMAYALIM • E ğer bir cismin üzerine etkiyen kuvvetlerin toplamı sıfır ise bu cisim ya duruyordur ya da sabit bir hızla hareket ediyordur. • Bir cisim daima üzerine etki eden kuvvetlerin bile şkesi do ğrultusu ve yönünde hareket eder. • E ğer bir cismin üzerine etkiyen kuvvetlerin toplamı sıfır ise (bu cisim ya duruyordur, ya da sabit hızla hareket ediyordur), cismin üzerine etkiyen bu kuvvetlerin bile şenleri toplamıda sıfırdır. • Vektörlerde toplama i şleminde yerde ği ştirme özelli ği vardır. Yani: A + B = B + A dır. Şekildeki noktasal cismin dengede kalabilmesi için uygulanması gereken 4. kuvvetin yönünü, do ğrultusunu ve büyüklü ğünü bulunuz. V=0 duruyor ?F=0 ise yada V=sabit hızla Cismin hareket do ğrultusu R F 2 F 1 ?F x =0 V = 0 duruyor ?F = 0 ise ve yada ?F y =0 V = sabit hızla F 1 F 2 F 3 F 1 F 1 +F 2 F 2 +F 3 F 3 vektörünü bulunuz. 16 • E ğer bir cisim üç kuvvetin etkisi altında ve dengede (cisim duruyor veya sabit hızla hareket ediyor) ise kuvvetlerden herhangi ikisinin bile şkesinin büyüklü ğü üçüncü kuvvete e şit fakat ters yönlüdür. Ayrıca buradaki (üç kuvvetin etkisi altında olan cisim için) denge ile ilgili i şlemler için S İNÜS teoremini kullanmak çok büyük kolaylık sa ğlar, buda. 3 12 F FF Sin Sin Sin ? ?ß == dir. Tabiki bile şenlerine ayırma yöntemini uygulayarak herbir bile şkeyi sıfırada e şitliyebilirsiniz. • Sinüs teoremi sadece üç kuvvetin etkisinde ve dengede olan cisimler için geçerlidir. A şa ğıdaki şekilde, Sinüs teoreminin bir uygulaması ve ispatı görülmektedir. Not: Sin(180- ?)=Sin( ?) 3 12 F FF Sin Sin Sin ? ?ß == • Dengenin Birinci Şartı: E ğer bir cismin üzerine etkiyen kuvvetlerin toplamı (bile şke kuvvet ya da net kuvvet de denebilir) sıfır ise bu cisim ya duruyordur ya da sabit hızla bir do ğru boyunca hareket ediyordur denir. F 1 +F 2 = -F 3 Dengede ise ?F=F 1 +F 2 +F 3 =0 F 2 +F 3 = -F 1 F 1 +F 3 = -F 2 F 1 F 2 F 3 180-? 180-? 180-ß F 1 F 3 F 1 F 2 F 1 F 2 F 3 ? ? ß ) ( ) ( ) ( ß ? ? - = - = - 180 180 180 3 2 1 Sin F Sin F Sin F 17 VEKTÖRLERDE ÇARPMA: Evet, yanlı ş okumadınız, vektörlerde çarpma diye bir i şlem vardır ve hatta ileride vektörlerde bölme i şleminide görece ğiz O. 1. Bir vektörün skaler bir nicelikle çarpılması: Bir vektör skaler bir büyüklükle ya da skaler bir nicelikle çarpıldı ğı zaman yine bir vektör elde ederiz. Elde etti ğimiz bu vektör çarpılan vektörle aynı do ğrultuludur, yönü ise çarpanın i şaretine ba ğlıdır. E ğer çarpan pozitif bir büyüklük ise elde edilen vektör çarpılan vektör ile aynı yönlüdür, e ğer çarpan negatif bir büyüklük ise elde edilen vektör çarpılan vektör ile ters yönlüdür. Örnek verecek olursak: 2. İki vektörün skaler çarpımı: İki vektörün skaler çarpımı sonucu skaler bir nicelik elde edilir. İki vektörün skaler çarpım yaptı ğını “.” i şaretinden anlarız ve buna skaler çarpım operatötü denir. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun. A 3.A -2.A A B ? x y A B ? x’ y’ ?: A ile B vektörleri arasındaki açı ? Cos B A B A . . . = › › Kısaca: iki vektörün skaler çarpımında esas olan vektörlerden herhangi birisinin büyüklü ğü ile di ğer vektörün bu vektöre göre olan paralel bile şeninin büyüklükleri çarpımına e şittir ve sonuç tekrar hatırlatıyorum skaler bir büyüklük veya niceliktir. Ayrıca, skaler çarpma i şleminde yer de ği ştirme özelli ği vardır. Yani: A . B = B . A dır. 18 Örnek verecek olursak, fizikte kullandı ğımız İŞ (W) formülünü hatırlayalım. 3. İki vektörün vektörel çarpımı: İki vektörün vektörel çarpımı sonucu, e ğer sonuç sıfırdan farklı ise, bir vektör elde edilir ve elde edilen bu vektör di ğer iki vektörede aynı anda diktir. Şekildeki gibi iki vektörümüz olsun: Şekildeki bu iki vektörün vektörel çarpımı sonucu “C” gibi bir vektör elde edilir ve elde edilen bu vektörün büyüklü ğü: ? : A ile B vektörleri arasındaki açı ile bulunur, peki ya bu elde edilen vektörün yönü nasıl bulunur. İşte yönü bulmak için “Sa ğ el kuralı” diye adlandırılan bir yöntem uygularız. Şunuda belirtmeliyimki vektörel çarpma i şleminde skaler çarpma i şleminde oldu ğu gibi yer de ği ştirme özelli ği yoktur. Vektörlerin yerleri de ği ştirilerek yapılan vektörel çarpma i şleminde yeni bir vektör elde edilir yani: F X ? F x F y F x // X ? W x ? 0 F y ? X ? W y = 0 ? F.X.Cos . F Skaler : W Vektör : X Vektör F: = = › › 4 3 42 1 X W ? Sin B A C B A C . . = × = A B - B A A B B A × = × × ? × A B ? düzlem 19 Sa ğ el kuralı: A şa ğıda belirtilen vektörel çarpıma göre bu yöntemin nasıl uygulandı ğını görelim. A ve B birbirine paralel olmayan ve büyüklükleri sıfırdan farklı iki vektör olsun. 1. Önce sa ğ elin ilk üç parma ğı (ba ş, i şaret ve orta parmaklar) birbirine dik konuma getirilir. 2. Seçilecek parmaklardan herhangi birisi (mesela i şaret parma ğı) A vektörünün yönünü göstersin, 3. bu parmaktan sonra saatin tersi yönünde (pozitif hareket yönü) hareket ederken rastladı ğımız di ğer parmak (orta parmak) B vektörünün yönünü gösterecek şekilde elimizi ayarlarsak B A C × = A + dönme yönü + dönme yönü + dönme yönü A B + dönme yönü 20 4. Açıkta kalan üçüncü parmak (ba şparmak) elde edilen C sonuç vektörünün yönünü otomatikman gösterecektir. : Sayfa düzleminden a şa ğı do ğru : Sayfa düzleminden yukarı do ğru Formule göre parmakların tanımlanma sırası Şimdi benzer soruyu şöyle soralım. Vektörünün yönü nasıl gösterilir? Görüldü ğü gibi, {A x B = - B x A} dır, yani: vektörel çarpma i şleminde yerde ği ştirme özelli ği yoktur. Not: Dikkat edilecek olursa, iki vektörün vektörel çarpımından elde edilen büyüklük bize o iki vektör tarafından olu şturulan bir paralelkenarın alanını tanımlamaktadır. O x C = A x B -C = B x A A B + dönme yönü C A B C × = - A B C + dönme yönü A B -C x x 21 Peki, bu vektörel çarpım i şlemini Fizikte nerede kullanırız? Vektörel çarpım i şleminin birçok yerde uygulaması vardır bunlardan bazıları: Moment, magnetik kuvvet, …..gibi hesaplamalarda sıklıkla kullanılır. Moment ile ilgili bir örnek verecek olursak: ? : F ile d vektörleri arasındaki açıdır. Peki, moment vektörünün yönü nedir? Hadi bunuda siz bulun. O ? Sin d F M d F M . . = × = d F ? 22 • B İR İM VEKTÖR NOTASYONU A şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi, bir A vektörümüz ve bu A vektörünün ba şlangıç noktasınada, üç boyutlu bir dik (kartezyen) koordinat sistemi yerle ştirilmi ş olsun. Şekilde görülen i, j, k vektörleri sırasıyla x, y, z koordinat sisteminde tanımlanmı ş birim vektörlerimiz olmu ş olsun. Birim Vektör: Büyüklü ğü 1 birim olarak kabul edilen vektöre denir, (i, j, k). Burada, i : x ekseni üzerindeki birim vektör, j : y ekseni üzerindeki birim vektör, k : z ekseni üzerindeki birim vektör dür. Bazen i, j, k birim vektörleri e 1 , e 2 , e 3 veya x ˆ , y ˆ , z ˆ gibi ba şka simgelerlede ifade edilebilir. Dolayısıyla, herhangi bir vektörü kendisini meydana getirebilecek dik bile şenler cinsinden ifade edebilece ğimiz gibi aynı vektörü birim vektörler cinsinden de ifade edebiliriz. Mesela, şekilde görülen A vektörünü: A = A x + A y + A z şeklinde ifade edebildi ğimiz gibi, A = A x i + A y j +A z k şeklindede ifade edilebilir. z k j i y x A x A A z A y A vektörü A = A x i + A y j + A x k A vektörünün büyüklü ğü IAI = A = (A x 2 + A y 2 + A x 2 ) 1/2 A x : A vektörünün x dik bile şeni A y : A vektörünün y dik bile şeni A z : A vektörünün z dik bile şeni 23 Birim vektör notasyanu ile vektörlerde Toplama ve Çıkarma i şlemi: Genel olarak: R x , R y ve R z dik bile şenleri bulunduktan sonra bile şke R: R = (R x 2 + R y 2 + R z 2 ) 1/2 i şlemiyle bulunur. Yada; z k j i y x ( A x , A y , A z ) A B C ( B x , B y , B z ) ( C x , C y , C z ) A vektörü A = A x i + A y j + A z k B vektörü B = B x i + B y j + B z k C vektörü C = C x i + C y j + C z k Oldu ğunu kabul edersek, A + B = B + A = (A x + B x )i + (A y + B y )j + (A z + B z )k A - B = - B + A = (A x - B x )i + (A y - B y )j + (A z - B z )k A + B + C = (A x + B x + C x )i + (A y + B y + C y )j + (A z + B z + C z )k şeklinde i şlem yapılır. ±A ± B ± C = (±A x ± B x ± C x )i + (±A y ± B y ± C y )j + (±A z ± B z ± C z )k dır. R x R y R z z y x R x R R z R y ? ? ? R vektörünün dik bile şenleri R, ?, ? ve ? bilinenleriyle R x = R.Cos ?.Cos ? R y = R.Cos ?.Sin? R z = R.Cos ? ile bulunur. R vektörünün do ğrultusu R, ?, ? ve ? bilinenleriyle Tan ? = R y / R x Cos ? = {(R x 2 + R y 2 ) 1/2 } / R Cos ? = R z / R ile bulunur. 24 Birim vektör notasyanu ile vektörlerde Çarpma ve Bölme i şlemi: Skaler Çarpma ( ?) : İki vektörün skaler çarpım yaptı ğını belirten simge iki vektörün arasına koyulan basit bir nokta i şaretidir ( ?). Birim vektör notasyonuyla birlikte skaler çarpma yaparken a şa ğıdaki tablonun sonuçlarına dikkat etmeliyiz. • İki vektörün skaler çarpımı sonucu skaler bir büyüklük elde edilir. • İki vektör birbirlerine dikse skaler çarpımlarının sonucu sıfırdır. • İki vektör birbirlerine paralel ise sonuç sıfırdan farklıdır. Örnek: A = A x i + A y j + A z k ve B = B x i + B y j + B z k gibi iki vektörümüz olsun ve bunların skaler çarpımlarını yapalım, umarım parantez açmayı hala hatırlıyorsunuzdur, e ğer hatılıyorsanız e ğer ü şenmeden şu a şa ğıdaki parantezi açın bakalım O: A ? B = ( A x i + A y j + A z k ) ? (B x i + B y j + B z k) A ? B = ( A x B x i ?i + A x B y i ?j + A x B z i ?k ) + ( A y B x j ?i + A y B y j ?j + A y B z j ?k ) + ( A z B x k ?i + A z B y k ?j + A z B z k ?k ) A ? B = A x B x + A y B y + A z B z sonucu elde edilir ve görüldü ğü gibi sonuç sadece bir büyüklüktür, yani vektör de ğildir. i . i = 1 j . i = 0 k . i = 0 i . j = 0 j . j = 1 k . j = 0 i . k = 0 j . k = 0 k . k = 1 • i ? j ? k ve i // i, j // j, k // k • Dik vektörlerin skaler çarpımlarının sonucu sıfırdır. • Paralel ya da birbirlerine paralel bile şenleri olan vektörelerin skaler çarpımları sonucu sıfırdan farklıdır. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ? i j k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 25 Vektörel Çarpma (x): İki vektörün vektörel çarpım yaptı ğını belirten simge iki vektörün arasına koyulan bir çarpı i şaretidir (x). Birim vektör notasyonuyla birlikte vektörel çarpma yaparken a şa ğıdaki tablonun sonuçlarına dikkat etmeliyiz. • İki vektörün vektörel çarpımı sonucu “e ğer sonuç sıfırdan farklı ise” vektörel bir nicelik (büyüklük) elde edilir. • İki vektör birbirlerine paralelse vektörel çarpımlarının sonucu sıfırdır. • İki vektör birbirlerine dik ise sonuç sıfırdan farklıdır ve sonuç bir vektör tanımlar. Örnek: A = A x i + A y j + A z k ve B = B x i + B y j + B z k gibi iki vektörümüz olsun ve bunların vektörel çarpımlarını yapalım, umarım parantez açmayı hala hatırlıyorsunuzdur, e ğer hatılıyorsanız ü şenmeden şu a şa ğıdaki parantezi açın bakalım O: A x B = ( A x i + A y j + A z k ) x (B x i + B y j + B z k) = C = (A x B x ixi+A x B y ixj+A x B z ixk)+(A y B x jxi+A y B y jxj+A y B z jxk)+(A z B x kxi+A z B y kxj+A z B z kxk) A x B = (A y B z - A z B y )i + (A z B x - A x B z )j + (A x B y - A y B x )k = C olarak bulunur. Bu parantez açma i şlemi matris-determinant hesaplamasıylada bulunabilir. Matris yöntemini ve determinant hesaplamasınıda umarım hatırlıyorsunuz O. i x i = 0 j x i = -k k x i = j i x j = k j x j = 0 k x j = -i i x k = -j j x k = i k x k = 0 • i? j ? k ve i // i, j // j, k // k • Paralel vektörlerin vektörel çarpımlarının sonucu sıfırdır. • Dik ya da birbirlerine dik bile şenleri olan vektörelerin vektörel çarpımları sonucu sıfırdan farklıdır ve bu çarpım sonucu yeni bir vektör elde edilir. Elde edilen bu vektör de birbirleriyle çarpılan iki vektörede aynı anda diktir O. x i j k i 0 k -j j -k 0 i k j -i 0 0 k -j -k 0 i j -i 0 26 A x B = (A y B z - A z B y )i + (A z B x - A x B z )j + (A x B y - A y B x )k = C Oldu ğuna göre C vektörünün büyüklü ğünü, C = {(A y B z - A z B y ) 2 + (A z B x - A x B z ) 2 + (A x B y - A y B x ) 2 } 1/2 İfadesinden bulabiliriz. Ayrıca C vektörünün büyüklü ğü, C = A.B.Sin ? dır. Burada ?, A ile B vektörleri arasındaki açıdır. Dolayısıyla ? açısını bulmak istersek ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x x y y x z x x z y z z y B B B A A A B A B A B A B A B A B A B A C Sin + + + + - + - + - = = r r r ? ifadesinden yararlanırız. Not: Aynı düzlemli A ve B gibi iki vektörün vektörel çarpımı sonucu C gibi bir vektör elde ediliyorsa elde edilen bu vektörün büyüklü ğü: C=A.B.Sin ? , ile verilece ğini ve elde edilen bu sonuç vektörünün di ğer iki çarpım vektörünede aynı anda dik olaca ğını daha önce söylemi ştik. Şekildende dikkat edilecek olursa, sonuç vektörünün büyüklü ğü aynı zamanda A ve B vektörleri tarafından olu şturulan paralel kenarın alanına e şittir O. ? A B C Paralel kenarın alanı=A.B.Sin ? z y x z y x B B B A A A k j i AxB = = z y x z y x B B B A A A k j i + z y x z y x B B B A A A k j i + z y x z y x B B B A A A k j i A x B = (A y B z -A z B y )i - (A x B z -A z B x )j + (A x B y -A y B x )k + + - 27 MOMENT: Kuvvetin cisimler üzerindeki etkileri birkaç türlüdür; bunlardan ilki sürükleme (öteleme), titre ştirme ve bir di ğeride döndürme etkisidir. İşte kuvvetin cisimler üzerinde meydana getirdi ği bu döndürme etkisine moment denir ve moment vektörel bir niceliktir. ve yönü sa ğ el kuralı veya vektör notasyonu ile bulunur. Görüldü ğü gibi momentin büyüklü ğünü hesaplamada bir zorluk yok ama yönünü bulurken sa ğ el kuralını uygulamada bazı zorlukların oldu ğu açıktır. Bununla ilgili şöyle bir kolaylık dü şünülebilir: E ğer kuvvet vektörlerinin hepsi aynı düzlem üzerinde etkiyorlarsa, sonuç moment vektörüde bu düzleme dik olaca ğından, kuvvetlerin düzlem üzerinde meydana getirdikleri döndürme etkilerine bakarak momentinin yönüne ve i şaretine karar verebiliriz. Mesela, e ğer kuvvet vektörü cismi sayfa düzlemi üzerinde saatin tersi yönünde dönmeye zorluyorsa bu kuvvetin meydana getirece ği moment vektörü sayfa düzleminden yukarı do ğru olaca ğı için bu moment vektörünün i şaretini ve yönünü +z olarak kabul edebiliriz. E ğer kuvvet vektörü cismi sayfa düzlemi üzerinde saat yönünde dönmeye zorluyorsa bu kuvvetin meydana getirece ği moment vektörü sayfa düzleminden a şa ğı do ğru olaca ğı için bu moment vektörününde i şaretini ve yönünü -z olarak kabul edebiliriz. 3 2 1 4 3 42 1 ? ? ? ? Sin d F M d Sin F M Sin d F Sin d F M . . . . . . . . = = = = F nin d ye göre dik bile şeni Moment alınan noktanın kuvvetin etki dogrultusuna olan dik uzaklı ğı ? Sin d F M d F M . . = × = F d ? ? ? d.Sin? F.Sin? F.Cos? Moment alınan noktanın kuvvetin etki dogrultusuna olan dik uzaklı ğı F nin d ye göre dik bile şeni F kuvvetinin etki do ğrultusru 28 Örnek: Şekildeki sistemin “o” noktasına göre toplam momentini inceleyecek olursak: Unutmayalım: Dönme noktası ya da momenti alınan nokta üzerine etkiyen kuvvetlerin momente yani dönmeye bir etkileri yoktur. Ayrıca etki do ğrultusu moment alınan nokta üzerinden geçen kuvvetlerinde momentleri sıfırdır. • DENGEN İN İK İNC İ ŞARTI: E ğer bir sistem dengede ise bu sistemin üzerine etkiyen kuvvetlerin herhangi bir noktaya göre momentleri toplamı (vektörel olarak) sıfırdır. ? = 0 M Moment almak için seçilecek noktanın bilinmeyenlerin en fazla oldu ğu noktanın üzerinden alınması akıllıcadır. • Bir sistemin dengede olabilmesi için, sistemde bulunan her bir cismin üzerine etkiyen tüm bu kuvvetlerin bile şkesi yani toplamı (dikkat, vektörel toplam) sıfır olmalıdır hemde aynı zamanda bu kuvvetlerin herhangi bir noktaya göre toplam momentleri sıfır olmalıdır. Yani her iki ko şulda aynı anda sa ğlanmalıdır. Şayet, bu iki ko şuldan birisi sa ğlanmaz ise sistem dengede sayılmaz. Şimdide, a şa ğıdaki sistemlerin “o” noktalarına göre toplam momentlerini inceleyelim. F 1 F 2 d 1 d 2 + - o M 0 = -F 1 .d 1 + F 2 .d 2 dir. E ğer, M 0 ın sonucu, pozitif ise çubuk o noktasına göre saatin tersi yönünde dönmekte ve moment vektörü sayfa düzleminden yukarı do ğrudur. M 0 ın sonucu, negatif ise çubuk o noktasına göre saat yönünde dönmekte ve moment vektörü sayfa düzleminden a şağı doğrudur M 0 = 0 ise F 1 .d 1 = F 2 .d 2 olarak bulunur. Buda sistem dengede demektir + moment (döndürme) yönü - moment (döndürme) yönü 29 F 4 F 3 F 2 F 1 o h h a c b + - M 0 = -F 1 .b - F 3 .h o F 4 F 3 F 2 F 1 x y + - M 0 = F 1 .X/2 + F 3 .[(X 2 +Y 2 ) 1/2 ]/2 - F 4 .Y/2 o F 3 F 2 F 1 ? ? ? y x + - M 0 = -F 1 .X.Sin? + F 2 .X.Sin? - F 3 .Y.Sin? 30 DENGE İLE İLG İL İ PROBLEMLER İ ELE ALIRKEN: 1. Önce sistemi olu şturan her bir cisim üzerine etkiyen ya da etkiyebilecek kuvvetleri cisim üzerinde gösterin. 2. Her bir cisim hangi düzlem üzerinde duruyorsa dik koordinatlar sisteminizi o düzlem üzerine yerle ştirin. 3. Varsa kuvvet vektörlerinizi bu koordinat sistemine göre bile şenlerine ayırın. 4. Sistem dengede oldu ğu için dengenin her iki şartınıda yerine getirmeye çalı şın. Dengenin 1. Şartı Dengenin 2. Şartı 0 F ve 0 F 0 M 0 F y x ? ? ?? = = = = › › › › ko şullarının her ikiside aynı anda sa ğlanmalıdır. Tepki Kuvveti (N): Her etkiye kar şı daima bir tepki vardır. Unutmayın, tepki kuvveti hiç bir zaman etkiden büyük olamaz ve daima cismin bulundu ğu (yani de ğdi ği) düzleme diktir. A ğırlık vektörüde daima yer düzlemine diktir. E ğer bir cisim herhangi bir düzleme ya da cisme temas etmiyorsa tepki kuvveti yoktur çünkü etki yoktur. F N F N N mg mg mg mg N ? T ? m.g.Sin? m.g.Cos? ? N T mg ? ? T y T x ? 31 Paralel Kuvvetlerin Bile şkesi ve Uygulama Noktasının Bulunması: • Paralel kuvvetler aynı yönlü ise: Şekildeki gibi a ğırlıksız bir çubu ğun üzerine paralel kuvvetler etkimi ş olsun. İşte bu çubu ğun üzerine etkiyen kuvvetlerin meydana getirdi ği etkiyi tek ba şına yapabilen kuvvete bile şke kuvvet denir. Peki, bu bile şke kuvveti nereden uygulayaca ğız. Örnek: Şekildeki terazinin denge durumunu inceleyelim. F 1 R -R F 2 l l-x x R Bile şke R=F 1 +F 2 Deste ğe göre Moment F 1 .x.Sin? = F 2 .(l-x).Sin? F 1 .x = F 2 .(l-x) sonucu elde edilir. -R Dengeleyici F 1 // F 2 ? ? F 1 F 2 R Bile şke kuvvet -R dengeleyici kuvvet l x l-x R=F 1 +F 2 Deste ğe göre Moment F 1 .(l-x).Sin90 = F 2 .x.Sin90 F 1 .(l-x) = F 2 .x dır. buradanda istenen bulunur. F 1 // F 2 Destek yani ‘o’ noktasına göre moment alırsak: m c g.l 1 = mg.l 2 + m b g.x m c .l 1 = m.l 2 + m b .x m c = m.(l 2 /l 1 ) + m b .(x/l 1 ) m c g m c m b m b g mg m l 1 l 2 x -R R o m b : binicinin kütlesi (kol üzerinde hareket edebilen ek kütle. m c : bilinmeyen kütle (cismin kütlesi) m : bilinen kütle 32 Sonuç: • Paralel kuvvetler aynı yönlü ise bile şke kuvvetin uygulama noktası kuvvetlerin arasında, büyük kuvvete daha yakın ve kuvvetlerle aynı yönlüdür. • E ğer bile şke kuvvetin uygulama noktasından bile şkeye e şit ve ters yönlü bir kuvvet uygularsak çubuk (sistem) dengede olacaktır, i şte bile şkeye e şit ve ters yönlü olan bu kuvvete dengeleyici kuvvet denir. • Di ğer bir ifadeyle i şte bu paralel kuvvetlerin bile şkesinin uygulama noktası bir nevi çubu ğun (sistemin) denge noktasıdır ileride cisimlerin kütle merkezlerini bulmaya çalı şırkende bu mantı ğı kullanaca ğız. • Paralel kuvvetler ters yönlü ise: Şekildeki paralel ve ters yönlü kuvvetlerin bile şkesi ve uygulama noktası nerededir? F 2 x F 1 R -R l Bile şke Dengeleyici kuvvet R=F 1 -F 2 o ‘o’ ya göre moment F 1 .X = F 2 .(l+X) dır buradanda istenen bulunur. F 1 // F 2 R x F 1 l -R F 2 F 1 .X.Sin? = F 2 .(l+X).Sin? F 1 .X = F 2 .(l+X) dır buradanda istenen bulunur. o ? ? R=F 1 -F 2 ‘o’ ya göre moment -R: Dengeleyici kuvvet R : Bile şke kuvvet F 1 // F 2 33 Sonuç: • Paralel ve ters yönlü kuvvetlerin bile şkesinin uygulama noktası kuvvetlerin arasında de ğil, kuvvetlerin dı şında ve büyük kuvvete yakın olan taraftadır. • Bile şke kuvvet büyük kuvvetle aynı yönlüdür. • Bile şke kuvvetin uygulama noktasından bile şkeye e şit ve ters yönlü bir kuvvet uygulanırsa sistem dengeye gelir. • Dolayısıyla, bile şke kuvvetin uygulama noktası aynı zamanda sistemin denge noktasıdır. Örnek: Şekildeki sistemin denge durumunu inceleyelim. l x T mg N o Deste ğe yani ‘o’ noktasına göre moment alırsak mg.x = T.l bulunur, buradanda istenen bulunur. 34 KÜTLE & A ĞIRLIK MERKEZ İ DENGE NOKTASI PARALEL KUVVETLER İN BİLE ŞKES İN İN UYGULAMA NOKTASI: Kütle merkezi ile ilgili problemler birer denge di ğer bir ifadeyle paralel kuvvetlerin bile şkesinin uygulama noktasını bulma problemidir. Bir sistemin kütle merkezi bulunurken şu a şa ğıdaki kuralların takip edilmesi bizlere çok büyük kolaylıklar sa ğlar. 1. Önce sistemde bulunan her bir cismin a ğırlı ğı kendi a ğırlık (kütle) merkezinden gösterilir. • E ğer sistemi meydan getiren cisimler homojen ve türde ş ince levhalardan meydan gelmi ş ise, levhaların alanları a ğırlıkları yerine alınabilir. • E ğer sistemi meydan getiren cisimler homojen ve türde ş ince çubuk şeklinde ise, çubukların uzunluları a ğırlıkları yerine alınabilir. • E ğer sistemi meydan getiren cisimler homojen ve türde ş kalın cisimler şeklinde ise, cisimlerin hacimleri a ğırlıkları yerine alınabilir. • E ğer sistemi meydan getiren cisimler türde ş de ğil ise mutlaka ve mutlaka cisimlerin a ğırlıkları tanımlanmalıdır. 2. E ğer sistemden bir parça çıkarılıyorsa, çıkarılan parçanın a ğırlı ğı kendi KM’ den ters yönlü bir a ğırlık vektörü olarak gösterilir. 3. E ğer sisteme bir parça ekleniyorsa, eklenen parçanın a ğırlı ğı kendi KM den gösterilir. 4. Görülece ği gibi tüm bu a ğırlık vektörleri paralel kuvvetlerdir. İşte bu paralel kuvvetlerin bile şkesinin uygulama noktası, sistemin yani bizim aradı ğimız KM dir. 5. Bir cisim hangi noktasından asılırsa asılsın, asıldı ğı noktanın yer düzlemine olan dik do ğrultusu cismin KM den geçer. 6. E ğer bir cisim KM inin bulundu ğu bir noktadan asılırsa yer düzlemine paralel olarak dengede kalır, yani asıldı ğı gibi kalır. 35 7. E ğer bir cisim KM inin bulundu ğu bir noktadan destek üzerine oturtulursa yine yer düzlemine paralel olarak dengede kalır. 8. Bir cisim farklı noktalardan birkaç kez asılarak dengeye getirildi ğindede, her bir asılım noktasından yer düzlemine do ğru çizilen dik do ğruların kesi şim noktası bize cismin KM ini tanımlar. Geometrik yapısı bilinen bazı cisimlerin KM inin gösterilmesi. Örnek: Şimdi bir sistemin KM inin nasıl bulundu ğunu bir örnek üzerinde görelim. G 1 R=G 1 +G 2 +G 3 +G 4 -G 5 G 5 çıkartılan parça Eklenen parça G 4 G 3 G 2 -R o d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 X=? o ' 11 22 33 44 55 11 22 33 44 55 12345 Şayet o' noktasına göre moment alırsak: ...... ..... kütle merkezinin o' noktasına olan uzaklı ğı bulunur Gd Gd Gd Gd Gd RX Gd Gd Gd Gd Gd X GGGGG +++=+ +++- = +++- KM h/3 2h/3 KM KM KM KM KM 36 Noktasal cisimlerin KM inin bulunması: OX eksenine göre moment alırsak: M 1 g.X 1 + M 2 g.X 2 + M 3 g.X 3 +…+ M n g.X n - R.X = 0 R = M 1 g + M 2 g + M 3 g + …… + M n g Aynı i şlemi OY eksenine göre tekrar ederek moment alırsak, M 1 g.Y 1 + M 2 g.Y 2 + M 3 g.Y 3 +…+ M n g.Y n - R.Y = 0 R = M 1 g + M 2 g + M 3 g + …… + M n g Bu denklemlerin düzenlenmesiyle, 11 22 33 123 11 22 33 123 . . . ...... . ...... . olarak bulunur, aynı şekilde OYeksenine göre moment alırsak: . . . ...... . ...... . olarak bulun nn KM n nn KM n nn KM n nn KM n MX MX MX MX X MMM M MX X M MY MY MY MY Y MMM M MY Y M +++ = ++++ = +++ = ++++ = ? ? ? ? ur. M M M M M (X 1 ,Y 1 ) (X 2 ,Y 2 ) (X 3 ,Y 3 ) (X 4 ,Y 4 ) (X 5 ,Y 5 ) X Y -R X,Y Önce seçilen bir koordinat sistemine göre her bir cismin koordinatlarını tanımlayalım. Daha sonra bu parçacıkların üzerine etkiyen kuvvetlerin bile şkesini bulalım, i şte bu bile şkenin uygulama noktası bize sistemin kütle merkezini (denge merkezi) tanımlar. Bunun için hem ‘OX’ hemde ‘OY’ eksenine göre moment alarak dengenin şartını yerine getirmemiz icab edecektir. 37 BAS İT MAK İNALAR: • Bize i ş yapma kolaylı ğı sa ğlayan, fakat ideal şartlarda yapılan İŞ ten tasarruf sa ğlamayan araçlara basit makina denir. • Bir basit makina, kuvvetten hangi oranda kazanç sa ğlıyorsa yoldanda aynı oranda kaybeder dolayısıyla yapılan i ş sabit kalır. (korunumlu, “do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü de ği şmeyen”, bir kuvvetin yaptı ğı i ş yoldan ba ğımsızdır.) İŞ=KUVVET*YOL • Basit makina ile ilgili problemler dengenin şartları yerine getirilerek ya da yapılan i ş daima sabittir (korunumlu, “yani do ğrultusu, yönü ve büyüklü ğü de ği şmeyen” bir kuvvetin etkisi altında yapılan i ş yoldan ba ğımsızdır) ilkesinden yararlanarak çözülür ve analiz edilir. • Makaralarda kuvvetten kazanç oranları hesaplanırken makara a ğırlıkları yüke ve kuvvete dâhil edilmez. • Bir basit makina kuvvetten hangi oranda kazanıyorsa, yoldanda aynı oranda kaybeder. i dengeleyic yuk F P YKO KKO = = (makaralar a ğırlıksız kabul edilecek) 38 1. Sabit makara: Bize sadece i ş yapma kolaylı ğı sa ğlayan, kuvvetten herhangi bir kazanç sa ğlamayan, sadece uygulama kuvvetinin yönünü de ği ştiren, yük ile birlikte hareket etmeyen makaralara denir. 2. Hareketli Makara: Yük ile birlikte hareket eden makaralara denir. Hareketli makaralar bize kuvvetten kazanç sa ğlar iken yoldanda kayıba sebep olur, bu oran nedir? P=mg m T’ P m T T F=? h h’ T = P = mg T’ + F = T + P m o’ ya göre moment T’.r = F.r ? F = T’ F + F = P + P m F = ( P + P m )/2 olur. KKO = P/(P/2) = 2 h’ = h/2 o r P=m T m TF =? T ’ h h’ o r T=P=mg T’ = T + P m + F o’ ya göre moment T.r = F.r ? F = T = P T’ = 2P + P m olur. KKO = P/P = 1 h’ = h P m 39 3. Palangalar: Sabit ve hareketli makaralardan olu şmu ş sisteme denir. A şa ğıdaki palanga sistemlerini dikkatlice her olasılı ğı de ğerlendirerek inceleyin. m F=? h h’ F=? m h h’ 40 4. Çıkrık: Çıkrık ile ilgili problemler uygulama kuvvetinin yaptı ğı i ş yüke kar şı yapılan i şe e şittir ilkesinden ya da dengenin prensiplerinden yararlanılarak analiz edilir. Unutmayın: Çıkrık kolu bir tam devir yaptı ğında silindirde bir tam devir yapar. 5. Vida ve Kriko: m h=n.2?r r d F=? r d m o a F bastırma F döndürme d h = n.a h: yükselme yada alçalma miktarı n: silindirin yada kolun devir sayısı r : silindirin yarıçapı d: silindiri çeviren kolun uzunlu ğu Bir tam devir sonunda yapılan İŞ W F = W mg F.2?d = mg.2?r ? F.d = mg.r Yada dengenin şartını yerine getirmek için o’ ya göre moment alınırsa F.d = mg.r a: vida adım uzunlu ğu n: vidanın devir sayısı h: vidanın yükselme yada alçalma miktarı Vida kolu bir tam devir yaptırıldı ğında vida dü şey do ğrultuda bir vida adımı “a” kadar yol alır, dolayısıyla bir tam devir sonunda F döndürme (uygulama) kuvvetinin yaptı ğı i ş F bastırma (Yük) kuvvetine kar şı yapılan i şe e şittir. W döndürme = W bastırma › F döndürme .2?d = F bastırma .a Bu e şitliktende istenen ne ise kolayca bulunur. 41 6. Kasnak: Kasnaklar hareket aktarımı ve devir sayısı de ği şimi sa ğlayan düzeneklerdir. Örnek: Kasnaklarla hareket aktarımı incelemesi: r 1 r 2 n 2 n 1 X 1 X 2 r 1 n 3 r 3 n 2 r 2 n 1 n 1 .r 1 = n 2 .r 2 n 2 .r 2 = n 3 .r 3 ise n 1 .r 1 = n 3 .r 3 yazılabilir, buradanda n 1 .r 1 =n 2 .r 2 = n 3 .r 3 olur. Dikkat : “n” devir sayısı ile “?” dönme açısı do ğru orantılıdır. Şekildeki kasna ğı bir traktöre benzetelim!!! t sürede ön ve arka tekerlerin aldıkları yollar birbirine e şittir dü şüncesinden yola çıkarsak; X 1 = X 2 ya da V 1 .t = V 2 .t n 1 .2?r 1 = n 2 .2?r 2 n 1 .r 1 = n 2 .r 2 Ba ğıntısını elde ederiz. 42 7. E ğik Düzlem: 8. Di şli Çark Di şliler yardımıyla hareket aktarımı sa ğlayan makinalardır. Burada dikkat edilmesi gereken husus hareket aktarımındaki devir sayısı di şli yarıçapına (r) ba ğlı de ğildir fakat di şli sayısına (k) ters orantılı olarak ba ğlıdır. Ancak dişli çarktaki di şler geometrik olarak özde ş ise di ş sayıları çarkın çevresi ile do ğru, di ş adım uzunlu ğu (a) ile ters orantılı olaca ğından aktarımdaki devir sayısı kasnaklardada oldu ğu gibi di şli çarkların yarıçapları ile do ğru orantılı olarak kabul edilir. P=mg F 2 F 1 ? s h V = sabit h V = sabit hız m m F 1 = mg F 1 .h = F 2 .s F 2 = mg.h/s P=mg m N mg.Sin? mg.Cos? F 2 ? ? h s n 1 .r 1 = n 2 .r 2 n 1 .k 1 = n 2 .k 2 k 2 k 1 n 1 r 1 r 2 n 2 a a Yerçekimi kuvvetine kar şı yapılan i ş yoldan ba ğımsızdır. 43 9. Dönme ve Öteleme Hareketi: Sadece Öteleme: Sadece Dönme: Dönme+Öteleme: F F X X h 3 h 2 h 1 r 3 r 2 r 1 h 1 = n.2?r 1 h 2 = n.2?r 2 h 3 = n.2?r 3 n : devir sayısı h 3 h 2 h 1 r 3 r 2 r 1 X h 1 = n.2?r 1 + X = n.2?r 1 + n.2?r 3 = 2?n.(r 1 + r 3 ) h 2 = n.2?r 2 + X = n.2?r 2 + n.2?r 3 = 2?n.(r 2 + r 3 ) h 3 = n.2?r 3 + X = n.2?r 3 + n.2?r 3 = 4?n.r 3 n : devir sayısı X=2?n.r 3 44 ALI ŞTIRMA – 1 Vektörlerde Toplama 1. Şekildeki K r ve L r vektörlerinin bile şkesini paralel kenar ve uçuca ekleme metodlarını kullanarak çiziniz. 2. Şekildeki A r veB r vektörlerinin toplamı olan R v = A r +B r vektörünü kare düzleme çiziniz. 3. Şekildeki herbir karenin bir kenarı bir birimdir. Buna göre, M L K R r r r v + + = vektörünün uzunlu ğu kaç birimdir? 4. Şekildeki D C B A r r r r , , , vektörlerinin bile şkesini bulunuz. 5. Şekildeki M L K r r r , , vektörlerinin bile şkesini bile şenlere ayırma metodu ile bulunuz. 6. Şekildeki K r ve L r vektörlerinin bile şkesinin. a) Yatay bile şeni (x bile şeni) kaç birimdir? b) Dü şey bile şeni (y bile şeni) kaç birimdir? c) Büyüklü ğü kaç birimdir? 7. Şekildeki A r ve B r vektörlerinin bile şkesi kaç birimdir? (Cos60 0 = 1/2) 8. Şekildeki vektörlerin bile şkesi kaç birimdir? (Cos120 0 = -1/2) 45 9. M L K R r r r v + + = vektörü kaç birimdir? 10. E D C B A R r r r r r r + + + + = vektörünün uzunlu ğu kaç birimdir? (Karenin bir kenarının uzunlu ğu 1 birimdir.) ALI ŞTIRMA - 2 Vektörlerde i şlemler 1. Şekildeki düzlemde, a) B A r r - vektörünü b) A B r r - vektörünü çiziniz. 2. Şekildeki düzleme L K r r - vektörünü çiziniz. 3. Şekildeki düzleme C B A D r r v r - - = vektörünü çiziniz. B A C 4. Yandaki şekle göre B A r r + - vektörünü çiziniz. (Cos120 0 = -1/2) B=4br A=2br 120 0 O 5. Şekle göre B A r r 2 - vektörünün uzunlu ğu kaç birimdir? (Cos60 0 = 1/2) A=5br B=4br 60 0 O 6. Şekildeki vektörlere göre 2 C A 2 B R r r r r - - = vektörünü kare düzleme çiziniz. A B C 46 7. B A r r + ve B r vektörleri şekilde verildi ğine göre, A r vektörünü kare düzleme çiziniz. A+B B ALI ŞTIRMA - 3 Kesi şen kuvvetlerin Bile şkesi 1. Noktasal K cismine sürtünmesiz yatay düzlemde 3 2 1 F , F , F r r r kuvvetleri şekildeki gibi uygulanıyor. Cisme etki eden bile şke kuvveti çiziniz ve bile şkenin yatay, dü şey bile şenlerini bulunuz. F 2 F 1 F 3 K 2. Sürtünmesiz yatay düzlemdeki 3 2 1 F , F , F r r r kuvvetleri şekildeki gibi O cismine uygulanıyor. Cismin dengeleyici kuvvetini çiziniz. F 2 F 1 F 3 O 3. Sürtünmesiz yatay düzlemdeki O noktasal cismine 3 2 1 F , F , F r r r kuvvetleri uygulanıyor. Üç kuvvetin bile şkesi R r olduğuna göre, 3 F r kuvvetini çiziniz. F 2 F 1 R O 4. Şekildeki düzlemde 2 1 F F r r + ve 2 1 F F r r - kuvvetleri verilmi ştir. Buna göre 1 F r kuvvetini çiziniz. O F 1 +F 2 -F 2 F 1 5. Aynı düzlemdeki 2 1 F F r r + , 3 2 F F r r + ve 3 1 F F r r + kuvvetleri şekilde verildi ğine göre 3 2 1 F F F R r r r r + + = kuvvetini çiziniz. +F 2 F 1 +F 3 F 1 +F 3 F 2 47 6. Şekilde aynı düzlemli 2 1 F F 2 r r + , 2 3 F 2 F r r - , 3 1 F F r r + kuvvetleri verilmi ştir. Buna göre 1 F r kuvvetini bulunuz. +F 3 F 1 F 3 -2F 2 +F 2 F 1 2 ALI ŞTIRMA - 4 Paralel kuvvetlerin Bile şkesi 1. Şekildeki 20 cm uzunlu ğundaki çubu ğa iki ucundan 1 F r ve 2 F r kuvvetleri uygulanıyor. Buna göre, bile şke kuvvetin 1 F r e uzaklı ğını ve büyüklü ğünü bulunuz. 2. E şit bölmeli çubu ğa 3F ve F şiddetindeki kuvvetler şekildeki gibi uygulanıyor. Buna göre bile şke kuvvetin uygulama noktası hangi nokta üzerindedir? F 1 =3F F 2 =F KLMNO 3. Şekildeki e şit bölmeli ve a ğırlıksız çubu ğa P ve 2P a ğırlıklı yükler şekildeki gibi asılıyor. Çubu ğun dengede kalabilmesi için nereden asılması gerekir? P 2P 4. Şekildeki KL çubu ğuna 1 F r ve 2 F r kuvvetleri uygulanıyor. Buna göre bile şkenin uygulama noktası L den kaç cm ileridedir? 30 cm F 1 =1N F 2 =2N 60 0 K L 5. E şit bölmeli çubuk iplerle tavana şekildeki gibi asıldı ğında, iplerdeki gerilme kuvveti 3T ve 5T oluyor. Buna göre, çubu ğun a ğırlık merkezi nerededir? 5T 3T KLMNO 20 c m F 1 = 2 N F 2 = 3 N 48 6. Şekildeki çubu ğa 1 F r ve 2 F r kuvvetleri uygulandı ğında, bile şke kuvvet 2 F r den kaç cm ileride olur ve büyüklü ğü kaç N olur? 7. Boyu 32 cm olan çubu ğa 3 2 1 F , F , F r r r kuvvetleri şekildeki gibi uygulanıyor. Bile şke kuvvetin büyüklü ğü kaç N dur ve 1 F r den kaç cm ileridedir? 12 cm F 3 =3N F 1 =2N F 2 =3N 20 cm ALI ŞTIRMA - 5 Moment ve Bile şke Moment 1. Şekildeki F kuvvetinin O noktasına göre momenti kaç N.m dir? O 20 cm F=5N 2. Şekildeki F kuvvetinin O noktasına göre momentinin i şaretiyle birlikte büyüklü ğü kaç N.m dir? 2m 3m O + - F=1N 3. Şekildeki F kuvvetinin O noktasına göre momenti i şaretiyle birlikte kaç N.m dir? 80 cm F=20N + - 30 0 O 4. Şekildeki 1 F r ve 2 F r kuvvetlerinin O noktasına göre bile şke momenti i şaretiyle birlikte kaç N.m dir? 3m + - 37 0 O F 2 =4N 2m F 1 =10N 30 c m F 1 =4 N F 2 = 1 N 49 5. Şekildeki 1 F r ve 2 F r kuvvetlerinin O noktasına göre bile şke momenti kaç N.m dir? 2m K F 2 =3N 1m F 1 =2N - + 6. Şekildeki 3 2 1 F , F , F r r r kuvvetlerinin O noktasına göre bile şke momentleri i şaretiyle birlikte kaç N.m dir? 2 m F 3 =10N F 1 =10N F 2 =4N 1m 1m O 30 0 53 0 + - 7. Şekildeki karelerin bir kenarı 1 m dir. Buna göre; a) F 1 kuvvetinin P noktasına göre momenti kaç N.m dir? b) F 2 kuvvetinin P noktasına göre momenti kaç N.m dir? c) Kuvvetlerin P noktasına göre bile şke momentlerinin büyüklü ğü kaç N.m dir? 1m 1m P F 2 F 1 =1N 8. Şekildeki 1 F r ve 2 F r kuvvetlerinin O noktasına göre bile şke momenti kaç N.m dir? (Vektörler ölçekli çizilmi ştir.) 1br 1br O F 2 F 1 =1N 9. X ve Y cisimleri a ğırlıksız makaralarla şekildeki gibi dengededir. Buna göre X in a ğırlı ğının Y ninkine oranı P x /P y nedir? X Y 10. Şekildeki herbir makaranın a ğırlı ğı 10 N, K cisminin a ğırlı ğı ise 30 N dur. Sistem dengede oldu ğuna göre L nin a ğırlı ğı kaç N dur? K L 50 1) A şa ğıdaki niceliklerden hangileri vektörseldir? A) Enerji B) Zaman C) Momentum D) Kütle E) Sıcaklık 2) Şekildeki vektörler aynı düzlemdedir. Bu vektörlerin bile şkesi a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) X B) 2X C) Y D) 2T E) T 3) Bir Çocuk önce kuzeye 10 metre, sonra do ğuya 40 metre daha sonra güneye 40 metre hareket etti ğinde kaç metre yer de ği ştirir? A) 40 B) 45 C) 50 D) 60 E) 90 4) Şekildeki her bir vektörün büyüklü ğü b dir. Tüm vektörlerin bile şkesi kaç b dir? A) 1/2 B) 2 C) 2 2 D) 3 2 E) 4 5) Şekillerdeki vektörlerin bile şkelerinin büyüklükleri e şit oldu ğuna göre K, L, M vektörlerinin büyüklüklerini kar şıla ştıran do ğru ifade a şa ğıdakilerden hangisidir? A) K=L=M B) L>K>M C) M>K>L D) K>L>M E) M>L>K 6) Şekildeki aynı düzlemli vektörlerin bile şkesinin şiddeti kaç birimdir? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 7) Şekildeki aynı düzlemli vektörlerin bile şkesi a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) B) C) D) E) 8) Aralarında ? açısı bulunan iki vektörün büyüklü ğü 5 ve 12 birimdir. 0 ? ?<180 o oldu ğuna göre bile şke vektörün büyüklü ğü hangi de ğeri alamaz? A) 7 B) 11 C) 15 D) 16 E) 17 L K M L M K T Y X Z 6br 60 o 4br 60 o 2br 51 9) Şekildeki vektörler aynı düzlemdedir. Buna göre v a vektörü a şa ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 10) Şekildeki aynı düzlemli vektörler için a şa ğıdaki e şitliklerden hangileri do ğrudur? I. N L K r v v + = II. K M L r v r = + III. N L M v v r - = A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 11) Şekildeki aynı düzlemli kuvvetlerin bile şkesi kaç Newton dur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 3 3 E) 2 4 12) Şekildeki vektörlerin bile şkesinin sıfır olması için dördüncü vektör olan 4 F r vektörü a şa ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 13) Sürtünmesiz yatay düzlem üzerindeki K cisminin X ekseni do ğrultusunda hareket etmesi için uygulanması gereken en küçük kuvvet kaç Newton olmalıdır? (Düzlem yatay ve sürtünme yok) (Sin37=0,6 ; Cos37=0,8) A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 14) Şekildeki vektörlerin bile şkesi sıfır oldu ğuna göre bu vektörlerin büyüklüklerini kar şıla ştıran do ğru ifade a şa ğıdakilerden hangisidir? A) A > B > C B) A > C > B C) B > A > C D) B > C > A E) C > A > B +Y 13N K +X 20N 37 o 30N 7N 1N 4N L M N K v r a c + v v b c + v b +y 50 o +x B A C 1 F r 2 F r 3 F r 52 15) Aralarında 120 o lik açı bulunan İki vektörün bile şkesi 3 10 birimdir. Küçük olan bile şen vektör bile şke vektöre dik oldu ğuna göre büyük bile şen vektörün şiddeti kaç birimdir? A) 5 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20 16) Şekildeki K vektörünün p ve t eksenleri üzerindeki bile şenlerinin büyüklükleri oranı (K t /K p ) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3 17) Şekildeki vektörlerin bile şkesi kaç Newton dur? A) 3 B) 5 C) 10 D) 16 E) 18 18) Şekildeki A, B, C vektörlerinin bile şkesinin büyüklü ğü ( › + › + › C B A ) kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 19) Şekildeki vektörlerden her birinin büyüklü ğü a dır. Buna göre tüm vektörlerin bile şkesinin büyüklü ğü kaç a dır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 20) Şekildeki vektörler aynı düzlemdedir. Buna göre v F 1 vektörü a şa ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 21) Büyüklükleri 3, 6, 8 birim olan üç vektörün bile şkesinin büyüklü ğü a şa ğıdakilerden hangisi olamaz? I. 0 II. 10 III. 18 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III p K t 3N 4N 6N 9N 8N 10N B=2 A=7 C=9 60 o vv FF 13 + v v FF 12 + v v FF 23 + 53 22) Şekildeki R vektörünün K ve L eksenleri üzerindeki bile şenlerinin oranı R K /R L kaçtır? A) 0 B) 1/2 C) 3 3 D) 2 3 E) 2 23) Şekildeki vektörler için I. KLN ››› =- II. MKL ››› =+ III. NKM ››› =+ İfadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 24) F 1 , F 2 , F 3 , kuvvetlerinin etkisinde kalan M cisminin +x ekseni do ğrultusunda hareket etmesi için uygulanacak en küçük kuvvet ne olmalıdır? A) +x (2 br) B) +y (2 br) C) -y (1 br) D) +x (1 br) E) +y (1 br) 25) Şekildeki küpün bir kenarının uzunlu ğu a dır. v r r R K L = + ise v R kaç a dır? A) 10 B) 6 C) 2 D) 3 E) 2 26) Şekildeki vektörler aynı düzlem üzerindedir. Buna göre r r r KLM ++ a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) L B) 2L C) 3L D) 4L E) 5L 27) M noktasal cismi ( şekil-1) deki üç kuvvetin etkisindedir. Cismin +x do ğrultusunda hareket etmesi için ( şekil-2) deki kuvvetlerden hangileri uygulanabilir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) II ve III D) IV ve V E) I, II ve III K R L 60 o K L M N r K r M r L r K r L a a a F 1 F 3 F 2 +X M +Y IV V III II I Şekil-2 F 1 F 3 F 2 +X M +Y Şekil-1 54 28) Şekildeki A, B, C vektörlerinin bile şkesi kaç birimdir? A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30 29) CABBC ›› ›› › ++ ,, vektörleri şekilde verilmi ştir. Buna göre, A vektörü a şa ğıdakilerden hangisidir? 30) Şekildeki aynı düzlemli kuvvetlerin etkisinde kalan K cismi sürtünmesiz yüzeyde hangi yönde hareket eder? A) I B) II C) III D) IV E) V 31) Şekildeki vektör diyagramında R K L M N P ›››››› = - + + + dir. Buna göre, R a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) 0 B) P › C) 2 L › D) K › E) 2P › 32) Şekildeki vektörlerin bile şkesi a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) 2 M › B) 22 M S ›› + C) M S ›› - D) 22 M S ›› - E) 2 S › 33) Şekildeki vektörlerin bile şkesi kaç Newton dur? A) 5 B) 7 C) 9 D) 13 E) 15 C=16 A=12 B=16 30 o 30 o C B+C A+B A E) D C) B) K 6f f 2f 4f 5f 5f II IV I V III M K N L P M K N L S P 12N 11N 20N 20N 30 O 30 O +y +x 55 34) Şekildeki kuvvetlerin O noktasına göre momentlerini kar şıla ştıran do ğru ifade a şa ğıdakilerden hangisidir? A) M 1 >M 2 >M 3 B) M 2 >M 1 >M 3 C) M 2 >M 3 >M 1 D) M 3 >M 2 >M 1 E) M 1 =M 2 =M 3 35) Şekildeki karesel levha kuvvetlerin etkisi altında dengededir. Buna göre A noktasına uygulanacak üçüncü kuvvet a şa ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 36) Şekildeki kuvvetlerin K noktasına göre toplam momentleri kaç (birim) 2 dir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 37) Şekildeki kuvvetlerin O noktasına göre momentlerinin büyüklüklerini kar şıla ştıran do ğru ifade a şa ğıdakilerden hangisidir? A) M 2 >M 1 >M 3 B) M 1 >M 2 >M 3 C) M 2 >M 3 >M 1 D) M 3 >M 2 >M 1 E) M 1 =M 2 =M 3 38) Şekildeki sistem dengededir. İplerdeki gerilme kuvvetleri olan T 1 , T 2 ve T 3 arasında a şa ğıdaki ili şkilerden hangisi vardır? A) T 1 >T 2 >T 3 B) T 2 >T 1 >T 3 C) T 2 >T 3 >T 1 D) T 3 >T 2 >T 1 E) T 1 =T 2 =T 3 39) Şekildeki sistem dengededir. İplerdeki gerilme kuvvetleri olan T 1 , T 2 ve G arasında a şa ğıdaki ili şkilerden hangisi vardır? A) T 1 >T 2 >G B) T 2 >T 1 >G C) T 2 >G>T 1 D) G>T 2 >T 1 E) T 1 =T 2 =G F 3 O F 1 F 2 F 3 K F 1 F 2 F 1 F 2 A O F 1 F 2 F 3 30 T 2 T 1 G 60 40 o T 2 T 1 G T 3 56 40) Şekildeki sistemler dengededir. İplerdeki gerilme kuvvetleri olan T 1 , T 2 ve T 3 arasındaki ili şki a şa ğıdakilerden hangisidir? ( ß> ?) A) T 2 >T 3 >T 1 B) T 1 =T 2 =T 3 C) T 1 >T 2 >T 3 D) T 3 >T 2 >T 1 E) T 2 >T 1 >T 3 41) Şekildeki sürtünmesiz sistem dengededir. G 1 = 5N, G 3 =13 N ise G 2 kaç N dur? A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12 42) Şekildeki homojen kürenin a ğırlı ğı G olup dü şey duvarın küreye uyguladı ğı tepki kuvveti F, ipteki gerilme kuvveti T dir. Buna göre F, G ve T arasında a şa ğıdaki ili şkilerden hangisi mevcuttur? A) F>T>G B) T>F>G C) F>G>T D) G>T>F E) T>G>F 43) Şekildeki homojen küre destek ve ip yardımıyla dengededir. Buna göre kürenin a ğırlı ğı olan G, deste ğin küreye uyguladı ğı tepki kuvveti F ve ipteki gerilme kuvveti T arasında a şa ğıdaki ili şkilerden hangisi do ğrudur? ( ?<45) A) F>T>G B) T>F>G C) F>G>T D) G>F>T E) F>T=G 44) K ve L desteklerinin a ğırlıksız kalasa uyguladıkları tepki kuvvetleri kaçar Newton dur? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) B) C) D) E) F K 30 20 10 40 50 F L 40 50 60 30 20 45) Şekildeki sistem dengede olup kalas a ğırlı ğı önemsizdir. Buna göre T/G oranı kaçtır? (Bölmeler e şit aralıklıdır. Sin53=0,8 ; Sin37=0,6) A) 1/3 B) 2/3 C) 1 D) 2 E) 3 F M ? T ? T 2 T 1 G ß G G T 3 G 2 G 1 G 3 70N K L 50 o M 53 o T G 57 46) Homojen kalasın a ğırlı ğı P olup sistem dengededir. Buna göre T/P oranı kaçtır? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 1/2 47) Şekildeki homojen kalasın a ğırlı ğı 50 N oldu ğuna göre 100N luk P cisminin ba ğlandı ğı ipteki gerilme kuvveti kaç N dur? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) 30 B) 50 C) 75 D) 80 E) 90 48) Homojen kürenin a ğırlı ğı G dir. Küreyi şekildeki gibi basamaktan atlatacak küre yüzeyine te ğet olan en küçük kuvvet kaç N dur? A) G/4 B) G/2 C) 2 2 . G D) 4 3 . G E) 3 5 . G 49) Şekillerdeki sistemler denge durumuna gelinceye kadar Şekil-1 deki yay x 1 kadar Şekil-2 deki yay x 2 kadar uzamaktadır. Buna göre (x 1 /x 2 ) kaçtır? (Yaylar özde ştir) A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4 50) Şekildeki kuvvetlerin O noktasına göre momentlerinin büyüklüklerini kar şıla ştıran do ğru ifade a şa ğıdakilerden hangisidir. A) M 1 >M 2 >M 3 B) M 1 =M 2 >M 3 C) M 1 =M 2 =M 3 D) M 1 >M 3 >M 2 E) M 3 >M 1 =M 2 51) Şekildeki homojen kürenin a ğırlı ğı 10 N dur. Buna göre, deste ğin küreye uyguladı ğı kuvvet kaç Newton dur? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12,5 T P T P M Basamak r/2 r Şekil-2 2G X 2 X 1 Şekil-1 G F 3 O F 1 F 2 53 o 53 o İp Destek M 58 52) Şekildeki sürtünmesiz sistem a ğırlı ğı ihmal edilen makara ile dengededir. E ğer P iki katına çıkarılıp denge F 1 ile aynı do ğrultudaki ba şka bir F 2 kuvveti ile dengelenirse ? açısı kaç katına çıkar? (F 1 yatay do ğrultudadır.) A) 1/3 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 3 53) Şekildeki sistem dengededir. Buna göre iplerdeki gerilme kuvvetleri T 1 , T 2 ve T 3 arasında ne tür bir ili şki vardır? A) T 1 >T 2 >T 3 B) T 3 >T 2 >T 1 C) T 1 =T 2 >T 3 D) T 1 >T 3 >T 2 E) T 3 >T 2 =T 1 54) Şekildeki sistem dengede olup ipteki gerilme kuvveti T=8 Newton dur. Buna göre yayı geren kuvvet kaç newton dur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 55) Kare şeklindeki homojen levhayı sayfa düzlemi içinde en kolay biçimde devirebilmek için şekildeki kuvvetlerden hangisi uygulanmalıdır? A) F 1 B) F 2 C) F 3 D) F 4 E) F 5 56) Şekildeki sistem a ğırlıksız kalas ile dengededir. Buna göre, ipteki gerilme kuvveti kaç G olur? (Sin37=0.6 , Cos37=0.8) A) 1/3 B) 3/4 C) 4/3 D) 3/2 E) 7/2 57) Şekildeki sistem dengede oldu ğuna göre G 2 kaç N dur? A) 8 B) 10 C) 13 D) 16 E) 22 30 o 30 o T=8N Yay G=6N İp F 1 İp ? p T 1 T 2 T 3 G G F 5 F 4 F 3 F 2 F 1 G 2 G 1 =12N G 3 =20N İp 37 o G 59 58) Şekildeki sistem homojen kalasla dengededir. Buna göre, ipteki gerilme kuvvetinin kalasın a ğırlı ğına oranı nedir? A) 1/4 B) 1/2 C) 2/3 D) 2 E) 4 59) Şekildeki sistem a ğırlıksız kalas ile dengededir. Buna göre, P/G oranı nedir? (Sin37=0.6 , Cos37=0.8) A) 1/3 B) 3/4 C) 1 D) 16/9 E) 2 60) Şekillerdeki sistemler kendi içinde dengededir. Buna göre, G/W oranı kaçtır? A) 3/4 B) 4/3 C) 5/3 D) 6/4 E) 2 61) Şekildeki sistem a ğırlıksız kalas ile dengede oldu ğuna göre G kaç kg dır? (Sin37=0.6) A) 10 B) 14 C) 18 D) 24 E) 30 62) Şekildeki sistem dengede olup ß> ? dır. Buna göre, iplerdeki gerilme kuvvetleri T 1 , T 2 , ve T 3 arasında ne tür bir ili şki vardır? ( ?+ ß>90) A) T 1 >T 2 >T 3 B) T 1 T 2 >T 3 C) T 1 =T 2 =T 3 D) T 1 T 3 65) Şekildeki sistemde homojen e şit bölmeli kalasın a ğırlı ğı W dır. Bir X cismi A ucuna asıldı ğında kalas devrilebilmektedir. X kaldırılıp ba şka bir Y cismi B ucuna asıldı ğında kalas yine devrilmektedir. Buna göre, en küçük X a ğırlı ğının en küçük Y a ğırlı ğına oranı X/Y nedir? A) 2 B) 3/2 C) 1 D) 3/4 E) 1/2 66) Şekildeki sistem dengede olup kalas K noktası etrafında kolayca dönebilmektedir. Buna göre, ipteki gerilme kuvvetinin homojen kalasın a ğırlı ğına oranı nedir? (Sin37=0.6 , Sin53=0.8) A) 3/10 B) 1/2 C) 3/5 D) 1 E) 2 70) Şekildeki kütlelerin kütle merkezinin koordinatları a şa ğıdakilerden hangisine e şittir? A) (3;2) B) (2;3) C) (2;2) D) (2;1) E) (1;3) 71) Homojen karesel levha dokuz e şit parçaya bölündükten sonra taralı parçalar kesilip atılıyor. Olu şan yeni sistemin kütle merkezi nerededir? A) K-O arasında B) N-O arasında C) P-O arasında D) L-O arasında E) P-N arasında 72) O 1 merkezli homojen daireden O 2 merkezli taralı olan daire kesilip şekildeki gibi yapı ştırılıyor. Buna göre, kütle merkezi kaç r yer de ği ştirir? A) 0.1 B) 0.25 C) 0.5 D) 0.75 E) 1 70 o 40 o T G T 1 60 o 50 o T 3 G T 2 L K B A İp 37 o K 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Y 2m 4m 3m X L K N O P O 2 r 2r O 1 O 2 61 73) Aynı maddeden yapılmı ş şekildeki homojen çemberlerin kütle merkezi nerededir? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) K noktasında B) K ile L arasında C) L noktasında D) L ile N arasında E) N noktasında 74) Taban uzunlu ğu 30 cm olan homojen üçgenler şekildeki gibi yapı ştırılıyor. Buna göre, kütle merkezi O noktasından kaç cm ötededir? A) 10 B) 7 C) 6 D) 4 E) 3 75) 40 cm uzunlu ğundaki homojen düz tel bir ucundan 10 cm’ si kendi üzerine katlanırsa kütle merkezi kaç cm yer de ği ştirir? A) 1 B) 2,5 C) 4 D) 5,5 E) 8 76) M 1 , M 2 ve M 3 kütlelerinin kütle merkezi O noktasıdır. M 1 kütlesi 2 kg oldu ğuna göre M 3 kütlesi kaç kg dır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 77) Homojen karesel levhadan taralı olan parçalar çıkarıldıktan sonra geri kalan üçgenlerin kütle merkezi hangi nokta ya da noktalar arasındadır? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) K-L arasında B) O noktasında C) L noktasında D) L-O arasında E) S-O arasında 78) Kütleleri e şit iki çubuk homojen olup birbirine dik olacak şekilde monte edilmi ştir. Buna göre, şeklin kütle merkezi O noktasından kaç cm uzaktadır? A) 2 B) 2 3 C) 4 D) 5 2 E) 6 M 1 M 3 O M 2 O 1 O 2 P N K L K L P N R U O S T O 12cm 12cm O 62 79) Homojen karesel levha dört e şit parçaya bölündükten sonra parçalardan biri kesiliyor. Olu şan yeni şeklin kütle merkezi hangi nokta yada noktalar arasındadır? (Bölmeler e şit aralıklıdır) A) S noktasında B) L noktasında C) K-L arasında D) K-S arasında E) L-M arasında 80) Dikdörtgen şeklindeki homojen levhanın taralı olmayan kısımları kesilip atılıyor. Yeni şeklin kütle merkezi nerededir? A) L noktasında B) L ile M arasında C) M noktasında D) M ile N arasında E) N noktasında 81) Homojen düz tel şekildeki gibi bükülüyor. Bu tel hangi noktasından asılırsa görüldü ğü haliyle dengede kalır? A) K noktasında B) K ile L arasında C) L noktasında D) L ile M arasında E) M noktasında 82) Şekildeki homojen e şit bölmeli şeridin kaç bölmesi kendi üstüne katlanırsa kütle merkezi K ile L’nin tam ortasında olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 83) Kalınlı ğı her yerde aynı olan dairesel homojen levhanın yarıçapı r dir. Bu levhanın I nolu parçası kesilip şekildeki gibi yapı ştırılırsa kütle merkezi ne kadar yer de ği ştirir? A) r/4 B) r/3 C) r/2 D) 2r/3 E) 3r/4 84) Üç özde ş kareden meydana gelmi ş şekildeki homojen levha K noktasından asıldı ğında a şa ğıdaki şekillerden hangisi gibi dengede kalır? A) B) C) D) E) K L M N S P N M L K K L M L K I I 60 o 60 o K K K K K K 63 85) M 1 , M 2 ve M 3 kütlelerinin kütle merkezi 0 noktasıdır. M 3 kütlesi 3 kg oldu ğuna göre M 1 kütlesi kaç kg dır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 86) O 1 merkezli 2r yarıçaplı homojen kürenin özkütlesi d dir. Bu küreden O 2 merkezli r yarıçaplı küre oyulup çıkarıldıktan sonra yerine 5d özkütleli madde şırınga ediliyor. Kütle merkezi kaç r yer de ği ştirir? A) 1/9 B) 1/8 C) 1/5 D) 1/4 E) 1/3 87) Homojen karesel levha e şit parçalara bölündükten sonra şekildeki gibi taralı olmayan kısımlar kesilip atılıyor. Buna göre, elde edilen yeni şeklin kütle merkezi hangi nokta ya da noktalar arasındadır? (Bölmeler e şit aralıklıdır) A) L noktasında B) L-M arasında C) M noktasında D) M-N arasında E) N noktasında 88) Türde ş ve aynı kalınlıktaki telin bükülmesiyle olu şan şekildeki sistem nereden asılırsa görüldü ğü hali ile dengede kalır? (Bölmeler e şit aralıklıdır) A) K 'dan B) K-L arasından C) L-M arasından D) M 'den E) M-N 'arasından 89) Kalınlı ğı her yerde aynı olan daire şeklindeki levha N noktasından asıldı ğında şekildeki gibi dengeleniyor. Buna göre, a şa ğıdaki ifadelerden hangileri kesin yanlı ştır? (M noktası kürenin merkezidir.) I. Levha homojendir II. Kütle merkezi K noktasıdır. III. Kütle merkezi K-M arasındadır A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III 90) Aynı maddeden yapılmı ş şekildeki homojen r, 2r ve 3r yarıçaplı çemberlerin kütle merkezi nerededir? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) K noktasında B) K ile L arasında C) L noktasında D) L ile N arasında E) N Noktasında M 1 M 2 O M 3 2r O 1 O 2 L K M N P M N L K İp K N L M O 1 O 3 O 2 N K L 64 91) Homojen karesel levha dört e şit parçaya bölündükten sonra parçalardan biri kesilip atılıyor. Olu şan yeni şeklin kütle merkezi hangi nokta ya da noktalar arasındadır? (Bölmeler e şit aralıklıdır) A) S-K arasında B) L noktasında C) K-L arasında D) L-M arasında E) M noktasında 92) Dikdörtgen şeklindeki homojen levhanın taralı olmayan kısımları kesilip atılıyor. Yeni şeklin kütle merkezi nerededir? A) L noktasında B) L ile M arasında C) M noktasında D) M ile N arasında E) N noktasında 93) Şekildeki homojen levha parçası A noktasından asılınca nasıl dengelenir? A) B) C) D) E) 94) Homojen karesel levha dört e şit parçaya bölündükten sonra parçalardan biri kesilip şekildeki gibi yapı ştırılıyor. Olu şan yeni şeklin kütle merkezi hangi nokta ya da noktalar arasındadır? (Bölmeler e şit aralıklıdır) A) K noktasında B) L noktasında C) K-L arasında D) L-M arasında E) M noktasında 95) 120 cm uzunlu ğundaki homojen düz bir tel bir ucundan 30 cm'si kendi üzerine katlanıyor. Buna göre, kütle merkezi kaç cm yer de ği ştirir A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 30 96) Şekildeki türde ş levha nereden asılırsa görüldü ğü gibi dengede kalır? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) K ile L arasından B) L noktasından C) L ile N arasından D) N noktasından E) N ile M arasından P N M L K K.M A K L M N S K L M N S L M N K 65 97) r yarıçaplı homojen daireden taralı olan 1 numaralı parça kesilip şekildeki gibi yapı ştırılırsa kütle merkezi kaç r kadar yer de ği ştirir? A) r/5 B) r/4 C) r/3 D) r/2 E) r 98) Şekildeki gibi bükülmü ş homojen düz telin her bölgesindeki kalınlık aynıdır. Tel nereden asılırsa şekilde görüldü ğü haliyle dengede kalır? A) L noktasında B) L ile K arasında C) K noktasında D) K ile N arasında E) N noktasında 99) Kütleleri e şit homojen levhalar şekildeki gibi birbirine yapı ştırılmı ştır. Verilen aralıklar e şit oldu ğuna göre sistemin kütle merkezi hangi nokta ya da noktalar arasındadır? (Bölmeler e şit aralıklıdır) A) K-L arasında B) L-M arasında C) M noktasında D) M-N arasında E) N noktasında 100) Birbirine yapı şık disklerin merkezi O noktasıdır. Sistem dengede oldu ğuna göre P/G oranı kaçtır? (Makara a ğırlıkları önemsizdir.) A) 4 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 1/4 101) Şekildeki sürtünmesiz sistemler dengededir. Buna göre, F 1 , F 2 ve F 3 kuvvetlerinin büyüklükleri arasındaki ili şki a şa ğıdakilerden hangisidir? A) F 1 >F 2 >F 3 B) F 1 >F 3 >F 2 C) F 1 =F 2 =F 3 D) F 3 >F 2 >F 1 E) F 2 >F 3 >F 1 102) Şekildeki sürtünmesiz sistem dengede olup makara a ğırlıkları önemsizdir. Buna göre, X/Y oranı kaçtır? A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E) 1/4 1 1 r r r N K L P M N L K r G r P 3G F 1 G F 2 2G F 3 X Y 66 103) Şekildeki sürtünmesiz sistemde makara a ğırlıkları önemsizdir. Sistem dengede oldu ğuna göre, P kaç kg dır? A) 80 B) 40 C) 25 D) 15 E) 5 104) Şekildeki sistemde 2r yarıçaplı tekerlek ok yönünde 2 tur yapacak şekilde döndürüldü ğünde X cismi ne kadar yükselir? A) 1 ?r B) 2 ?r C) 3 ?r D) 4 ?r E) 6 ?r 105) Makara a ğırlıkları önemsiz olup sistem dengededir. Buna göre, X cismi 6 birim a şa ğı çekildi ğinde Y cismi kaç birim yukarı çıkar? A) 24 B) 12 C) 6 D) 3 E) 2 106) Şekildeki sistemde her bir makaranın kütlesi 4 kg dır. Buna göre, P kaç kg dır? A) 20 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4 107) Şekildeki sistemde makara a ğırlıkları önemsizdir. Buna göre, X kaç Kg dır? A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 10 108) Şekildeki sistem dengede olup makara a ğırlıkları önemsizdir. Buna göre, P kaç kg dır? (Sin53=0,8) A) 30 B) 28 C) 26 D) 24 E) 20 P 5kg 3 4 X 2r r X Y P 6kg G=12kg X 10kg 53 o P 67 109) Şekildeki sistemde G yükü a şa ğı çekilerek K tekerle ği 4 tur yaptı ğında özde şi olan L tekerle ği kaç tur yapar? A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E) 1/2 110) Şekildeki sistemde makaraların a ğırlı ğı önemsiz olup e şit bölmeli homojen kalas dengededir. Buna göre, kalasın a ğırlı ğı kaç P dir? (Bölmeler e şit aralıklıdır.) A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 111) Şekildeki çarklar sisteminde çarkların merkezi sabitle şmi ştir. K tekeri ok yönünde 10 defa dönerse M tekeri kaç defa döner? A) 9 B) 8 C) 5 D) 3 E) 2 112) Şekildeki sürtünmesiz sistemlerde makara a ğırlıkları önemsiz olup sistemler dengededir. Buna göre, X/Z oranı kaçtır? A) 1/4 B) 3/4 C) 1 D) 3/2 E) 2 113) X ve Y cisimleri sürtünmesiz e ğik düzlemler üzerinde dengededir. Buna göre, X/Y oranı kaçtır? (Sin37=0,6 ; Sin53=53=0,8) A) 3 B) 4/3 C) 1 D) 3/4 E) 1/3 114) Şekildeki vidanın tahta içindeki aldı ğı yolun uzunlu ğu a şa ğıdakilerden hangisine ba ğlıdır? (Kuvvet yeterice büyüktür) I. Vidaya uygulanan Kuvvetin büyüklü ğü (F) II. Vida adım uzunlu ğu (a) III. Vidanın yarıçapı (r) IV. Tahtanın vidaya uyguladı ğı direnç kuvveti (R) V. Vidanın dönme sayısı (n) A) I ve IV B) II ve V C) II, III ve V D) I, IV ve V E) II, IV ve V 3r r 5r r K L M P G L K P X Y Z r r Y Y 53 o X 37 o Tahta r F a R 68 115) Şekildeki sürtünmesiz sistem dengededir. Buna göre, P/G oranı kaçtır? A) 3/5 B) 4/5 C) 1 D) 3 E) 4 116) Şekildeki sürtünmesiz sistemde her bir makaranın a ğırlı ğı P kadardır. P cismi 4 metre a şa ğı çekildi ğinde G cismi kaç metre yukarı çıkar? A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 8 E) 16 117) Şekildeki sistem dengededir. A şa ğıdakilerden hangisinin de ği şmesiyle denge bozulmaz? A) L a ğırlı ğı B) r 2 C) r 3 D) K a ğırlı ğı E) r 1 118) Şekildeki sistemde r ve 3r yarıçaplı tekerleklerin merkezleri çakı şık olup birbirine perçinlenmi ştir. P cisminin 16 ?r kadar yukarı çıkması için tekerlek kaç kez dönmelidir? A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 119) Şekildeki sistemde kol (1) konumundan (2) konumuna getirildi ğinde P cismi kaç ?r yükselir? A) 1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2 120) Şekildeki sistem homojen G a ğırlı ğı ile dengede oldu ğuna göre T kaç N dir? A) 10 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 P 6 8 G G P r 2 r 1 r 3 L K 3r r P Yatay r 4r (1) Kol Dü şey (2) P T G=120N 69 121) Şekildeki sürtünmesiz sistemde makara a ğırlıkları önemsizdir. Sistem dengede oldu ğuna göre G kaç kg dır? A) 100 B) 50 C) 25 D) 10 E) 4 122) Şekildeki sistemde X di şlisinde 12, Y di şlisinde 6 di ş vardır. Y di şlisine monte edilen r yarıçaplı tekerlek 2r yarıçaplı Z tekerle ğine kayı şla ba ğlıdır. X di şlisi ok yönünde 12 tam dönme yaptı ğında Z kaç kez döner? A) 3 B) 6 C) 12 D) 24 E) 48 123) Şekildeki sistem dengede olup her bir makaranın kütlesi 3 kg dır. Buna göre, X kaç kg dır? A) 9 B) 11 C) 16 D) 19 E) 23 124) Şekildeki sistem a ğırlıksız makaralarla dengededir. Buna göre, P/G oranı nedir? (P cismi düzgün ve homojendir) A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4 125) Sürtünmesiz e ğik düzlem üzerinde bulunan P a ğırlıklı cisim F kuvveti ile dengededir A şa ğıdaki şekillerden hangisinde ya da hangilerinde aynı cisim yine dengededir? (Kalas ve makaralar a ğırlıksızdır) A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 126) Şekildeki homojen kalasın a ğırlı ğı 2G olup sistem dengededir. Buna göre kalasın sa ğ ucuna ba ğlı ipteki gerilme kuvveti kaç G dir? (Bölmeler e şit aralıklıdır) A) 1/7 B) 1 C) 2/5 D) 1/2 E) 2/3 8 6 G 10kg Z X 2r r Y X 5kg G P F 4 2 P F P III II P r r F F I P 30 o G O 70 127) Şekildeki homojen küre destekler yardımıyla dengededir. Buna göre kürenin a ğırlı ğı olan G ile, desteklerin küreye uyguladı ğı tepki kuvvetleri F 1 ve F 2 arasında a şa ğıdaki ili şkilerden hangisi do ğrudur? A) F 1 >F 2 >G B) F 2 >F 1 >G C) F 2 >G>F 1 D) G>F 2 >F 1 E) F 1 >F 2 =G 128) P ve G cisimleri sürtünmesiz e ğik düzlemler üzerinde dengededir. Buna göre, P/G oranı nedir? A) 2 B) 4/3 C) 1 D) 3/4 E) 1/2 129) Şekildeki sürtünmesiz sistem a ğırlıksız makaralarla dengededir. Buna göre, homojen kalasın a ğırlı ğının G cisminin a ğırlı ğına oranı nedir? A) 4 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 1/4 130) Şekildeki sistem a ğırlıksız makara ve e şit bölmeli homojen kalasla dengededir. Buna göre, kalasın a ğırlı ğı kaç G dir? (Sürtünmeler yok makaralar O noktası etrafında dönebilmektedir) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 131) Şekildeki sürtünmesiz sistemde cisimlerin kütleleri e şittir. Sistem serbest bırakıldıktan bir süre P cisminin kinetik enerjisinin G cisminin kinetik enerjisine oranı kaçtır? (Makara a ğırlıkları önemsizdir.) A) 16 B) 12 C) 4 D) 1 E) 1/12 132) Şekildeki sürtünmesiz sistem a ğırlıksız makaralarla dengededir. Buna göre, T kaç Newton dur? A) 140 B) 120 C) 110 D) 90 E) 60 G P 53 o 37 o G r O r G P r r G T G 1 =200N G 2 =190N F 1 M 55 o 70 o F 2