YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI ( e-Kitap ) i T.C. ANADOLU ÜN İVERS İTES İ YAYINI NO: 2528 AÇIKÖ ĞRET İM FAKÜLTES İ YAYINI NO: 1499 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I Yazarlar Prof.Dr. Müjgan SA ĞIR (Ünite 1, 4, 5) Yrd.Doç.Dr. Mahmut ATLAS (Ünite 2, 3) Doç.Dr. Nil ARAS (Ünite 6, 8) Ar ş.Gör.Dr. Zehra KAMI ŞLI ÖZTÜRK (Ünite 7) Editör Prof.Dr. B. Fethi ŞENİŞ ANADOLU ÜN İVERSİTES İ iii İçindekiler Önsöz .... iv 1. Yöneylem Ara ştırmasına Giriş 2 2. Do ğrusal Programlama . 14 3. Do ğrusal Programlama Modellerinin Çözümü: Grafik Çözüm Tekni ği 38 4. Simpleks Algoritması 68 5. Duyarlılık Analizi . 92 6. İkillik (Dualite). . 116 7. Hedef Programlama 146 8. Ula ştırma ve Atama Modelleri. 170 iv Önsöz Karar vermek, ya şımız ve mesleğimiz ne olursa olsun hayatın her aşamasında, sayamayaca ğımız kadar çok defa kar şı kar şıya kaldı ğımız bir i şlemdir. Ne giyeceğiniz, neye yatırım yapaca ğınız, çocuğunuzun hangi okula devam edece ği, kariyerinizi nasıl planlayacağınız, hangi tedarikçi ile çalı şaca ğınız, hangi kargo ile iletilerinizi gönderece ğiniz, hangi servis sa ğlayıcısı ile çalı şaca ğınız, hangi lisansüstü programa kayıt olaca ğınız, hangi marka buzdolabı alacağınız, yemeğinizle hangi içece ği sipari ş edece ğiniz, ödemenizi kredi kartı ile mi pe şin mi yapaca ğınız… Meslek ya şantılarında da insanlar hemen her an karar vermek durumundadırlar. Şu marka hammaddeyi mi kullansak, yoksa bunu mu? On tane mi üretsek, sekiz mi yoksa oniki mi? Kaç tane satı ş şubesi açsak? Bu şubeleri hangi şehirlerin hangi semtinde açsak daha iyi olur? İşletmelerin ölçe ği büyüdükçe, seçenek sayısı arttıkça, i şlemler karma şıklaştıkça; karardan etkilenen ki şi ve kurum sayısı da ba ğlı olarak artar ve yanlı ş kararların maddi manevi bedeli daha da ağırla şır. Bu sebeple böylesi karma şık karar problemleri ile yüzle şildi ğinde, deneyim ve sezgiler hala çok önemli olmakla beraber, en do ğru kararı verme sürecinde, yetersiz kalabilmektedirler. Yöneylem Araştırması, karar vericilerin bu tür süreçlerde, kendi deneyimlerinin yanısıra, ihtiyaç duyabilecekleri bilimsel yöntem ve teknikleri sunan ve uygulama olana ğı veren bir bilim dalıdır. Bu kitap, Yöneylem Ara ştırması’na belirli bir ölçüde giri ş sağlamak amacıyla hazırlanmı ştır. Konunun kuramsal yönünden çok, kapsadı ğı problem türleri ve çözüm yaklaşımları örneklerle tanıtılmı ştır. Örneklerin olabildi ğince, dersin hedef kitlesine ve gelecekteki çalı şma alanına uygun olmasına özen gösterilmi ştir. Ünitelerde yer verilen örneklerin dikkatlice incelenmesi, kar şıla şılan sorulara yanıt vermeye çalı şılması ve ünite sonlarında yer alan yanıt anahtarlarıyla kar şıla ştırılması, konuların daha iyi kavranmasına katkı sa ğlayacaktır. Ünitelerin anlatımı ve sunumu konusunda türlü isteklerimizi kar şılamak için çaba gösteren tüm yazarlarımıza teşekkür etmeyi zevkli bir görev sayıyorum. E d i t ö r P r o f . D r . B . F e t h i ŞENİŞ 2 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Yöneylem Ara ştırması’nın ortaya çıkı şını ve geli şimini açıklayabilecek, Yöneylem Araştırması’nın üç temel özelli ği olan sistem yakla şımı, disiplinlerarası yaklaşım ve bütünleşik yakla şımı açıklayabilecek, Model kavramını tamamlayabilecek, Yöneylem Ara ştırması sınıfına giren problem türlerini ifade edebilecek, Do ğrusal ve do ğrusal olmayan programlama türlerini açıklayabilecek Yöneylem Ara ştırması tekniklerinin kullanım alanlarını ifade edebilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Yöneylem Ara ştırması Model Do ğrusal Programlama Do ğrusal Olmayan Programlama Sistem Yakla şımı Disiplinlerarası Yakla şım Bütünleşik Yaklaşım İçindekiler Giri ş Yöneylem Ara ştırması’nın Üç Temel Özelli ği Yöneylem Ara ştırması Yakla şımı Model, Karar Modeli Do ğrusal ve Do ğrusal Olmayan Programlama Yöneylem Ara ştırması Teknikleri ve Kullanım Alanları 1 3 G İR İŞ Yöneylem Araştırması’nın doğu şu II. Dünya Sava şı y ıllarındaki askeri uygulamalara dayandırılmakla birlikte, 1911’lerde Frederick Taylor’un yayınladı ğı Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalı şmasının da aslında bu bilim dalının köklerini oluşturdu ğu söylenebilir. II. Dünya Savaşı y ıllarında, İngiliz askeri birimlerinde radarların etkili kullanımı, denizaltıların yerlerinin belirlenmesi gibi problemlerin çözümünde farklı bilim dallarından oluşan ekiplerle çalı şılmı ştır. İzleyen yıllarda Amerika Birle şik Devletleri’nde Amerikan ekonomisi için geliştirilen bir endüstriler arası girdi-çıktı modeli de yine birden fazla araştırmacıdan oluşan bir ekiple ele alınmı ştır. Bu ekipte yer alan George B. Dantzig bu tür problemlerde, tanımlanan bir amaç fonksiyonu ile eniyi programların yapılabilece ği dü şüncesini savunmu ş ve ayrıca doğrusal programlama problemleri için bilinen Simpleks Algoritması’nı geli ştirmi ştir. Yıllar içerisinde Yöneylem Ara ştırması, örgütlerin ve/veya sistemlerin tasarımında, kurulu şunda ve i şletilmesinde karşıla şılan planlama, yürütme ve kontrol faaliyetlerine bilimsel yöntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm arayan bir bilim dalı olarak yerini almı ştır. Matematik, çözüm tekniklerinin altında yatan temel bilimdir. Matemati ğin, bu bölümde yer verilen ve Yöneylem Ara ştırması’nı karakterize eden modelleme, yöntembilim vb. özellik ve yakla şımlarla birlikte ele alını ş biçimi yönüyle, Yöneylem Ara ştırması, bir sanat olarak da görülmektedir. Çözüm sürecinde kullanılan yaklaşım, problemi ve ardından çözüm seçeneklerini ortaya koyma, daha sonrada eniyi seçene ği uygun yöntemle belirleme a şamalarından oluşur. Birden fazla seçenek çözüm sözkonusu de ğilse, bir problem de yok demektir. Buna bir örnek şu şekilde verilebilir: Bir do ğal afet durumunda, ülkenin, afetin ya şandı ğı bölgelerine ula ştırılacak yardımın hangi yolla yapılaca ğına karar verilmek istensin. Yardım ula ştırmanın o anki koşullarda tek yolu havadan ula şım ise, kara yolu ve denizyolu sözkonusu de ğilse, örne ğin denizyolu co ğrafi olarak mümkün olmayıp, karayolu da tahrip olmuş ve kullanılamaz ise, en iyi seçene ğin hangisi oldu ğu gibi bir problem sözkonusu de ğildir ve tek ula şım seçene ği hava yoludur. Fakat hem hava yolu, hem karayolu ile ula şım mümkün ise o durumda hangi seçene ğin daha iyi oldu ğu sorusu gündeme gelir. Bu durumda Yöneylem Ara ştırması yöntemleri ile eniyi seçeneğe karar vermek mümkün olur. Problem, ancak çözümünde alternatif yollar varsa vardır. Bu ünitede yukarıda çok genel olarak açıklanan Yöneylem Ara ştırması’nın; temel özellikleri, problem çözümlerinde izledi ği yakla şım ve hangi tür problemlerin çözümünde kullanılaca ğı vb. konulara yer verilecektir. YÖNEYLEM ARA ŞTIRMASI’NIN ÜÇ TEMEL ÖZELL İĞİ Yöneylem Ara ştırması’nın üç temel özelliği; a. Bilimsel yöntem, b. Bütünleşik yakla şım ve c. Disiplinlerarası yakla şım Yöneylem Araştırmasına Giri ş 4 şeklindedir. Bilimsel yöntem, basitce, problemlerin çözümünde bilimsel bir yaklaşımın izlenmesini ifade eder. Bu anlamda bilimsel yöntem; incelenen problem veya olayla ilgili önce gözlem yapılmasını, sonra bir hipotezin geliştirilmesini, ardından bu hipotezin deneylerle sınanmasını ve son adım olarak da genellenmesini içerir. Ardından geri bildirimler ve gerekliyse kontrollerle sistem üzerinde geli ştirmeler devam edebilir. Bütünleşik yaklaşım, ele alınan problemin, içerisinde yer aldı ğı sistem ile birlikte tüm bile şenleri ve boyutlarıyla incelenmesidir. Birden fazla ve kar şılıklı ili şki içinde bulunan ve belirli bir amaca yönelik olarak bir arada bulunan olu şumlar (sistemler) ile kar şıla şıldı ğından, bu özellik sistem yaklaşımı olarak da ifade edilebilmektedir. Son olarak disiplinlerarası yaklaşım ise, Yöneylem Ara ştırması kapsamındaki problemlerin, farklı disiplinlerde yer alan uzmanlardan olu şan bir ekiple çözülmesi anlamına gelmektedir. Birlikte dü şünüldüğünde bu üç özelli ğin, problem çözüm süreçlerine farklı bir sistematik yakla şım kazandırdı ğı görülebilmektedir. Kavramları daha iyi anlayabilmek için a şa ğıdaki örne ği inceleyelim: Bir i şletme var olan depolarına yenilerini eklemek istemektedir. Her deponun yeri ve kapasitesi; da ğıtım yapaca ğı mü şterilere, bulunulan bölgedeki talep büyüklüğüne vb. göre de ği şecektir. Eniyi depo yerine karar verebilmek için i şletmenin bazı araştırmalar yapması gerekmektedir. Depo açma maliyeti ile ilgili olarak, dü şünülen bölgelerdeki arazi-bina satınalma veya kira bedelleri, tahmin edilen talepler, ürünlerin depolara oradan da mü şterilere sevkiyatlarının maliyetleri, bu sevkiyatlar sırasında kullanılabilecek araç ve güzergahların belirlenmesi gibi farklı etkenler ve her biriyle ilgili farklı kararlar sözkonusudur. Bu konular bir araya geldi ğinde, farklı uzmanlık ve mevzuat bilgisi ayrıca bilimsel analizler gerektirdi ği ortaya çıkacaktır. Bir karar vericinin, bu tür önemli kararlarda rol oynayabilecek tüm bilgilere sahip olması mümkün olamayaca ğına göre, kendi alanında uzmanlık bilgisine sahip farklı disiplinlerden ki şilerin bir araya getirilmesi kaçınılmazdır. Bu gibi konularda Yöneylem Ara ştırması’nın disiplinlerarası yakla şımı kendini gösterir. Problem tüm yönleriyle yeterince irdelendi ğinde, sistemi olu şturan bileşenlerin kar şılıklı etkile şimleri görülebilecek, açılacak depo yerinin ula şılması gereken mü şterilerin bulundu ğu noktalardan veya sözkonusu bölgede yeni bir depo in şası için uyulması gereken mevzuattan veya i şletmenin elinde bulunan, bu i şe ayrılabilecek sermayeden ba ğımsız olamayaca ğı (bütünle şik yakla şım) ortaya çıkacaktır. Tüm bu gereklilikler konusunda bir farkındalık; problemin önce adım adım tanımlanması, daha sonra sistematik bir yakla şımla çözüm sürecinin tasarlanması (bilimsel yöntem) a şamalarını getirecektir. YÖNEYLEM ARA ŞTIRMASI YAKLA ŞIMI Yöneylem Araştırması, problemleri, yukarıda belirtildi ği gibi, disiplinlerarası bir ekiple, bilimsel bir yöntemi izleyerek ve sistemi bütünüyle ele alarak çözer. Bu temel özellikleri kullanan, aynı zamanda Yöneylem Ara ştırması Yakla şımı da denen problem çözme a şamaları a şa ğıdaki gibi özetlenebilir: a. Problemin belirlenmesi b. Gerekli verilerin elde edilmesi ve sistemin analiz edilmesi c. Modelin geli ştirilmesi d. Modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerlili ğinin sınanması e. Modelin uygulanması ve karar. Problemin varlı ğının ortaya konması ve doğru tanımlanması, çözüm sürecinde en önemli a şamadır. Daha sonra ise problemin girdisi olabilecek ve ya şandı ğı sistemden türetilebilecek verilerin, gerekti ği ölçüde ve güncel bir biçimde elde edilmesi gerekir. Hangi tür verilere ihtiyaç duyuldu ğu, ilgili sistemin ayrıntılı analizi ile ortaya çıkabilir. Bunu izleyen a şama, problemin çözümü için gereken uygun modelin geli ştirilmesidir. Kısaca bir sistemin kendisi yerine onun gibi davranan e şde ğeri şeklinde ifade edilen modellerin çok farklı şekillerde sınıflandırılmaları mümkündür. İzleyen bölümde, model, yanısıra Yöneylem Araştırması kapsamında daha yaygın kullanılan ve ihtiyaç duyulan karar modeli kavramlarına yer verilmektedir. Yakla şımın di ğer aşamalarında ise, geliştirilen modelin geçerlili ğinin sınanması ve uygulanması adımları yer alır. 5 MODEL, KARAR MODEL İ Model, bir sistemin kendisi yerine onun gibi davranan e şde ğerine denir. Modeller farklı şekillerde gruplanabilirler. Yapılarına göre modeller; uyu şum, benze şim ve matematiksel olarak üçe ayrılırlar. Uçak simulatörleri, maket in şaat projeleri uyu şum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmü ş birer örneğidirler. Çe şitli diyagramlar, grafikler benze şim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmayıp, sistemdeki ili şkileri temsil ederler. Bu örnekler üzerinde düşünüldüğünde, bir uçak simülatörü yardımıyla, sözkonusu uça ğın, belirli koşullarda hangi davranı ş biçimlerini ortaya koyaca ğı test edilebilir. Bu sayede insan hayatını tehlikeye atmadan ve do ğabilecek büyük bir maliyeti de önceden engelleyerek simülatör üzerinde istenen testler yapılır. Benzer düşünceyle, bir bilgisayar programı da bir çe şit model sayılır. Matematiksel model ise bir sistemin veya problemin matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldı ğında oluşacak olan f büyüklüğündeki kuvvetin ifadesidir. m, a ve f ‘den herhangi ikisi biliniyorsa, üçüncünün de ğeri bu ili şki ile bulunabilir. Karar süreci; problemi belirleme, seçenekleri türetme ve eniyi seçene ği bulma adımlarından olu şur. Bir problem olup olmadı ğı, Giri ş bölümünde de belirtildi ği gibi, problemin çözümü için birden fazla seçene ğin olması durumunda ortaya çıkar. Öte yandan ço ğu durumda seçenekleri belirlemek de oldukça zordur. Böyle durumlarda problemin gereklilikleri ve de ği şkenlerarası ili şkilerin matematiksel fonksiyonlarla ifade edildi ği; bulunan çözümlerden hangisinin seçilece ği kararının ise bir ba şka fonksiyonda yine bu seçenek çözümlerin aldı ğı de ğerler ile belirlendi ği, bütünleşik bir yapı olu şturulur. Bu yapıda de ği şkenlerarası ilişkilerin gösterildi ği fonksiyonlara kısıt, k ısıtları sa ğlayan çözümlerin eniyisinin seçimi için kullanıldı ğı belirtilen fonksiyona ise amaç fonksiyonu denir. Kısıtlar ve amaç fonksiyonundan oluşan bu tür yapılara karar modeli denir. Karar modelleri do ğrusal veya do ğrusal olmayan özelliklerde olabilirler. DOĞRUSAL VE DO ĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA Pratik olarak tüm kısıtları ve amaç fonksiyonu, her biri do ğrusal birer fonksiyon ise, bir başka deyi şle tüm fonksiyonlarda yer alan her bir terim birinci dereceden ifadelerden oluşmakta, iki deği şkenin çarpımı veya bir deği şkenin üssünün olmadı ğı terimler yer almakta ise ilgili karar modeli doğrusaldır denir. Örnek bir do ğrusal karar modeli a şa ğıdaki gibi verilebilir: k ısıtları altında Do ğrusal karar modeli geli ştirilebilmesi için bazı özellikler vardır: Bunlar; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olarak sıralanabilir. Belirlilik, problemde kullanılan parametrelerin de ğerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik, karar de ği şkenlerinin her reel de ğeri alabilmesi, oranlılık, karar deği şkenlerinin aldıkları de ğere göre oluşan katkı ve kullanılan kaynak miktarının de ği şkenin de ğeri ile do ğru orantılı olması, toplanabilirlik ise oluşan katkıların toplanabilmesidir. Bu özellikler var ise bir karar modeli do ğrusaldır. Örneğin yukarıdaki modelde oranlılık, birinci karar deği şkeninin birim de ğeri için olu şacak katkı 3 ise, x 1 birimi için bu katkının doğru orantıyla artıp 3x 1 kadar olması veya birim kaynak kullanımı ise, birim için kaynak kullanımının kadar olması; toplanabilirlik ise ikinci de ği şkenin x 2 birimi için oluşacak benzer katkının 5x 2 olup, iki deği şkenin olu şturdu ğu katkıların (3x 1 +5x 2 ) toplanabilmesidir. Belirlilik, problemde yer alan birim katkılar, birim kaynak kullanımları gibi parametrelerin değerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik ise de ği şkenlerin her reel de ğeri alabilmesidir. Yukarıdaki özellikleri ta şımayan modellere do ğrusal de ğildir denir. Bir modelin tüm fonksiyonlarının enaz bir teriminde üslü ifadenin olması ( gibi iki de ği şkenin çarpımı veya üslü terimin olması) bu durum için yeterlidir. Aynı zamanda karar deği şkenlerinin sürekli deği şken de ğil de tam sayılı olması durumunda da do ğrusallık bozulur. Örnek bir do ğrusal olmayan karar modeli aşa ğıdaki gibi verilebilir: 6 kısıtları altında İlk kısıtta iki deği şkenin çarpımı, ikinci kısıtta ise bir de ği şkenin karesi bulunmaktadır. Do ğrusal ve do ğrusal olmayan karar modellerinin çözümü için farklı yakla şımlar vardır. Fakat doğrusal karar problemlerinin eniyi çözümü bir uç noktadadır (ileride açıklanacaktır) ve bu tip modellerin çözümlerini bulmak, do ğrusal olmayanlara göre daha kolaydır. Bir doğrusal karar probleminin sa ğlaması gereken özellikler nelerdir? Kara, İ., (1985), Yöneylem Ara ştırmasının Yöntembilimi, Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 96, Eski şehir 1985. Karar modeli nedir? YÖNEYLEM ARA ŞTIRMASI TEKN İKLER İ VE KULLANIM ALANLARI Yöneylem Araştırması teknikleri pek çok alanda uygulama olana ğı bulabilir. Aslında, tanımında da belirtildi ği gibi örgütlerin ve/veya sistemlerin tasarımında, kurulu şunda ve i şletilmesinde kar şıla şılan planlama, yürütme ve kontrol faaliyetlerine bilimsel yöntemlerle katkıda bulunan ve bu alanlardaki problemlere çözüm arayan bir bilim dalı olduğu hatırlanırsa, Yöneylem Araştırması ile ilgili çalı şmaların ne kadar geni ş bir yelpazede yer alabilece ği kolayca görülebilir. Çünkü günümüzde hemen her sistemde; tasarım, kuruluş ve i şletme aşamaları yer alır. Gerek üretim, gerek hizmet sektörü olsun, ya şayan her birim bu tür karar problemleri ile kar şı kar şıya kalır. Günümüz i şletmelerinde, ayakta kalabilmek ve rekabet edebilmek için, verimlilik, kaçınılmaz bir gerekliliktir. Elde bulunan kaynakların, i şgücünün ve en önemlisi zamanın verimli kullanılması, maliyetlerin dü şürülmesi, eniyi yatırım kararlarının alınması, sistemleri kurduktan sonra i şleyi şlerinde de etkin bir kontrol ve planlama ile sürekliliklerinin sa ğlanması çok önemlidir. Yöneylem Araştırması kapsamına giren konular ve tekniklere bakıldı ğında; üretim planlama ve stok kontrol, proje yönetimi, ula ştırma ve atama, personel planlama ve çizelgeleme gibi problemlerin; doğrusal, doğrusal olmayan, tamsayılı, rassal ve dinamik programlama genel yakla şımlarının yanında, oyun teorisi, markov zincirleri, dal-sınır algoritması, MODI atlama ta şı, CPM-PERT, Macar Algoritması, Simpleks Algoritması olarak adlandırılan çe şitli tekniklerle de çözülebildi ği görülür. Her birisi farklı problemlerin çözümü için geli ştirilen bu teknikler, problemlerin eniyi (optimum) çözümlerini bulmak amacıyla kullanılırlar. Bazı örnekler vermek gerekirse; üretim sektöründe faaliyet gösteren bir i şletmenin, elinde bulunan makine, malzeme ve i şgücü olanaklarını a şmadan, gelecek belirli bir dönem için üretim planını yapması Yöneylem Araştırması kapsamında çözülebilecek problemler arasında yer alabilir. Üretim planı ba şlı ğını biraz daha açmak gerekirse, örne ğin toplam satı ş karını enbüyüklemek için planlama periyodu içerisinde hangi üründen hangi miktarlarda üretilmesi gerekti ği veya i şlerin tamamlanma zamanını enküçüklemek ve mü şteriye en kısa zamanda sevkiyat yapabilmek için hangi operatörün hangi tezgahda çalı şması veya hangi i şin hangi tezgahta yapılması gerekti ği bulunabilir. Yine benzer şekilde, talepteki ani de ği şikliklere kar şı hazırlıklı olmak için, önceden, hangi ürünlerden hangi seviyelerde stok bulundurulması gerekti ği de üretim planlama ve stok kontrolü kapsamında yanıtlanması gereken sorular arasında yer alıp hepsi çe şitli Yöneylem Ara ştırması Teknikleri ile çözülebilir. 7 Hizmet sektörü açısından düşünüldüğünde, mü şteri beklemelerini en aza indirecek ve memnuniyeti arttıracak şekilde, kaç tane servis personelinin olması gerekti ği (bankalarda banko, marketlerde kasa sayıları), pazardaki payı arttırabilmek için bir işletmenin izleyebilece ği farklı reklam ve pazarlama stratejilerinden hangisinin daha etkili olaca ğı gibi karar problemleri Yöneylem Ara ştırması çalı şma konuları arasındadır. Ula ştırma ve lojistik faaliyetleri açısından şu tür örnekler vermek mümkündür: Bir i şletmenin, ürünlerinin sevkiyatında kullanaca ğı araç filosunda yer alacak araçlarının tiplerini ve sayılarını ya da mevcut araçlarının ürün sevkiyatı sırasında izlemesi gereken rotalarını belirlemesi problemleri bu kapsamdadır. Rota belirleme sürecinde genellikle, en kısa yol ba ğlı olarak da en az ta şıma maliyeti amaçlanmaktadır. Üretim sektöründe faaliyet gösteren i şletmeler için depo büyüklükleri, depo sayıları, ayrıca birden fazla üretim i şletmesi ve deponun olduğu sistemler için hangi i şletmeden hangi depoya veya hangi depolardan hangi mü şterilere da ğıtım yapılaca ğı kararları da Yöneylem Ara ştırması teknikleri kullanılarak verilebilir. Özellikle son elli yıldır büyük ölçekli projelerde uygulanabilen Yöneylem Ara ştırması teknikleri konusunda, GANTT Diyagramı denen teknik en eskiler arasındadır. 1958’de Amerikan Deniz Kuvvetleri Özel Projeler Bölümü tarafından, PERT (Project Evaluation and Review Technique), hemen hemen aynı zamanlara rastlayan Kritik Yol Yöntemi ise (CPM-Critical Path Method), Dupont Kimyevi Madde Fabrikası’nda bakım onarım faaliyetlerine yardımcı olmak üzere geli ştirilmi ştir. Bu teknikler ço ğunlukla zaman esaslı faaliyetlerin programlanması problemlerinde uygulanmaktadırlar. CPM-PERT’de bir projeye ait tüm faaliyetler tanımlanır, aralarındaki öncüllük-ardıllık ilişkileri belirlenir ve projeye ait bir şebeke çizilir. Örne ğin bir in şaatın temeli atılmadan birinci katının in şa edilmesi mümkün de ğildir. Temel atma i şlemi, ilk kata çıkma alt faaliyetinin bir öncülüdür veya bir sempozyum düzenleme etkinli ğinde, sempozyum tarihlerini belirlemeden, ilk duyuruları yapmak, duyuruları yapmadan katılımcıların kayıtlarını almaya ba şlamak mümkün de ğildir. Faaliyetler için süreler ve maliyetler tahmin edilir. Faaliyetlerin en erken ve en geç ba şlama ve biti ş süreleri ile bolluklar hesaplanır. Projeye ait kritik yol denen bir rota ortaya çıkar. Bina, yol, köprü ve baraj in şaatı gibi büyük ölçekli projelerde de bu gibi teknikler kullanılır. Bu teknikler bir defalık gerçekle ştirilen büyük projelerde, faaliyetlerin sistematik bir şekilde planlanmasına, hangi faaliyetin proje toplam süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebilece ğinin belirlenmesine yardımcı olur. Bir di ğer benzer konu da şebeke modelleri olarak isimlendirilir. En kısa yol, enküçük örten a ğaç, en büyük akı ş gibi çe şitli alt çalı şma alanları vardır. En kısa yol problemi, özellikle lojistik alanında veya haberle şme şebekelerinde kullanılabilecek bir takım yöntemlerin geli şmesine sebep olmu ştur. Otoyolların yapımında ya da yukarıda belirtilen bir lojistik firmasının da ğıtım faaliyetlerinde izleyece ği rotanın belirlenmesinde, toplam mesafeyi enküçükleyecek şekilde güzergahların veya yol ba ğlantılarının yapılması bu yöntemlerle sa ğlanabilir. En küçük örten ağaç problemi, örne ğin bir belediyenin bir ilçesine ba ğlı köylere elektrik ba ğlantısı yapması konusunda, hangi köylere hangi köylerden elektrik götürülece ğine karar vermek gerekir. Burada ba ğlantı yapılacak bir noktanın kendisine en yakın herhangi bir noktadan elektrik alması mümkündür, ba ğlantı sonrası da artık kendisi de en yakın kom şu köye elektrik verebilir. Problem sanki tüm dallarına eri şilmek istenen bir a ğaca benzetilerek en küçük örten a ğaç olarak literatürde yerini almı ş, bir Yöneylem Ara ştırması çalı şma alanıdır. Son olarak en büyük akı ş, maddelerin bir şebeke üzerinde bir noktadan di ğerine eniyi (en büyük akı şı sa ğlayacak) şekilde ta şınması problemi ile ilgilenir. Su, petrol, gaz vb. maddelerin boru hatlarından ta şınması, elektri ğin ta şınması, haberle şme sistemlerinde bilgi akı şının sağlanması ya da kargo i şletmelerinde mektupların alıcıya ta şınması gibi problemler, bu kapsamda yer almaktadırlar. Yöneylem Ara ştırması tekniklerinin kullanılabilece ği lojistik faaliyetlerine örnek veriniz. 8 Özet Yöneylem Araştırması, II. Dünya Sava şı yıllarında doğmu ş, ilk uygulamaları askeri alanda gerçekle şmi ş, örgütlerin tasarım, kuruluş ve i şletim a şamalarında kar şıla şılan önemli problemler için çözüm teknikleri sunan bir bilim dalıdır. Yöneylem Araştırması, örgütlerin ve/veya sistemlerin tasarımında, kurulu şunda ve i şletilmesinde kar şıla şılan planlama, yürütme ve kontrol faaliyetlerine bilimsel yöntemlerle katkıda bulunur ve bu alanlardaki problemlere çözüm arar. Yöneylem Ara ştırması kapsamında, bir problemin varlı ğından bahsedilebilmesi, problemin çözümü için birden fazla seçene ğin olması durumunda sözkonusudur. Öte yandan, yukarıda belirtilen sınıfa giren, çoğu stratejik kararda ise seçeneklerin türetilebilmesi çok da kolay olmayabilmektedir. Bu durumda, sistemde yer alan parametrelerin ve ili şkilerin temsil edildi ği bir yapıya ihtiyaç duyulmaktadır. Yöneylem Araştırması kapsamında model denen bu oluşumlar ile, bir sistemin kendisi yerine kendisi gibi davranan bir e şde ğeri ortaya konmaktadır. Bu e şde ğer sistemin çözümü ile probleme çözüm olabilecek seçeneklerin türetilmesi sa ğlanabilir. Modeller farklı şekillerde sınıflandırılmaktadırlar. Burada ele alınan sınıflama, modelleri; uyu şum, benze şim ve matematiksel olarak üçe ayırmaktadır. Uçak simülatörleri, maket in şaat projeleri uyuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örne ğidirler. Çe şitli diyagramlar ve grafikler benzeşim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmayıp, sistemdeki ili şkileri temsil ederler. Matematiksel model ise bir sistemin veya problemin, içerdi ği deği şkenler arası ili şkilerin, matematiksel ifadelerle temsil edilmesidir. f = ma denklemi bu anlamda bir matematiksel modeldir. m kütlesine sahip bir cismin belirli bir a ivmesine maruz kaldı ğında olu şacak kuvvetin ifadesidir. Bu kavramlardan herhangi ikisinin de ğerinin bilinmesi durumunda üçüncüsünün de ğeri, bu ili şki ile bulunabilir. Öte yandan, sistemi temsil eden matematiksel model ile türetilen seçeneklerin eniyisinin belirlenmesi için, bir değerlendirme fonksiyonu kullanılmaktadır. Bu çerçevede, bir matematiksel modelde de ği şkenlerarası ili şkilerin gösterildi ği fonksiyonlara kısıt, k ısıtları sa ğlayan noktalar (çözümler)ın eniyisinin seçimi için kullanılan bu de ğerlendirme fonksiyonuna da amaç fonksiyonu denir. Kısıt ve amaç fonksiyonları ile ifade edildi ğinde elde edilen matematiksel modele karar modeli denir. Karar modelleri doğrusal veya doğrusal olmayan özelliklerde olabilirler. İçerdi ği fonksiyonların tümü doğrusal fonksiyonlar ise ve de ği şkenler de sürekli ise, do ğrusal bir karar modeli ile kar şı kar şıya kalınır. Aksi halde, model, do ğrusal olmayan bir yapıdadır denir. Do ğrusal karar modeli geli ştirilebilmesi için bazı özellikler vardır: Bunlar; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirlik olarak sıralanabilir. Belirlilik, problemde kullanılan parametrelerin de ğerlerinin bilinmesi, bölünebilirlik, karar de ği şkenlerinin her reel de ğeri alabilmesi, oranlılık, karar de ği şkenlerinin aldıkları de ğere göre oluşan katkı ve kullanılan kaynak miktarının de ği şkenin de ğeri ile do ğru orantılı olması, toplanabilirlik ise olu şan katkıların veya kaynak kullanımlarının toplanabil- mesidir. Yöneylem Araştırması’nın üç temel özelli ği vardır. Bunlar bilimsel yöntem, bütünleşik yakla şım ve disiplinlerarası yakla şım olarak sıralanabilir. Bilimsel yöntem, incelenen problem veya olayla ilgili önce gözlem yapılmasını, sonra bir hipotezin geli ştirilmesini, ardından bu hipotezin deneylerle sınanmasını ve son adım olarak da genellenmesini içerir. Bütünleşik yaklaşım, ele alınan problemin, içerisinde yer aldı ğı sistem ile birlikte tüm bile şenleri ve boyutlarıyla incelenmesidir. Son olarak disiplinlerarası yakla şım ise, Yöneylem Ara ştırması kapsamındaki problemlerin, farklı disiplinlerde yer alan uzmanlardan oluşan bir ekiple çözülmesi anlamına gelmektedir. Birlikte düşünüldüğünde bu üç özelli ğin, problem çözüm süreçlerine farklı bir sistematik yakla şım kazandırdı ğı görülebilmektedir. Yöneylem Ara ştırması çalı şmalarında, bu üç temel özellik kullanılarak, Yöneylem Araştırması Yakla şımı da denen şu problem çözme a şamaları kullanılır: Problemin belirlenmesi, gerekli verilerin elde edilmesi, sistemin analiz edilmesi, modelin geli ştirilmesi, modelden çözüm elde edilmesi, modelin geçerlili ğinin sınanması, modelin uygulanması ve karar. 9 Yöneylem Araştırması kapsamına giren konulara bakıldı ğında; üretim planlama ve stok kontrol, proje yönetimi, ula ştırma ve atama, personel planlama ve çizelgeleme gibi pek çok problem; doğrusal, doğrusal olmayan, tamsayılı, rassal ve dinamik programlama genel yaklaşımlarının yanında, oyun teorisi, markov zincirleri, dal-sınır algoritması, MODI atlama ta şı, CPM-PERT, Macar Algoritması, Simpleks Algoritması olarak adlandırılan çe şitli tekniklerle çözülebilmektedir. Bu teknikler genellikle, problemlerin eniyi (optimum) çözümlerini bulmak amacıyla kullanılırlar. Yöneylem Araştırması tekniklerinin kullanım alanlarına daha ayrıntılı örnekler vermek gerekirse şunlar söylenebilir: Örneğin üretim sektöründe faaliyet gösteren bir i şletme; elindeki malzeme ve i şgücü olanaklarını aşmadan, gelecek belirli bir dönem için üretim planını yapmak istedi ğinde, toplam satı ş karını enbüyüklemek için planlama periyodu içerisinde hangi üründen hangi miktarlarda üretilmesi gerekti ğini veya i şlerin tamamlanma zamanını enküçüklemek ve mü şteriye en kısa zamanda sevkiyat yapabilmek için hangi operatörün hangi tezgahta çalı şması veya hangi i şin hangi tezgahta yapılması gerekti ğini bulmak istedi ğinde Yöneylem Ara ştırması tekniklerinden yararlanabilir. Teknikler, hizmet sektöründe de pek çok alanda uygulama olana ğı bulabilmektedir. Örne ğin, bir kargo firmasının, araç filosunda yer alacak araçların tiplerine ve sayılarına, bir üretim i şletmesinin, açaca ğı depoların yerlerine ve büyüklüklerine, ta şımacılıkta hava, deniz veya kara yolu ta şıma seçeneklerine veya bunların bir kombinasyonuna karar verirken çeşitli yöntemler kullanılabilir. Proje planlama ve şebeke modelleri de Yöneylem Ara ştırması çalı şma konuları arasındadır. Bu konudaki teknikler; özellikle bina, yol, köprü ve baraj in şaatı gibi büyük ölçekli ve genellikle bir defalık gerçekle ştirilen büyük projelerde, faaliyetlerin sistematik bir şekilde planlanmasına, hangi faaliyetin proje toplam süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebilece ğinin belirlenmesine yardımcı olurlar. Şebeke modelleri kapsamına giren konular ile ise; özellikle lojistik sektöründe, da ğıtım faaliyetlerinde izlenecek en kısa rotanın belirlenmesi veya maddelerin bir şebeke üzerinde bir noktadan di ğerine eniyi şekilde ta şınması gibi problemlere çözüm aranır. Örne ğin su, petrol, gaz vb. maddelerin boru hatlarından ta şınması, elektri ğin ta şınması, haberle şme sistemlerinde bilgi akı şının sağlanması, kargo i şletmelerinde mektupların alıcıya ta şınması, yanısıra doğalgaz ba ğlantısı yapılan bir yerle şim biriminden di ğer kom şu yerle şim birimlerinin hangilerine ve nasıl bir a ğla bir bağlantı sistemi kurulaca ğının belirlenmesi gibi konularda çözümler, bu kapsamda yer alan tekniklerle bulunabilir. Yöneylem Araştırması; problem çözümlerinde farklı disiplinlerden, yanısıra karar sürecinde bilimsel bir yöntemden yararlanması, pek çok alanda ve çok çe şitli karar probleminde karar vericiye yardımcı olacak çözüm yöntemleri sunması yönleriyle sistemlerin verimlili ğini arttırmada önemli bir bilim dalıdır. 10 Kendimizi Sınayalım 1. A şa ğıdakilerden hangisi Yöneylem Ara ştırması’nın üç temel özelli ği arasında yer alır? a. Sistematik yöntem b. Modelleme c. Disiplinlerarası yakla şım d. Tasarlama e. Çözümleme 2. A şa ğıdakilerden hangisi do ğrusal bir karar modeli geli ştirmek için gereken özelliklerden de ğildir? a. Belirlilik b. Sayılabilirlik c. Toplanabilirlik d. Oranlılık e. Bölünebilirlik 3. Hangi ifade doğrusal olmayan bir yapıya kar şı gelmektedir? a. b. c. d. e. 4. Hangi seçenek, Yöneylem Ara ştırması yaklaşımındaki aşamaların sıralanı şı için en uygunudur? a. Problemin belirlenmesi, modelin geli ştirilmesi, çözülmesi b. Modelin geli ştirilmesi, problemin belirlenmesi, modelin uygulanması c. Modelin geli ştirilmesi, verilerin elde edilmesi, modelin uygulanması d. Modelin çözülmesi, modelin uygulanması, verilerin analiz edilmesi e. Verilerin analiz edilmesi, modelin uygulanması, modelin çözülmesi 5. A şa ğıdakilerden hangisi bir uyu şum modeline örnektir? a. b. Akı ş şeması c. Uçak simülatörü d. e. 6. A şa ğıdakilerden hangisi bir benze şim modeline örnektir? a. b. Akı ş şeması c. Uçak simülatörü d. e. 7. A şa ğıdakilerden hangisi do ğru de ğildir? a. Yöneylem Ara ştırması’nın doğu şu II. Dünya Sava şı yıllarına dayanır. b. İlk çalı şmalar farklı disiplinlerden ki şiler tarafından gerçekle ştirilmi ştir. c. Frederick Taylor’un Bilimsel Yöntemin İlkeleri çalı şması da, ilk Yöneylem Ara ştırması çalı şmaları arasında önemli bir yere sahiptir. d. Yöneylem Ara ştırması çalı şmaları 1920’lerde önemli ölçüde hızlanmı ştır. e. Sistem yakla şımı Yöneylem Ara ştırması’nın üç temel özelli ğinden de ğildir. 8. Hangisi oranlılık özelliğini tanımlar? a. Karar deği şkenlerinin aldıkları de ğere göre olu şan katkı ve kullanılan kaynak miktarının, de ği şkenin de ğeri ile do ğru orantılı olması b. Karar deği şkenlerinin her reel de ğeri alabilmesi c. Karar de ği şkenlerinin de ğerlerine göre oluşan katkıların toplanabilmesi d. Problemde yer alan parametrelerin de ğerlerinin bilinmesi e. Verilen problemde yer alan bir karar de ği şkeninin birim de ğerine kar şılık oluşan katkı , ba şka bir karar de ği şkeninin birim de ğerine kar şılık oluşan katkı iken, iki de ği şkenin birlikte olu şturaca ğı katkının olmasıdır. 11 9. Hangisi Yöneylem Ara ştırması’nın temel özelliklerinden biri de ğildir? a. Displinlerarası yakla şım b. Paralel yakla şım c. Bilimsel yöntem d. Bütünle şik yakla şım e. Sistem yakla şımı 10. A şa ğıdakilerden hangisi do ğrudur? a. Yöneylem Ara ştırması ile bir problemin çözümü sürecinde seçenekler her zaman kolayca türetilir. b. Yöneylem Ara ştırması tekniklerinin daha çok hizmet sektöründe kullanımı yaygındır. c. Bir problemin eniyi çözümünü bulmak, Yöneylem Araştırması teknikleri ile her zaman mümkündür. d. Problemleri çözen seçenekler, her zaman kolayca türetilemeyebilirler. Böyle durumlarda bazen, matematiksel modellerden yararlanılabilir. e. Yöneylem Ara ştırması, özel bilimsel çalı şma alanlarındaki bilgi birikiminden yararlanır, fakat birden fazla disipline mensup araştırmacı veya uzmanın birlikte çalı şması uygun bulunmaz. Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. c Yanıtınız yanlı ş ise “Yöneylem Araştır- ması’nın Üç Temel Özelli ği” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. b Yanıtınız yanlı ş ise “Doğrusal ve Do ğrusal Olmayan Programlama” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. b Yanıtınız yanlı ş ise “Doğrusal ve Do ğrusal Olmayan Programlama” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. a Yanıtınız yanlı ş ise “Yöneylem Araştırması Yakla şımı” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. c Yanıtınız yanlı ş ise “Model, Karar Modeli” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. b Yanıtınız yanlı ş ise “Model, Karar Modeli” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. d Yanıtınız yanlı ş ise “Yöneylem Araştırma- sı’na Giri ş” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. a Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal ve Do ğrusal Olmayan Programlama” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. b Yanıtınız yanlı ş ise “Yöneylem Ara ş- tırması’nın Üç Temel Özelliği” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. d Yanıtınız yanlı ş ise “Model, Karar Modeli; Yöneylem Araştırması’nın Üç Temel Özelliği” ba şlıklı konuları yeniden gözden geçiriniz. 12 Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 Do ğrusal karar problemlerinin sa ğlaması gereken özellikler; belirlilik, bölünebilirlik, oranlılık ve toplanabilirliktir. Sıra Sizde 2 Bir karar problemini çözebilmek için; problemde yer alan ili şkilerin, gerekliliklerin matematiksel ifadelerle gösterildi ği ve alternatif çözümlerin de ğerlendirilmesi için de yine matematiksel de ğerlendirme fonksiyonlarının tanımlandı ğı, bütünleşik gösterimlerdir. Sıra Sizde 3 Yöneylem Araştırması teknikleri lojistik faaliyetlerin planlama ve kontrol a şamalarında pek çok karar noktasında kullanılabilir. Örneğin bir nakliye şirketi; araç filosunda yer alacak araçların sayılarına, tiplerine veya mevcut araçlarının sevkiyat sırasında izleyece ği güzergahlara bu tekniklerle karar verebilir. Ayrıca bir üretim i şletmesinin, açaca ğı depoların yerlerini ve kapasitelerini belirlemek de yine birer Yöneylem Ara ştırması problemi olarak kabul edilebilirler. 13 Yararlanılan Kaynaklar Kara, İ., (2000), Do ğrusal Programlama, Bilim Teknik Yayınevi, İstanbul. Kara, İ., (1985), Yöneylem Araştırmasının Yöntembilimi, Anadolu Üniversitesi Yayınları No: 96, Eski şehir 1985. Taha, H, (2003), Yöneylem Araştırması, 3. Basım, (Baray Ş. A., Esnaf Ş. tarafından çeviri), Literatür Yayıncılık, İstanbul. Timor, M. (2010), Yöneylem Araştırması, Türkmen Kitabevi, İstanbul. 14 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Do ğrusal programlamayı tanımlayarak, uygulama alanlarını listeleyebilecek, Do ğrusal programlamanın varsayımlarını açıklayabilecek, Karar de ği şkeni ile tesadüfi de ği şken ayrımını yapabilecek, Do ğrusal programlama modelinin temel bile şenlerini açıklayabilecek, Do ğrusal programlama modeli (üretim, da ğıtım vb.) kurabilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Do ğrusal Programlama Amaç Fonksiyonu Karar De ği şkeni Maksimum Algoritma Model Matematiksel Model K ısıtlayıcı Minimum Optimum Karar Problemi İçindekiler Giri ş Do ğrusal Programlamanın Varsayımları Do ğrusal Programlamanın Model Kurma Do ğrusal Programlamanın Model Kurma Uygulamaları 2 15 G İR İŞ Yöneylem ara ştırmasının en geli şmi ş ve yaygın uygulama alanını olu şturan do ğrusal programlama, doğrusal karar problemleriyle ilgili kavram ve teknikler toplulu ğudur. Bu bölümde, önce do ğrusal problemlerin matematiksel modellemesi anlatılıp, sonra da örnek problemler ele alınıp modellenecektir. Do ğrusal programlama, belirli bir amaca ula şmak için, bazı kısıtlayıcılar altında kıt kaynakların en verimli şekilde kullanılmasını sa ğlayan bir matematiksel yöntemdir. Bu şekilde varılmak istenen amaç, kâr maksimizasyonu (en büyükleme) veya maliyet minimizasyonu (en küçükleme) olarak belirlenebilir. Do ğrusal programlamada “do ğrusal” sözcüğü, fonksiyonların doğrusallı ğını, “programlama” ise planlama i şlemini ifade etmektedir. Do ğrusal programlama, tüm uygun seçenekler arasından optimum (eniyi) sonucun elde edilmesini sa ğlayan planlama faaliyetlerini içermektedir. Do ğal olarak böyle bir programlama sürecinde, önce gerekli veriler toplanır, problem modellenir ve daha sonra modelin çözümü araştırılır. Do ğrusal programlama modeli kurulurken amacın, de ği şkenler arasında ili şkilerin ve kullanılacak kıt kaynakların tanımlanması gerekir. Günümüz sistemleri (üretim, da ğıtım, vb.) büyük sistemlerdir. Bu büyük sistemlerin modelleri de çok sayıda de ği şken ve kısıtlayıcıdan olu şmaktadır. Büyük modeller, bilgisayar yardımıyla çözülebildi ğinden, doğrusal programlamanın uygulama alanı sadece kıt kaynakların da ğıtımı ile sınırlı kalmamı ş, di ğer birçok alanda da önemli uygulamalar ortaya konmuştur. Do ğrusal programlamanın uygulama alanları ile ilgili olarak a şa ğıdaki liste verilebilir. • Ula ştırma ve lojistik problemleri, • Endüstriyel üretim planlaması ve envanter (stok) kontrolü • Personel programlaması • Beslenme(diyet) problemleri • Karı şım problemleri • Tarımsal planlama • Finansal planlama • Yatırım planlaması • Sa ğlık sistemleri • Askeri planlama • Trafik planlaması • Atama problemleri • Reklam seçimi problemleri • Karı şım problemleri Doğrusal Programlama 16 İşletme ve iktisat bilim dallarını da yakından ilgilendiren do ğrusal programlama, yöneylem araştırmasında da en yaygın kullanılan araçlardan birisidir. Geni ş bir uygulama alanı olan doğrusal programlama, ayrıca i şletmelerin kar şıla ştı ğı darboğazların giderilmesinde, kıt kaynakların etkin kullanımı ve bunların gölge fiyatlarının belirlenmesi ile en uygun çözümlere ula ştıracak politikaları saptamada kullanılmaktadır. Do ğrusal programlamanın uygulama alanları nerelerdir? DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN VARSAYIMLARI Gerçek hayatta kar şıla şılan ço ğu karar problemi için, en azından uygun kabullerle, do ğrusal karar modeli geli ştirmek mümkündür. Bir problem için karar modeli geli ştirmek ve kurmak gerçek sistemi matematiksel olarak ifade etmek demektir. Bu i şlem yapılırken bilgi kaybı kaçınılmazdır. Önemli olan en az bilgi kaybı ile dönü şümü gerçekleştirebilmektir. Bu nedenle modelden tutarlı sonuçlar elde edilebilmesi için a şa ğıdaki varsayımlar kabul edilmelidir. Doğrusallık (Oranlılık) Varsayımı Bu varsayım modelin amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı fonksiyonları ile ilgilidir. Do ğrusallık varsayımı, i şletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişkinin oldu ğunu gösterir. Üretim düzeyi artarken aynı oranda üretim girdileri de artar. E ğer, X j ’inci eylem için amacın oluşumu doğrusallık özelli ği gösteriyorsa, X j ’nin her bir birim de ğerinin kara katkısı c j iken, X j ’nin çözüm de ğerinin amaca katkısı c j X j kadar olur. Bunun yanında karar problemine esas olan b i ’inci kaynaktan her bir birim X j için gerekli kaynak miktarı a ij olmak üzere X j için kaynak gereksinimi a ij X j kadar olur. Kısıtlar ve amaç fonksiyonu birinci dereceden fonksiyon olmalıdır. Aksi takdirde, do ğrusal olmayan programlama söz konusu olur. Bu varsayım, her bir karar de ği şkeninin; gerek amaç fonksiyonu, gerekse tük kısıtlayıcılara etkisinin söz konusu deği şkenin (X j ) de ğeriyle do ğru orantılı olması gerektiğinin ifade eder. Karar de ği şkenlerine kontrol edilebilen de ği şkenler denir. İstatistikte de ği şken X i -tesadüfi de ği şkendir ve serbestçe de ğerler alabilen de ği şken olarak tanımlanır. Toplanabilirlik Varsayımı Do ğrusal programlamada her fonksiyon, ili şkili oldu ğu faaliyetlerin, bireysel katkılarının toplamıdır. Karar de ği şkenlerine verilecek de ğerlere göre, her birinin sa ğladı ğı katkılar toplanıp, toplam katkıyı, yani amaç fonksiyonunu olu şturuyorsa, toplanabilirlik varsayımı geçerlidir demektir. Bu varsayımı, kısıtlayıcıların sol tarafındaki sabitler için ele alırsak; de ği şik üretim faaliyetlerine kaynak olan, üretim girdilerinin toplamının, her bir işlem için ayrı ayrı kullanılan girdilerin toplamına e şit olduğunu gösterir. Bölünebilirlik Varsayımı Modelin karar de ği şkenleri X j ’ler, her türlü reel de ğerleri alabiliyorsa, bölünebilirlik varsayımı sa ğlanıyor demektir. Böylece, karar de ği şkenleri, bazı faaliyetlerin düzeyini gösterdi ğinden, faaliyetlerin kesirli düzeylerde çalı şabilece ği varsayılır. Bazen girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu nedeniyle, karar de ği şkenlerini tamamının veya bazılarının tam sayı olması gerekebilir. Böyle durumlarda, tam sayılı programlama söz konusu olur. 17 Belirlilik (Kesinlik) Varsayımı Do ğrusal programlama modelindeki tüm parametrelerin (amaç fonksiyonu katsayıları-c j , sa ğ taraf sabitleri-b i ve teknoloji katsayıları- a ij ) biliniyor olduğu varsayımıdır. Parametre de ğerlerini kesin olarak biliniyor olması varsayımı, modelin deterministtik model oldu ğunun göstergesidir. Bir problemde, karar deği şkenleri ve parametrelerle ilgili olarak; do ğrusallık, toplanabilirlik, bölünebilirlik ve belirlilik varsayımları geçerli ise bu problem doğrusal programlama problemi olarak modellenip çözülebilir. Burada dikkat edilmesi gereken husus, problemin do ğru belirlenmesidir. Parametre de ğerlerinden kesin de ğerleri bilinmeyenler için tahmin yoluna gidilebilir. Daha sonra matematiksel modelleme a şamasına geçilmelidir. Fakat modelin do ğrusallık ve bölünebilirlik varsayımları, gerçek dünyadaki ilişkileri gözlemlendi ğinde bir eksiklik gösterdi ği söylenebilir. Denilebilir ki, bu iki varsayım do ğrusal programlama yöntemini kısıtlamaktadır. Do ğrusal programlama modeli kurulurken hangi varsayımlar kabul edilmektedir? DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA MODEL KURMA Model kelime anlamı gerçe ğin benzeri demektir. Model kurma, sistemi olu şturan unsurların matematiksel terimlerle ifade edilmesidir. Ba şka bir deyi şle problem, matematik diline tercüme edilir. Model do ğrusal programlama gibi standart bir matematiksel model halinde ifade edilebiliyorsa, bilinen algoritmalar yardımıyla çözüme ula şılabilir. Bir problemin, doğrusal programlama modeli kurulurken önce karar deği şkenleri tanımlanır, sonrada amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılar formüle edilir. Algoritma: Problem çözümünde izlenen yol olarak isimlendirilebilir. Karar De ğişkenlerinin Belirlenmesi Bir problemin doğrusal programlama modelinin kurulmasına, öncelikle karar deği şkenlerinin tanımlanmasıyla ba şlanır. Karar de ği şkeni: bir problemde karar vericinin kontrolü altında olup da, de ğeri araştırılan eylemler, karar deği şkenleridir. Herhangi bir doğrusal programlama modelinde karar de ği ş- kenleri, alınacak kararları tamamen betimlemelidir. Karar de ği şkenleri, alınacak kararlara ili şkin faali- yetlerin düzeyini göstermektedir. Karar de ği şkenleri genellikle; X j sembolü ile gösterilir. X j : j’ inci üründen üretilecek (veya ta şınacak) miktar anlamındadır. (j=1,2,….,n) Amaç Fonksiyonunun Belirlenmesi Herhangi bir doğrusal programlama probleminde karar verici, karar de ği şkenlerinin bazı fonksiyonunu maksimum veya minimum yapmak ister. Maksimum veya minimum yapılmak istenen fonksiyona, amaç fonksiyonu adı verilir. Do ğrusal programlama modelinden beklenen sonucun alınabilmesi için, amacın açık olarak bilinmesi ve nicel olarak yazılımı gerekmektedir. Modelin amaç fonksiyonu yazılırken; Karar deği şkenleri: X 1 , X 2 , ..., X n Birim kâr veya maliyet katsayıları c 1 ,c 2 ,….,c j ,…,c n ile gösterildiğinde, 18 Amaç fonksiyonu: Max/Min Z = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … +c j X j + … + c n X n veya genel olarak şeklinde de yazılabilir. Kısıtlayıcıların Belirlenmesi Ekonomide üretim kaynakları veya üretim faktörleri sınırlıdır. Bir i şletmenin elindeki makine kapasitesi, teknolojisi, işgücü, enerji, sermaye, hammadde, yarı mamul madde, malzeme gibi üretim faktörleri ile ürünlerine olan talep de sınırlıdır. Dolayısıyla karar de ği şkenlerinin miktarı da sınırlı olacaktır. Önemli olan, bu kısıtlayıcılar altında amaç fonksiyonunu sa ğlayan ürünler üretmektir. İşletmenin faaliyetlerinde, b i : i’inci kaynak miktarı(i’inci kısıtın sağ taraf sabiti), (i=1,2,3, … m) a ij : bir birim X j için gerekli i’inci kaynak miktarı(X j ’lerin i’inci kısıttaki teknoloji katsayıları) sembolleri ile gösterirsek, m kısıt ve n karar de ği şkeninden olu şan doğrusal kısıtlayıcı fonksiyonların genel hali a şa ğıdaki gibi ifade edilebilir. a 11 X 1 +a 12 X 2 +… +a 1j X j +… +a 1n X n ? b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 +… +a 2j X j +… +a 2n X n ? b 2 . . . . a i1 X 1 +a i2 X 2 +… +a ij X j +… +a in X n ? b i . . . . a m1 X 1 +a m2 X 2 +… +a mj X j +… +a mn X n ? b m Kısıtlayıcılardaki karar de ği şkenlerinin katsayıları (a ij ), farklı ürünlerin üretiminde kullanılan teknolojiyi yansıttı ğı için, teknolojik katsayılar adı verilir. Kısıtlayıcıların sağ taraf sabitlerini oluşturan b i ’ler daha önce ifade etti ğimiz gibi elveri şli kaynak miktarını gösterir. Bu kaynak miktarları kısıtlayıcı fonksiyonuna göre her zaman sınırlı olmaz. Bazen karar deği şkenlerinin istedi ğinden fazla veya tam eşitlikte olabilir. Bu nedenle kısıtlayıcı denklemler, “=” e şitlik şeklinde olabilece ği gibi, e şitsizlik şeklinde de olabilir. E şitsizlik durumu, yukarıda görüldü ğü gibi “ ?” (küçük e şit) şeklinde olabileceği gibi, “ ?” (büyük e şit) şeklinde de olabilir. a i1 X 1 +a i2 X 2 +… +a ij X j +… +a in X n ? b i veya a i1 X 1 +a i2 X 2 +… +a ij X j +… +a in X n = b i Kısıtlayıcı fonksiyonlar genel olarak a şa ğıdaki şekilde de gösterilebilir. ) ,.. ..... .. 2 , 1( ) ,.. ..... 2 , 1( n j m i bXa ij ij ij = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ?? 19 İşaret Kısıtlaması Do ğrusal programlama probleminin matematiksel modelini tamamlamak için her bir karar de ği şkeninin negatif olmama varsayımını sa ğlaması gerekir. Karar de ği şkeni X j ’nin sadece pozitif de ğerli oldu ğu varsayılırsa , “ X j ? 0” i şaret kısıtı modele eklenir. X j ? 0 (j=1,2, … n) Şimdi do ğrusal programlama modelinin matematiksel yazılımı a şa ğıdaki gibi olacaktır. Max/Min Z = c 1 X 1 + c 2 X 2 + …… + c n X n Kısıtlayıcılar a 11 X 1 +a 12 X 2 + … +a 1n X n ? b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 + … +a 2n X n ? b 2 . . . . . . . . a m1 X 1 +a m2 X 2 + … +a mn X n ? b m ve X 1 ,X 2, … ,X n ? 0 Herhangi bir doğrusal programlama modeli, belirlenen amaç fonksiyonunu minimize veya maksimize edecek karar de ği şkenlerinin değerini bulmak için kurulur. Do ğrusal programlama modelinin temel bile şenleri nelerdir? DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA UYGULAMALARI Bu ba şlık altında doğrusal programlamanın varsayımları altında bir problemin, do ğrusal programlama modeli olarak nasıl ifade edilebilece ği, örneklerle anlatılmaya çalı şılacaktır. Bir karar problemi için model geli ştirme öncesinde amacın, karar deği şkenlerinin ve parametrelerin tanımlanmı ş olması gerekir. Do ğrusal programlamanın uygulama alanlarını örneklemek ve modellemek için a şa ğıdaki bazı problemlerin modellenmesi ele alınacaktı. Üretim Planlaması Do ğrusal programlamanın en yaygın kullanıldı ğı alanlardan birisi, üretim işletmelerin de maksimum karlı veya minimum maliyetli üretim bile şenlerini belirlemede kullanılmasıdır. Örnek 2.1. Bir marangoz i şletmesi masa ve sandalye üretmektedir. Bir masa yapımı için 30 metre tahtaya ve 5 saat i ş gücüne gerek vardır. Bir sandalye yapımı için de 20 metre tahtaya ve 10 saat i ş gücüne gerek vardır. İşletmenin elinde 300 metre tahta ile 110 saat i ş gücü vardır. Ayrıca bir masanın satı şından elde edilen kâr 6 ve bir sandalyenin satı şından elde edilen kâr 8’dir. İşletmenin amacı maksimum kara ula şmaktır. Buna göre marangoz i şletmesi ne kadar masa ve sandalye üretmelidir. Problemi do ğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar de ği şkenleri: X 1 : üretilecek masa miktarını, X 2 : üretilecek sandalye miktarını, göstersin. 20 Amaç fonksiyonu; Max Z = 6 X 1 + 8 X 2 (Toplam kar. Üretilecek X 1 adet masa ve X 2 adet sandalyeden elde edilecek karların toplamı.) K ısıtlayıcılar 30X 1 + 20X 2 ? 300 (tahta kısıtı) 5X 1 + 10X 2 ? 110 (i ş gücü kısıtı) ve X 1 ,X 2 ? 0 Örnek 2.2. Bir i şletme X,Y ve Z gibi üç ürün üretmektedir. Bir birim X üretiminde 1 birim A malı girdisi ile 1 birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Bir birim Y malı üretiminde ise 1 birim A malı ile 2 birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Birim Z üretiminde ise sadece A malı girdisi kullanılmaktadır. İşletmenin elinde kullanılabilir 40 birim A malı ile 20 birim B malı bulunmaktadır. Öte yandan, bir birim X malının satı ş fiyatı 10, bir birim Y malının satı ş fiyatı 15 ve bir birim Z malının satı ş fiyatı ise 12’dir. Bu X,Y,Z mallarının birim üretim maliyetleri sırasıyla 8, 9 ve 7’dir. Buna göre i şletmenin karını maksimum kılabilmek için üretim bile şimi ne olmalıdır. Problemi do ğrusal programlama modeli halinde ifade ediniz. Çözüm: Karar de ği şkenleri: X 1 : üretilecek X ürününün miktarını, X 2 : üretilecek Y ürününün miktarını, X 3 : üretilecek Z ürününün miktarını, göstersin. Amaç karın maksimizasyonu olduğundan, öncelikle i şletmenin üretti ği üç ürün için birim net karlarının bulunması gerekmektedir. Birim kar: Birim satı ş fiyatı – birim üretim maliyeti Buna göre X 1 ’in net karı 2, X 2 ’nin net karı 6 ve X 3 ’ün net karı da 5’ dir. Amaç fonksiyonu: Max Z = 2X 1 + 6X 2 +5X 3 K ısıtlayıcılar X 1 + X 2 +X 3 ? 40 (A malı girdisi) X 1 +2X 2 ? 20 (B malı girdisi) ve X 1 ,X 2 , X 3 ? 0 Örnek 2.3. Bir metalik parça üreten atölye A ve B mamullerini imal etmektedir. A’ dan 3 /parça ve B’ den 2 /parça kâr edebilmektedir. Her gün, her bir mamulden 12 düzine satabilmektedir. Atölyede torna, freze ve ta şlama olmak üzere üç tezgâh vardır. • A mamulünden bir birim üretebilmek için, tornada 5 dakika, frezede 7 dakika ve taşlamada 4 dakika i şlem görmesi gerekmektedir. • B mamulünden bir birim üretebilmek için, tornada 3 dakika, frezede 9 dakika ve ta şlamada 7 dakika i şlem görmesi gerekmektedir. Atölyede bir torna, bir freze ve bir taşlama tezgahı vardır. Bu tezgâhlar ba şka i şlerde de kullanıldı ğı için sadece aşa ğıda belirtilen miktarlarda boş zamanları vardır. 21 Tezgah boş Zamanı (dak.) Torna Freze Taşlama 65 100 90 A ve B’den ne kadar üretilsin ki maksimum kara ula şılsın. Problemi do ğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Çözüm: Karar deği şkenleri: X 1 : A mamulünden üretilecek miktarı, X 2 : B mamulünden üretilecek miktarı, göstersin. Talep: 12 düzine ›12 × 12 = 144 adet olmak üzere, Amaç fonksiyonu; Max Z = 3X 1 + 2X 2 Kısıtlayıcılar X 1 ? 144 (talep) X 2 ? 144 (talep) 5X 1 + 3X 2 ? 65 (torna zamanı) 7X 1 + 9X 2 ? 100 (freze zamanı) 4X 1 + 7X 2 ? 90 (ta şlama zamanı) ve X 1 ,X 2 ? 0 Örnek 2.4. BORSAN firmasının üç fabrikası var ve her fabrikada üç ayrı boyda boru üretilmektedir. Üç boyda boru satı şından elde edilen birim karlar şöyledir. Büyük boy için 800, orta boy için 600 ve küçük boy için de 540. Üç fabrikadaki emek ve makine güçlerine göre ancak haftada 1 nolu fabrikada 800 birim, 2 nolu fabrikada 650 birim ve 3 nolu fabrikada 450 birim ürün üretebilmektedir. Fabrikaların stoklama alanları da sınırlıdır. 1 nolu fabrikanın 1400m 2 , 2 nolu fabrikanın 1250 m 2 ve üç nolu fabrikanın da 800 m 2 ’lik stoklama alanı vardır. Büyük boy boru haftalık üretiminde 2,5 m 2 , orta boy boru haftalık üretiminde 2 m 2 ve küçük boy boru haftalık üretimi için 1,5 m 2 yere gerek vardır. Satı ş bölümünün tahminine göre haftada büyük boy borudan 800, orta boy borudan 900 ve küçük boy borudan 600 birim satılabilmektedir. Öte yandan, yönetim üç fabrikada üretilen malların göreli sayısının emek ve makine kapasitelerine denk oranda olmasını istemektedir. Yönetim, karını en çok yapabilmek için üç fabrikada her bir boydan ne kadar birimlik ürün üretilmesi gerekti ğini saptamak istemektedir. Problemi do ğrusal programlama modeli olarak kurunuz. Çözüm: Bu problemde, karar de ği şkenleri ve parametreleri fabrika-ürün ili şkisini belirtecek şekilde çift indisle göstermek yerinde olacaktır. Karar de ği şkenleri X ij = i’inci fabrikada üretilecek j’inci boyda boru miktarı. (i=1,2,3) (j= 1 büyük, j=2 orta, j=3 küçük) 22 Amaç fonksiyonu: Max Z = 800(X 11 +X 21 +X 31 )+600(X 12 +X 22 +X 32 )+540(X 13 +X 23 +X 33 ) K ısıtlayıcılar Emek ve makine kapasiteleri kısıtlayıcıları X 11 +X 12 +X 13 ? 800 X 21 +X 22 +X 23 ? 650 X 31 +X 32 +X 33 ? 450 Stoklama alanı kısıtlayıcıları 2,5X 11 +2X 12 +1,5X 13 ? 1400 2,5X 21 +2X 22 +1,5X 23 ? 1250 2,5X 31 +2X 32 +1,5X 33 ? 800 Satı ş tahmini kısıtlayıcıları X 11 +X 21 +X 31 ? 800 X 12 +X 22 +X 32 ? 900 X 13 +X 23 +X 33 ? 600 Her fabrikada yönetimin istedi ği denk oranlar şu şekilde gösterilebilir. 450 650 X 800 X X X 33 32 31 23 22 21 13 12 11 X X X X X + + = + + = + + Bu e şitlik, iki ayrı do ğrusal kısıtlayıcı olarak a şa ğıdaki şekilde yazılabilir. 650(X 11 +X 12 +X 13 ) – 800(X 21 +X 22 +X 23 ) = 0 450(X 21 +X 22 +X 23 ) – 650(X 31 +X 32 +X 33 ) = 0 Böylece model bütün olarak a şa ğıdaki şekilde yazılabilir. Max Z = 800(X 11 +X 21 +X 31 )+600(X 12 +X 22 +X 32 )+540(X 13 +X 23 +X 33 ) Kısıtlayıcılar X 11 +X 12 +X 13 ? 800 X 21 +X 22 +X 23 ? 650 X 31 +X 32 +X 33 ? 450 2,5X 11 +2X 12 +1,5X 13 ? 1400 2,5X 21 +2X 22 +1,5X 23 ? 1250 2,5X 31 +2X 32 +1,5X 33 ? 800 X 11 +X 21 +X 31 ? 800 X 12 +X 22 +X 32 ? 900 X 13 +X 23 +X 33 ? 600 650(X 11 +X 12 +X 13 ) – 800(X 21 +X 22 +X 23 ) = 0 450(X 21 +X 22 +X 23 ) – 650(X 31 +X 32 +X 33 ) = 0 ve X ij ? 0 (i=1,2,3) (j=1,2,3) 23 Örnek 2.5. Atlas Mobilya, “Köy Tipi” ve “Modern” olmak üzere iki de ği şik tip vitrin imal etmektedir. Her bir vitrin imal edilirken marangozluk, boyama ve son kontrol olmak üzere üç i şlemden geçmektedir. A şa ğıda görülen tabloda imal edilen her vitrin için i şlem süresi (saat), günlük her i şlem-üretim kapasitesi (saat) ve üretilen her üründen elde edilen net kâr ( ) ile ilgili bilgiler yer almaktadır. Firmanın, bir da ğıtıcı firmayla, haftada her bir vitrinden minimum 300 adet (günlük 60 adet) üretmesi hususunda anla şması mevcuttur. Firma sahibi, günlük gelirini maksimum eden üretim karı şımına karar vermek istemektedir. Problemin doğrusal programlama modelini kurunuz. Vitrin tarzı Marangozluk Boyama Son kontrol Net kar Köy tipi 3 1,5 ¾ 28 Modern 2 1 ¾ 25 İşlem kapasite 360 200 125 Çözüm: Karar de ği şkenleri; X 1 : Köy tipi vitrinden günlük üretim miktarı, X 2 : Modern tip vitrinden günlük üretim miktarı. Amaç fonksiyonu Max. Z = 28 X 1 + 25 X 2 Kısıtlayıcılar 180 X 1 + 120 X 2 ? 21600 dakika 90 X 1 + X 2 ? 12000 45 X 1 + 45X 2 ? 7500 X 1 ? 60 X 2 ? 60 ve X 1 , X 2 ?0 Sa ğ taraf sabitleri ve teknik katsayılar saatten dakika cinsine dönü ştürülmü ştür. Tarım Planlaması Tarım sektöründe çiftçiler için en önemli problem, en çok karı sa ğlamak için eldeki arazinin ürün türlerine göre taksimi nasıl olmalıdır? Ayrıca arazinin üretim verimlili ğinin bilinmesi halinde, hangi üründen ne kadar üretim elde edilebilece ği de belirlenebilmektedir. Örnek 2.6. Bir çiftçinin toplam 100 dönümlük arazisi vardır. Yetiştirebildi ği kadar; mısır, fasulye ve karpuz satabilmektedir. Mısır 3/kg, fasulye 2/kg ve karpuz 0,25/kg kâr getirmektedir. Bütün bu ürünler için aynı gübre kullanılabilir ve gübrenin fiyatı 2 /kg’ dır. Gereken gübre miktarı mısır için 20 kg/dönüm, fasulye için 10 kg/dönüm ve karpuz için 5 kg/dönümdür. Beklenen ürün miktarı 100 kg mısır/dönüm, 80 kg fasulye/dönüm ve 1000 kg karpuz/dönümdür. Bütün ürünün 5 gün içinde toplanması gerekir. Toplam 20 i şçi vardır ve her birinin ücreti 30/gün’dür. Her bir i şçi günde 10 saat çalı şabilmektedir. Mısırı toplamak için 20 i şçi saati/dönüm, fasulyeyi toplamak için 8 i şçi saati/dönüm ve karpuz toplamak için 12 i şçi saati/dönüm gerekmektedir. Buna göre çiftçinin karını maksimum kılacak ürün ekimi ne olmalıdır. Problemi do ğrusal programlama problemi olarak ifade ediniz. 24 Çözüm: Karar deği şkenleri: X 1 : mısır ekilecek arazi(dönüm) miktarını, X 2 : fasulye ekilecek arazi(dönüm) miktarını, X 3 : karpuz ekilecek arazi(dönüm) miktarını, göstersin. Amaç karın maksimizasyonu olduğundan, öncelikle çiftçinin üretece ği üç ürün için birim karlarının bulunması gerekmektedir. Mısır kâr = ( 3/kg × 100kg/dönüm) – 2/kg × 20 kg/dönüm- 30/gün × 2 gün/dönüm = 300 – 40 – 60 = 200/dönüm Fasulye kâr = ( 2/kg × 80kg/dönüm) - 2/kg × 10 kg/dönüm- 30/gün ×8/10 gün/dönüm = 160 – 20 – 24 = 116/dönüm Karpuz kâr = ( 0,25/kg × 1000kg/dönüm) – 2/kg × 5 kg/dönüm– 30/gün ×12/10 gün/dönüm = 250 – 10 – 36 = 204/dönüm Amaç fonksiyonu; Max Z = 200X 1 + 116X 2 +204X 3 Kısıtlayıcılar X 1 + X 2 + X 3 ? 100 (arazi kısıtı) 20X 1 + 8X 2 +12X 3 ? 1000 (20 i şçi × 10 saat × 5 gün) (i ş gücü kısıtı) ve X 1 , X 2 , X 3 ? 0 Karışım Problemi Örnek 2.7. Kümes havanı besicilerine yem üretip satan bir firma minimum maliyetli yemi üretmeyi istemektedir. Her bir tavuğun 1. 2. ve 3. besleyici elemandan (vitaminden) günde 250, 150 ve 400 birimlik ihtiyacı oldu ğu varsayılmaktadır. Bu besleyici elemanlar A,B,C ve D besin maddelerinin a şa ğıda belirtilen miktarlarında (kilo ba şına) karı şımlarından elde edilebilir. Besleyici Elemanlar (vitamin, protein vb.) Besleyici maddeler A B C D Minimum Günlük ihtiyaç 1.besleyici elemen 2. besleyici elemen 3. besleyici elemen 20 15 10 30 25 15 20 25 25 20 20 30 250 150 400 Besleyici madde Birim fiyatları 30 /kg 10 20 40 Yemi üreten firma besin maddelerinden, hangi oranda karı ştırıp imal etmeli ki, maliyet minimum olsun ve yem günlük beslenme (vitamin, protein, vb.) ihtiyacını kar şılasın. Problemi do ğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. 25 Çözüm: Karar de ği şkenleri: X 1 : A besin maddesinden yeme katılacak miktarı, X 2 : B besin maddesinden yeme katılacak miktarı, X 3 : C besin maddesinden yeme katılacak miktarı, X 4 : D besin maddesinden yeme katılacak miktarı, göstersin. Amaç fonksiyonu; Max Z = 30X 1 + 10X 2 +20X 3 + 40X 4 Kısıtlayıcılar 20X 1 + 15X 2 + 10X 3 + 30X 4 ? 250 25X 1 + 15X 2 + 20X 3 + 25X 4 ? 150 25X 1 + 20X 2 + 20X 3 + 30X 4 ? 400 ve X 1 ,X 2 , X 3 ,X 4 ? 0 Ulaştırma ve Lojistik Problemler Ula ştırma ve dağıtıma ili şkin problemler, daha geni ş anlamda lojistik problemler, ula ştırma ve atama problemleri bölümünde daha sonra ele alınacaktır. Burada amaç ula ştırma ve lojistik problemlerinin, nasıl do ğrusal programlama modeli olarak ifade edilece ğini göstermektir. Örnek 2. 8. ATLAS Lastik i şletmesi, üç fabrikasında kamyon lasti ği üretmektedir. Bu ürünlerini, dört ayrı bölgede bulunan bayilerine göndererek, bayileri aracılı ğı ile pazarlamaktadır. Fabrikaların aylık üretim kapasiteleri, bayilerin aylık talepleri ve her bir fabrikadan her bir bayiye birim taşıma maliyetleri a şa ğıda verilmi ştir. Fabrikalar A B C Toplam Aylık üretim kapasitesi 380.000 220.000 350.000 950.000 Bayilerin gelecek ay talepleri ise: Bayi 1 2 3 4 Toplam Talep 180.000 250.000 340.000 150.000 920.000 adet Birim ta şıma maliyetleri (* 100) Bayi Fab. 1 2 3 4 A 25 38 30 19 B 22 34 18 36 C 35 15 15 32 Hangi fabrikadan hangi bayiye, minimum maliyetle ne kadar lastik gönderilebilece ğinin bilinmesi istenmektedir. Bir ula ştırma problemi olan bu problemin, do ğrusal programlama modelini kurunuz. 26 Çözüm: Bu problemde, karar de ği şkenleri ve parametreleri fabrika-bayi ili şkisini belirtecek şekilde ( Şekil 2.1.) çift indisle göstermek yerinde olacaktır. Karar deği şkenleri; X ij = i ‘ inci fabrikadan j ‘ inci bayiye gönderilecek lastik miktarı, (i=1,2,3) (j=1,2,3,4) F A F B F C Kapasiteler Fabrikalar Bayiler Talepler B 1 B 2 B 3 B 4 380.000 220.000 350.000 180.000 250.000 340.000 150.000 Şekil 2.1: Fabrikalardan bayilere ula ştırma şebekesi Amaç fonksiyonu, toplam ta şıma maliyetinin minimum kılınmasıdır. Kısıtlayıcılar ise, fabrika kapasite kısıtları ve bayi talep kısıtları olacaktır. Buna göre problemin doğrusal programlama modeli a şa ğıdaki gibi yazılır. Max Z=25X 11 +38 X 12 +30 X 13 + 19X 14 +22 X 21 +34 X 22 +18 X 23 + 36X 24 +35 X 31 +15 X 32 +15 X 33 +32 X 34 Kısıtlayıcılar X 11 + X 12 + X 13 + X 14 ? 380.000 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 ? 220 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 ? 350 X 11 + X 21 + X 31 ? 180.000 X 12 + X 22 + X 32 ? 250.000 X 13 + X 23 + X 33 ? 340.000 X 14 + X 24 + X 34 ? 150.000 ve X ij ? 0 (i=1,2,3) (j=1,2,3,4) Örnek 2.9. Bir kargo uçağının üç bölmesi: ön bölme, orta bölme ve arka bölme vardır. Bu bölmelerin a ğırlık ve alan kapasiteleri a şa ğıda belirtildi ği kadardır. Bölme A ğırlık kapasite(ton) Alan kapasite(m 3 ) Ön bölme 120 7.000 Orta bölme 180 9.000 Arka bölme 100 5.000 27 Bununla birlikte, ilgili bölümlerdeki kargoların a ğırlı ğı, uça ğın dengeli sürülebilmesi için, her bir bölmenin a ğırlık kapasiteleriyle denk oranda olması gerekmektedir. Alan uygun oldu ğu sürece uçu şa hazır uça ğa yüklenmesi önerilen dört tip kargo türü vardır. Kargo türü A ğrılık(ton/adet) Hacim(m 3 /adet) Kar( /ton) 1 20 500 320 2 16 700 400 3 25 600 360 4 13 400 290 Bu kargolardan herhangi bir türü veya birden çok türü kabul edilebilir. Bu bilgilere göre, toplam karı maksimum yapmak için, hangi tür kargodan ne kadar kabul edilmeli ve bunlar bölmeler arasında nasıl da ğıtılmalıdır. Problemi do ğrusal programlama modeli olarak kurunuz. Çözüm: Karar de ği şkenleri: X ij : i’inci bölüme konacak j’inci kargo türü miktarları (i=1,2,3) (j=1,2,3,4) Amaç fonksiyonu; Max Z = 320(X 11 +X 21 +X 31 ) + 400(X 12 +X 22 +X 32 ) +360(X 13 +X 23 +X 33 ) +290(X 14 +X 24 +X 34 ) Kısıtlayıcılar Kapasite kısıtları(a ğırlık) 20X 11 +16X 12 +25X 13 +13X 14 ? 120 20X 21 +16X 22 +25X 23 +13X 24 ? 180 20X 31 +16X 32 +25X 33 +13X 34 ? 100 Kapasite kısıtları(hacim) 500X 11 +700X 12 +600X 13 +400X 14 ? 7000 500X 21 +700X 22 +600X 23 +400X 24 ? 9000 500X 31 +700X 32 +600X 33 +400X 34 ? 5000 Denge kısıtları 180(X 11 +X 12 +X 13 +X 14 )-120(X 21 +X 22 +X 23 +X 24 ) = 0 100(X 21 +X 22 +X 23 +X 24 )-180(X 31 +X 32 +X 33 +X 34 ) = 0 ve X ij ?0 i = 1,2,3 j = 1,2,3,4 Denge kısıtları ‘dan gelmektedir. 28 Örnek. 2.10. Otomobil imal eden bir firmanın 5 yerde montaj fabrikası ve 12 farklı yerde satı ş bayisi vardır. Fabrikaların Üretim kapasiteleri sırasıyla: Fab.-A-100 adet, Fab.-B-40 adet, Fab.-C-120 adet, Fab.D-80 adet ve Fab.-E-90 adettir. Firma fabrikalardan bayilere ta şıma maliyetini minimize etmek istemektedir. Buna göre hangi fabrikadan hangi bayiye ne kadar araba gönderilmelidir? Bayi No: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Talep Edilen Araç Sayısı : 35 42 28 52 17 33 62 61 43 37 28 42 Ta şıma Maliyetleri (Araba Ba şına) (* 100.) Bayi No Fab. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 25 36 31 20 27 33 27 21 24 35 21 24 B 37 23 28 35 19 31 23 25 28 27 19 31 C 26 19 17 28 27 36 31 24 21 27 17 30 D 42 25 15 32 23 28 29 33 26 29 20 27 E 19 31 45 37 31 34 27 31 32 30 22 25 Yukarıdaki bilgilerden yararlanarak do ğrusal programlama modelini kurunuz. Çözüm: Karar de ği şkenleri, X ij : i . fabrikadan j. bayiye gönderilecek araba sayısı (i= A,B,C,D,E) › fabrikalar (j = 1,2, … , 12) › bayiler Amaç fonksiyonu; Max Z = (25X A1 + 36X A2 + … + 24X A12 ) + (37X B1 + 23X B2 + … + 31X B12 ) + (26X C1 + 19X C2 + … + 30X C12 ) + (42X D1 + 25X D2 + … + 27X D12 ) + (19X E1 + 31X E2 + … + 25X E12 ) Kısıtlayıcılar Bayii talep kısıtları X A1 + X B1 + X C1 + X D1 + X E1 = 35 X A2 + X B2 + X C2 + X D2 + X E2 = 42 X A3 + X B3 + X C3 + X D3 + X E3 =28 X A4 + X B4 + X C4 + X D4 + X E4 = 52 X A5 + X B5 + X C5 + X D5 + X E5 = 17 X A6 + X B6 + X C6 + X D6 + X E6 = 33 X A7 + X B7 + X C7 + X D7 + X E7 = 62 X A8 + X B8 + X C8 + X D8 + X E8 = 61 X A9 + X B9 + X C9 + X D9 + X E9 = 43 X A10 + X B10 + X C10 + X D10 + X E10 = 37 X A11 + X B11 + X C11 + X D11 + X E11 = 28 X A12 + X B12 + X C12 + X D12 + X E12 = 42 29 Fabrika kapasite kısıtları, X A1 + X A2 + X A3 + X A4 + X A5 + X A6 + X A7 + X A8 + X A9 + X A10 + X A11 + X A12 ? 100 X B1 + X B2 + X B3 + X B4 + X B5 + X B6 + X B7 + X B8 + X B9 + X B10 + X B11 + X B12 ? 90 X C1 + X C2 + X C3 + X C4 + X C5 + X C6 + X C7 + X C8 + X C9 + X C10 + X C11 + X C12 ? 120 X D1 + X D2 + X D3 + X D4 + X D5 + X D6 + X D7 + X D8 + X D9 + X D10 + X D11 + X D12 ? 80 X E1 + X E2 + X E3 + X E4 + X E5 + X E6 + X E7 + X E8 + X E9 + X E10 + X E11 + X E12 ? 90 ve X ij ? 0 (i= A,B,C,D,E) (j = 1,2, … , 12) Personel Programlaması Do ğrusal programlama i şletmelerde minimum maliyetli i şgücü gereksinimini kar şılamada, e ğitim- ö ğretim planlaması gibi konularda etkin şekilde kullanılmaktadır. Örnek 2.11. Bir ula ştırma i şletmesinde haftanın farklı günlerinde tam gün çalı şacak araç sürücülerine ihtiyaç vardır. Haftanın günleri için ihtiyaç duyulan sürücü sayıları a şa ğıdaki gibidir. Pazartesi Salı Çar şamba Per şembe Cuma Cumartesi Pazar 25 21 23 27 22 24 19 Çalı şma yasalarına göre her bir sürücü, tam gün birbirini izleyen beş gün çalı şıp, iki gün dinlenmelidir. Bu i ş yeri hangi günlerde kaç sürücüyü i şe ba şlatarak, toplam istihdam edece ği sürücü sayısını minimize edebilir. Bu i ş yeri problemi için do ğrusal programlama modelini kurunuz. Çözüm: Öncelikle karar deği şkenleri tanımlamamız gerekti ğinden ilk akla gelen; X j : j’inci gün, i şte olan sürücü sayısı X 1 : Pazartesi i şte olacak sürücü sayısı, X 2 : Salı i şte olacak sürücü sayısı,… Bunun sonucunda amaç fonksiyonu: Pazartesi’nden ba şlayarak, Pazar’a kadar i şte olanları toplamı olacaktır. Kısıtlayıcılar ise, haftanın günlerinde i şte bulunması gereken en az sürücü sayısı olacaktı. Min Z= X 1 +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 +X 7 Kısıtlayıcılar X 1 ?25 X 2 ?21 X 3 ?23 X 4 ?27 X 5 ?22 X 6 ?24 X 7 ?19 X j ? 0 (j=1,2,3,4,5,6,7) 30 Bu model iki açıdan yetersiz kalır. Birincisi amaç fonksiyonu, i şletmede tam gün istihdam edilecek sürücü toplamını vermez. Çünkü her sürücü ancak be ş gün çalı ştırılabilmektedir. Örne ğin Pazartesi günü i şte, Pazartesi başlayanların yanında, daha önceki günlerde ba şlayıp i şteki be şinci, dördüncü, üçüncü… gününü çalı şanlar da vardır. İkincisi, bazı de ği şkenler birbiri ile ili şki halindedir. Örne ğin Pazartesi çalı şanların bazıları Salı günü de i şte olacaktır. Şu halde ilk akla gelen karar de ği şkeni tanımının yetersiz oldu ğu ortaya çıkmı ştır. Bu problemde bizden istenen, i şletmenin tam gün çalı şacak sürücü ihtiyacını kar şılamak üzere, haftanın günlerinde kaç sürücünün i şe ba şlayaca ğını bulmak olacaktır. Bunun için karar de ği şkenini yeniden tanımlamak gerecektir. Karar de ği şkenleri; X 1 : Pazartesi günü i şe ba şlayacak sürücü sayısı X 2 :Salı günü i şe ba şlayacak sürücü sayısı X 3 : Çar şamba günü i şe ba şlayacak sürücü sayısı X 4 : Per şembe günü i şe ba şlayacak sürücü sayısı X 5 : Cuma günü i şe ba şlayacak sürücü sayısı X 6 : Cumartesi günü i şe ba şlayacak sürücü sayısı X 7 : Pazar günü i şe ba şlayacak sürücü sayısı Karar de ği şkenlerini böyle tanımladı ğımızda Pazartesi için en az 25 sürücü i şte olmalıdır kısıtı; X 1 + +X 4 +X 5 +X 6 +X 7 ?25 şeklinde olacaktır. Di ğer günler içinde benzer dü şünce geçerlidir. Amaç fonksiyonu haftanın günlerinde i şe başlayacakların sayıları toplamı olacak, böylece toplam istihdam edilecek sürücü sayısını verecektir. Problemin do ğrusal programlama modeli a şa ğıdaki gibi yazılır. Min Z = X 1 +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 +X 7 Kısıtlayıcılar X 1 + X 4 +X 5 +X 6 +X 7 ?25 (Pazartesi kısıtı) X 1 + X 2 + X 5 +X 6 +X 7 ?21 (Salı kısıtı) X 1 + X 2 + X 3 + X 6 +X 7 ?23 (Çar şamba kısıtı) X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 7 ?27 (Per şembe kısıtı) X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ?22 (Cuma kısıtı) X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ?24 (Cumartesi kısıtı) X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 ?19 (Pazar kısıtı) X j ? 0 (j=1,2,3,4,5,6,7) Beslenme (Diyet) Problemleri Diyet günlük tüketilen yiyecek ve içeceklere verilen genel bir isimdir. Diyet problemi, sa ğlık için gerekli temel besinleri kar şılayacak en ekonomik diyet ne olmalıdır? Şeklindedir. Bir ba şka ifade ile türlü yiyecek ve içeceklerden en uygununun seçimidir. Do ğrusal programlama ile modellenip, çözülen ilk ekonomik problemden biri de diyet problemidir. İlk önceleri diyet probleminin, sayısal bir örne ği alınarak çözümü ara ştırılmı ş, daha sonra beslenmeyle ilgili ilginç uygulamaları yapılmı ştır. Günümüzde toplu beslenme yerlerinde (ö ğrenci veya i şçi yemekhanelerinde), büyük şantiyelerde, gemi-denizaltı vb. yerlerde beslenme planlaması do ğrusal programlama ile yapılmaktadır. 31 Örnek 2.12. İnsan sa ğlı ğı ile ilgili araştırma kurumları, normal geli şmi ş sa ğlıklı bir yetişkin insanın ne tür ve ne miktarda besleyici elementlere ihtiyaç duydu ğunu, yaptıkları bilimsel çalı şmalarda belirlemi şlerdir. Belirlenen söz konusu verilerin bir kısmının sağlıklı beslenme internet sitelerinde yer aldı ğı görülebilir. http://saglik.turk.net/ Yeti şkin bir insanın günlük beslenme ihtiyaçlarını kar şılayacak be ş temel besin elementi ile günlük minimum ihtiyaçlar a şa ğıda verilmi ştir. Besleyici Element Günlük Minimum ihtiyaç Karbonhidrat Protein Ya ğ Kalsiyum Demir 134 gr 55 gr 40 gr 0,5 gr 0,1 gr Yeti şkin bir insanın yiyeceklerden aldı ğı besin sayısı 20’ye yakın olmasına ra ğmen belirlenen be ş besleyici elementten yeterli miktarlarda alındı ğında, di ğer besleyici elementler için bir eksiklik duyulmamaktadır. Bu besinlerin temin edilebilece ği yiyecek türleri ve bunların 250 gramında (yakla şık bir porsiyon) bulunan besin miktarlarıyla, her birinin birim fiyatları ( /Porsiyon) a şa ğıda verilmi ştir. Besin Yiyecek Karbonhidrat(gr) Protein(gr) Ya ğ(gr) Kalsiyum(gr) Demir(gr) Fiyat (bir porsiyon) Izgara Fasulye Patates Kadayıf Yo ğurt 183 131,9 36,8 55,2 28,7 58,2 43,2 4,5 0,26 11,2 9,6 4.8 0,36 0,10 0,05 0,23 0,12 0,24 0,26 0,18 0,03 0,05 0,02 0,04 0,00 350 272 171 43 62 Bir yeti şkin insan günlük besin gereksinimini minimum maliyetle temin edebilmesi için her yiyecek türünden ne kadar tüketmelidir. Problemin do ğrusal programlama modelini kurunuz. Çözüm: Bu problemde karar verici, yeti şkin insan gibi görünmekle birlikte, gerçek hayatta ilgili beslenme uzmanı karar verici durumdadır. Amaç, minimum maliyetli besin gereksinimini karşılamak olup, her yiyecek türünden günlük tüketilebilecek miktarlar karar de ği şkenleri olacaktır. Karar de ği şkenleri; X 1 : bir günde tüketilecek ızgara miktarı X 2 : bir günde tüketilecek fasulye miktarı X 3 : bir günde tüketilecek patates miktarı X 4 : bir günde tüketilecek kadayıf miktarı X 5 : bir günde tüketilecek yo ğurt miktarı 32 Şeklinde yazılabilir. Problemin do ğrusal programlama modeli ise a şa ğıdaki gibi kurulacaktır. Min Z = 350X 1 +272X 2 +171X 3 +43X 4 +62X 5 Kısıtlayıcılar 183X 1 +131,9X 2 +36,8X 3 +55,2X 4 +28,7X 5 ?134 58,2X 1 +43,2X 2 + 4,5X 3 + 0,26X 4 +11,2X 5 ?55 9,6X 1 + 4,8X 2 + 0,36X 3 + 0,1X 4 + 0,05X 5 ?40 0,23X 1 +0,12X 2 +0,24X 3 +0,26X 4 +0,18X 5 ?0,5 0,03X 1 +0,05X 2 +0,02X 3 +0,04X 4 ?0,1 ve X 1 ,X 2 ,X 3 , X 4 ,X 5 ? 0 Örnek 2.13. Bir at çiftli ğinde uygulanacak beslenme programı ile atların be ş besin maddesine olan günlük ihtiyaçları kar şılanmak istenmektedir. Söz konusu be ş besin maddesi; A,B,C,D ve E olarak tanımlanmı ş olsun. Beslenmede üç yem türü (Yulaf, Yonca ve Arpa)kullanılmaktadır. Üç yem çe şidinin 1 kg’ının içerdi ği besin maddesi miktarları, günlük besin ihtiyaçları (kg) ve yem maliyetleri a şa ğıda verilmi ştir. Yem türü Besin Maddeleri Yulaf (1 kg’da) Yonca (1 kg’da) Arpa (1 kg’da) Min. Günlük İhtiyaç (kg) A 0,2 0,3 0,1 6 B 0,05 0,1 0,05 2 C 0,3 0,5 0,6 9 D 0,1 0,15 0,2 8 E 0,05 0,05 0,15 5 Maliyet(/kg) 9 14 17 Minimum maliyette günlük besin ihtiyaçlarını kar şılayacak en iyi diyeti bulan do ğrusal programlama modelini kurunuz. Çözüm: Karar de ği şkenleri X 1 : karı şıma katılacak yulaf miktar X 2 : karı şıma katılacak yonca miktar X 3 : karı şıma katılacak arpa miktar Amaç Fonksiyonu Min Z = 9 X 1 +14 X 2 +17X 3 Kısıtlayıcılar 0,2 X 1 +0,3X 2 +0,1X 3 ?6 0,05X 1 +0,1X 2 +0,05X 3 ? 2 0,3X 1 +0,5X 2 +0,6X 3 ? 9 0,1X 1 +0,15X 2 +0,2X 3 ? 8 0,05X 1 +0,05X 2 +0,15X 3 ? 5 ve X 1 ,X 2 ,X 3 ? 0 33 Reklam Seçimi Problemi Günümüz i şletmeleri ürün ve hizmetlerini mü şterilerine tanıtmak ve talebi artırmak için etkin reklam kampanyaları yürütürler. Reklamın amacına ula şmasına yönelik olarak, etkili olacak reklam seçiminde doğrusal programlama kullanılmaktadır. Örnek 2.14. Eski şehir’de 4 perakende dükkânından olu şan bir dükkân zincirinin reklam yöneticisi 2 medya seçene ğini göz önünde tutuyor. Biri yerel bir gazetede yarım sayfalık ilanlar, di ğeri TVA’ daki reklamlardır. Reklam yöneticisi reklama maruz kalma oranının reklam kampanyasının sonunda şehir merkezinde en az %40, il genelinde de en az % 60 olmasını istiyor. Söz konusu TV reklamı ba şına bu oran şehir civarında %5, il genelinde %3’tür. Yarım sayfalık gazete ilanı ba şına bu oran şehir merkezinde %4, il genelinde %3’tür. Yarım sayfalık gazete ilanının maliyeti 9.250, televizyon reklamının maliyeti 20.000‘dır. Amaç arzulanan hedefi kar şılayacak en az maliyetli reklam stratejisini seçmektir. Do ğrusal programlama modelini kurunuz. Çözüm: Karar de ği şkenleri; X 1 : Yarım sayfalık gazete ilanı sayısı (kaç gün çıkacak) X 2 : TV reklamı sayısı Amaç fonksiyonu; Min Z = 9.250X 1 + 20.000X 2 Kısıtlayıcılar 0,05X 1 + 0,04X 2 ? 0,40 0,03X 1 + 0,03X 2 ? 0,60 ve X 1 , X 2 ? 0 34 Özet Do ğrusal programlama, sınırlı (kıt) kaynakların de ği şik faaliyetler arasında da ğıtımını optimum (en iyi) kılmak için tasarlanmı ş bir matematiksel modelleme yöntemidir. Endüstri, askeri, tarım, ulaşım, in şaat, ekonomi, sa ğlık ve hatta davranı ş ve sosyal bilimler alanlarında ba şarılı doğrusal programlama uygulamaları vardır. Yöntemin kullanı şlılı ğı, bilgisayar yazılımlarındaki geli şmelerle daha da artmı ştır. Bir problem için karar modeli geli ştirmek ve kurmak gerçek sistemi matematiksel olarak ifade etmek demektir. Bu i şlem yapılırken bilgi kaybı kaçınılmazdır. Önemli olan en az bilgi kaybı ile dönüşümü gerçekleştirebilmektir. Bu nedenle modelden tutarlı sonuçlar elde edilebilmesi için: doğrusallık, toplanabilirlik, bölünebilirlik ve belirlilik varsayımlarının kabul edilmesi gerekir. Do ğrusallık: Kısıtlar ve amaç fonksiyonu birinci dereceden fonksiyon olmasıdır. Toplanabilirlik: Karar de ği şkenlerine verilecek de ğerlere göre her birinin sa ğladı ğı katkılar toplanıp, toplam katkıyı, yani amaç fonksiyonunu olu şturuyorsa toplanabilirlik varsayımı geçerlidir demektir. Bölünebilirlik: Modelin karar de ği şkenleri Xj’ler, her türlü reel de ğerleri alabiliyorsa, bölünebilirlik varsayımı sa ğlanıyor demektir. Bazen girdi ve çıktıların bölünmezlik sorunu nedeniyle, karar de ği şkenlerini tamamının veya bazılarının tam sayı olması gerekebilir. Belirlilik: Do ğrusal programlama modelindeki tüm parametrelerin (amaç fonksiyonu katsayıları-cj, sa ğ taraf sabitleri-bi ve teknoloji katsayıları- aij) biliniyor olduğu varsayımıdır. Karar deği şkeni ile tesadüfi deği şken birbirinden farklıdır. Karar deği şkeni: bir problemde karar vericinin kontrolü altında olup da, de ğeri araştırılan eylemler karar de ği şkenleridir. Karar de ği şkenlerine kontrol edilebilen de ği şkenlere denir. İstatistikte de ği şken X i -tesadüfi de ği şken- dir ve serbestçe de ğerler alabilen de ği şken olarak tanımlanır. Do ğrusal programlama modelinin temel bile şenleri karar de ği şkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılardır. Do ğrusal programlama-nın en yaygın kullanıldı ğı alanlardan birisi, üretim i şletmelerinde en çok karlı veya en az maliyetli üretim bile şenlerini belirlemede kullanılmasıdır. 35 Kendimizi Sınayalım 1. A şa ğıdakilerinden hangisi do ğrusal prog- ramlama için söylenemez? a. Do ğrusal karar problemidir b. Matematiksel modeldir c. Kıt kaynakların da ğıtımıdır d. Nüfus planlamadır e. Do ğrusal denklemdir 2. Bir sistemi olu şturan unsurların arasındaki ili şkilerin, matematiksel simge ve sembollerle gösterilmesine ne ad verilir? a. Amaç fonksiyonu b. Model c. Kısıtlayıcı d. Algoritma e. Karar de ği şkeni 3. A şa ğıdakilerin hangisi do ğrusal programlamanın uygulama alanları içinde yer almaz? a. Ula şım b. Da ğıtım c. Tarım d. Trafik e. İklim 4. Do ğrusal programlamada do ğrusallık varsayımı a şa ğıdakilerden hangisini içermez? a. Amaç foksiyonu b. Üretim kısıtı c. Karar de ği şkeni d. Parametreler e. Da ğıtım kısıtı 5. Üretim girdileri toplamı ile, ayrı ayrı girdilerin toplamı e şittir varsayımı hangisidir? a. Do ğrusallık b. Toplanabilirlik c. Bölünebilirlik d. Tam sayılık e. Negatif olmama 6. A şa ğıdaki üretimlerden hangisinde girdi ve çıktıların bölünmezli ği söz konusudur? a. Otomobil b. Un c. Bu ğday d. Kereste e. Çukulata 7. A şa ğıdakilerden hangisi bir doğrusal programlama modelinin parametrelerinden de ğildir? a. a ij b. c J c. X ij d. b i e. a mn 8. Bir do ğrusal programlama modelinde karar de ği şkenleri a şa ğıdakilerden hangisini göstermez? a. Üretim miktarı b. Depolama miktarı c. Satı ş miktarı d. Tüketim miktarı e. Gelir miktarı 9. Bir doğrusal programlama modelinde amaç, a şa ğıdakilerin hangisi olamaz? a. Fayda b. Kar c. Optimum d. Maksimum e. Minimum 10. Bir doğrusal model kurmak için a şa ğıdakilerden hangisinin bilinmesine gerek yoktur? a. Amaç b. c j c. d j d. a ij e. b i 36 Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. d Yanıtınız yanlı ş ise “Giri ş” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. b Yanıtınız yanlı ş ise “Giri ş” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. e Yanıtınız yanlı ş ise “Giri ş” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. d Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Programla- manın Varsayımları” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. b Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Programla- manın Varsayımları” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. a Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Programla- manın Varsayımları” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. c Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Programla- mada Model Kurma” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. e Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Programla- mada Model Kurma” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. a Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Programla- mada Model Kurma” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. c Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Programla- mada Model Kurma” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 Do ğrusal programlamanın uygulama alanları: Ula ştırma ve lojistik problemleri, Endüstriyel üretim planlaması ve envanter(stok) kontrolü, Personel programlaması, Beslenme(diyet) problemleri, Karı şım problemleri, Tarımsal planlama, Finansal planlama, Yatırım planlaması, Sa ğlık sistemleri, Askeri planlama, Trafik planlaması, Atama problemleri, Reklam seçimi problemleri sayılabilir. Sıra Sizde 2 Do ğrusallık (oranlılık) varsayımı, toplanabilirlik varsayımı, bölünebilirlik varsayımı ve belirlilik varsayımlarıdır. Sıra Sizde 3 Do ğrusal programlama modelinin temel bile şenleri; Karar deği şkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılardır. 37 Yararlanılan Kaynaklar Do ğan, İ., (1995), Yöneylem Araştırması Teknikleri ve İşletme Uygulamaları, Bilim Teknik yayınevi, İstanbul. Kara, İ., 1991, Do ğrusal Programlama, Bilim Teknik Yayınevi, Eski şehir. Öztürk, A. (2011). Yöneylem Ara ştırması, Geni şletilmi ş 13. baskı, Ekin kitabevi, Bursa. Taha, H. (2000). Operations Research an Introduction, (6.Basımdan Çeviri: Yöneylem Ara ştırması) Çeviren ve Uyarlayan: Ş.Alp Baray ve Şakir Esnaf, Literatür yayınları, İstanbul. Turban, E. and Meredity, J.R., 1988, Fundamentals of Management Science, Fourth Edition, Business Publications, Inc., Plano Texas. Winston, W.L. (1994). Operations Research, Third Edition, Duxbury Pres, California. http://ubmail.ubalt.edu/~harsham/opre640/opre64 0.htm (eri şim tarihi: 01.11.2011) http://www.inform.org/ 38 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Grafik çözümün temel esaslarını tanımlayabilecek, Grafik çözümde yapılan i şlemleri sıralayabilecek, K ısıtlayıcı do ğrusal denklemlerin grafi ğini çizebilecek, Grafikde uygun çözüm kümesini çizebilecek, Grafik çözümden problemin optimum çözümünü belirleyebilecek, bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Seçenekli Çözüm Uygun Çözüm Uygun Çözüm Alanı D ı şbükey İç Bükey Kö şe Nokta Karar Modeli Sınırsız Çözüm İçindekiler Giri ş Grafik Çözümün Temel Esasları Grafik Çözümün Adımları Maksimizasyon Modelinin Grafik Çözümü Minimizasyon Modelinin Grafik Çözümü Grafik Çözümde Özel Durumlar 3 39 G İR İŞ Bir önceki bölümde görüldü ğü gibi, çok farklı alanlardaki problemler do ğrusal programlamada, karar modeli olarak modellenebilmektedir. Do ğrusal programlama, amaç fonksiyonunu etkileyen kısıtlayıcıların bulunması ve bunların doğrusal e şitlik ve eşitsizlikler olarak verilmesi durumunda, amaca en iyi bir biçimde ula şılması için, kıt kaynakların en verimli şekilde kullanılmasını sa ğlayan bir matematiksel yöntemdir. Böyle bir programlama sürecinde, önce gerekli veriler toplanır, probleme ait bir model kurulur ve modelin çözümü ara ştırılır. Bu çözümler, kurulmu ş olan modelin yapısına ba ğlı olarak tek bir çözüm ya da seçenekli çözüm olabilir. Hatta modelin hiçbir çözümü bulunmayabilir. Karar vericinin farklı seçenekler arasından, i şletmesi için en uygun olanını, uygulamaya koyması gerekir. Bazı durumlarda, modele dahil edil(e)memi ş çeşitli etkenlerden dolayı, optimum(en iyi) çözüm yerine, ona en yakın olan ba şka bir çözümün benimsenmesi söz konusu olabilir. Her durumda do ğrusal programlama, karar vericiler için önemli bir araç olarak kullanılabilmektedir. GRAF İK ÇÖZÜMÜN TEMEL ESASLARI Bir doğrusal programlama modelinin tüm kısıtlarını sa ğlayan her X vektörüne, X=[X 1 ,X 2 , … X j , … X n ] uygun çözüm denir. Uygun çözümlerin olu şturdu ğu kümeye, Uygun Çözüm Alanı (UÇA) denir. Uygun Çözün Alanı = {X | AX ?b, X ?0 } Burada, A- matris ve b-sütün vektörüdür; a 11 a 12 … a 1n b 1 A= a 21 a 22 … a 2n b = b 2 . . . . a m1 a m2 … a mn b m Karar modeli açısından her uygun çözüm bir seçenek, Uygun Çözüm Alanı ise seçenekler kümesi anlamındadır. Uygun Çözüm Alanı üzerinde X j ’lere göre, amaç fonksiyonunun maksimum (en büyük) veya minimum (en küçük) de ğerini aldı ğı X j ’lere optimum (en iyi) çözüm seti, amaç fonksiyonuna kar şı gelen de ğerine optimum (en iyi) de ğer denir. Uygun Çözüm Alanı nasıl tanımlanır? Uygun Çözüm Alanı dı şbükey(konveks) bir alandır. Dı şbükey alanın temel özelli ği, bu alan içinde iki nokta ele alınıp bir doğru parçasıyla birle ştirildi ğinde, birle ştiren do ğru parçasının tamamının alan kalmasıdır( Şekil 3.1.). Bir anlamda Uygun Çözüm Alanı kümesindeki herhangi iki nokta çiftini Doğrusal Programlama Modellerinin Çözümü: Grafik ÇözümTekniği 40 birleştiren do ğru parçası, tamamen Uygun Çözüm Alanı kümesinde ise, uygun çözüm alanı dı şbükey bir kümedir. Söz konusu do ğru parçasının bir kısmını içine almayan küme ise, içbükey (konkav) kümedir ( Şekil 3.1.). X 1 X 1 X 2 X 2 Dışbükey İçbükey Şekil 3.1: Dı şbükey ve İçbükey alan örnekleri Uygun Çözüm Alanının dı şbükey olması, farklı iki uygun çözüme ula şıldı ğında, bunları birle ştiren doğru parçası üzerindeki her noktanın da uygun çözüm oldu ğunu gösterir. Dı şbükey ve içbükey alanların bir birinden farkı nedir? Uç(kö şe) Nokta Teoremi: Grafik üzerinde Uygun Çözüm Alanının (UÇA) farklı iki noktasının dı şbükey birle şimi olarak yazılamayan noktası varsa, buna uç nokta veya kö şe nokta denir. Düzlemde bir üçgenin, bir karenin kö şeleri uç (kö şe) noktadır. Şu halde, amaç fonksiyonu maksimizasyon (en büyükleme) veya minimizasyon (en küçükleme) yönünde olan bir do ğrusal programlama modelinin: i. E ğer modelin optimum (en iyi) çözümü varsa, bu çözüm Uygun Çözüm Alanının bir köşe noktasındadır. ii. Amaç fonksiyonu optimum (en iyi) de ğerini birden çok kö şe noktasında alıyorsa, bu noktaların her dı şbükey birle şimi de optimum(en iyi) çözümdür. GRAF İK ÇÖZÜMÜN ADIMLARI Grafik çözüm tekni ği ile genellikle iki karar de ği şkenli modellerin çözümü mümkün olur. Uygulamada genellikle çok sayıda de ği şken ve kısıtlayıcı içeren modellerle kar şıla şılır. Ancak burada incelenecek olan karar modellerinde iki deği şken bulunacaktır. Yine de iki de ği şkenli modellerin grafik çözümleri, doğrusal programlamanın mantı ğının daha kolay kavranmasına önemli ölçüde katkıda bulunur. Çünkü çok daha karma şık modellerin çözümünde, yine aynı mantık yol gösterecektir. Modelin iki karar de ği şkeni oldu ğunda, kısıtların her biri düzlemde bir do ğru olu şturur. Bu doğrunun ikiye ayırdı ğı düzlemin bir bölgesi, ilgili kısıttı sa ğlayan (X 1 , X 2 )‘i de ğerlerini verir. Modelin tüm kısıtlayıcı fonksiyonları aynı koordinat sisteminde çizilerek, her bir kısıttın sa ğlanan bölgeleri taranırsa, kısıtları birlikte gerçekle ştiren (X 1 , X 2 ) ikilileri, yani “Uygun Çözüm Alanı(UÇA)” taranmı ş bölge olarak ortaya çıkar. 41 Yukarıdaki açıklamalar ı şı ğında bir do ğrusal programlama modelinin grafik çözümünde yapılacak i şlemler şöyle sıralanabilir. i. Her bir kısıt e şitlik olarak ele alınıp, kar şı gelen do ğrunun grafi ği çizilerek, kısıtı sa ğlayan yönü (bölge) i şaretlenir. Tüm kısıtları aynı anda sağlayan bölge taranarak “Uygun Çözüm Alanı(UÇA)” olarak belirlenir. ii. Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarında karar deği şkenlerinin ve amaç fonksiyonunun de ğeri hesaplanarak amacı sa ğlayan kö şe, optimum çözüm noktası olarak ilan edilir. iii. Optimum çözüm seti (amaç fonksiyonu ve karar de ği şkenlerinin de ğeri) yazılarak çözüme ulaşılmı ş olur. Grafik çözümde yapılan i şlemler nasıl sıralanır? MAKSİM İZASYON MODEL İN İN GRAF İK ÇÖZÜMÜ Maksimizasyon amaçlı doğrusal programlama modellerinin grafik çözümleri bir örnek üzerinde açıklanmaya çalı şılacaktır. Bunun için iki ürün üreten bir i şletmenin üretim modeli a şa ğıdaki gibi olsun. Karar de ği şkenleri; X 1 = Ürün -I’den üretilecek miktar, X 2 = Ürün -II’den üretilecek miktar, olmak üzere do ğrusal karar modeli; Max Z = 300X 1 + 250X 2 Kısıtlayıcılar 2X 1 + X 2 ? 40 (i şgücü kısıtı-saat) X 1 + 3X 2 ? 45 (kapasite kısıtı) 2X 1 + X 2 ? 40 (talep kısıtı) X 1 ? 0 (negatif olmama kısıtı) X 2 ? 0 (negatif olmama kısıtı) şeklinde kurulmu ş olsun. İki de ği şken içeren model, iki boyutlu uzayda grafik çözüm tekni ği ile çözülebilir. Kısıtlayıcıların Grafik Çizimi Do ğrusal karar modelinin optimum çözümünü bulmak için öncelikle Uygun Çözüm Alanının(UÇA) belirlenmesi gerekmektedir. İlk adımda modelin kısıtlayıcıları olan doğrusal e şitsizliklerin grafi ğini çizmek gerekir. Bütün do ğrusal programlama modellerinde negatif olmama kısıtlayıcıları (X 1 , X 2 ? 0) bulunduğundan, öncelikle bu kısıtların doyurulması ile ba şlamak gerekir. Koordinatlar ekseninde, uygun çözüm alanının hangi bölümde yer aldı ğı belirlenir. Örnek modeldeki X 1 (Ürün I’den üretilecek miktar) genellikle apsis (yatay) ekseninde, X 2 (Ürün II’den üretilecek miktar),ordinat (dü şey) ekseninde gösterilir. 42 20 20 40 40 60 60 80 80 100 100 0 X 1 X 2 I. Bölge II. Bölge III. Bölge IV. Bölge Bu eksen X 2 ?0 kısıtına karşı gelir Bu eksen X 1 ?0 kısıtına karşı gelir Şekil 3.2: Koordinat düzleminde X 1, X 2 ? 0 (I. Bölge) gösterimi X 1 , ve X 2 de ği şkenlerinin çözüm de ğerlerinin anlamlı olabilmesi için, negatif olmayan de ğer almaları gerekir. Olası çözüm de ğerleri Ürün I ve Ürün II’den üretilecek miktarları gösterecekti. Matematiksel olarak; • X 1 ? 0 (X 1 , Ürün I’den üretilecek ise pozitif bir de ğer alacak, üretilmeyecek ise sıfır değerini alacak demektir). • X 2 ? 0 (X 2 , Ürün II’den üretilecek ise pozitif bir de ğer alacak, üretilmeyecek ise sıfır değerini alacak demektir). Bunun yanında X 1 ? 0, yatay eksenin(apsis) üst tarafını, X 2 ? 0 dikey eksenin (ordinat) sa ğ tarafını i şaret eder ki, bu da koordinat ekseninin I.Bölgesidir ( Şekil 3.2.). Do ğrusal programlama modelinin grafi ği, koordinat diyagramının neden I. Bölge’sinde çizilir? Grafik çözümü ara ştırılacak karar modeli; Max Z = 300X 1 + 250X 2 Kısıtlayıcılar 2X 1 + X 2 ? 40 (i şgücü kısıtı-saat) X 1 + 3X 2 ? 45 (kapasite kısıtı) 2X 1 + X 2 ? 40 (talep kısıtı) X 1 , X 2 ? 0 Do ğrusal kısıtlayıcıların veya e şitsizliklerin grafi ğini çizmek için iki adım izlenir. Adım 1: Do ğrusal e şitsizlikler e şitlik halinde ifade edilerek, bunların sınırlarını gösteren, do ğrular çizilir. 43 Adım 2: Do ğrunun hangi tarafının e şitsizli ğe uygun düştü ğü belirlenir. Do ğrusal programlamada kurulmu ş model, karar vermede kullanılacağından, karar modeli diye de adlandırılır. Bu adımların uygulaması, örnek model üzerinde kısıtlayıcıların sırasıyla grafikleri çizilerek gösterilecektir. • İşgücü kısıtı, 2X 1 + X 2 ? 40 e şitsizli ği e şitlik halinde ifade edilirse, 2X 1 + 1 X 2 = 40 olur. İki deği şkenli do ğrusal denklemlerin grafi ğini çizmenin en kolay yolu, çizilecek do ğrunun yatay ve dikey ekseni kesti ği noktaları bulmak ve bu noktaları bir do ğruyla birle ştirmektir. Bunun için önce denklemde X 1 ’e sıfır verilir. X 1 =0 (Ürün I’den hiç üretilmezse) 2(0) + 1 X 2 = 40 buradan, 1 X 2 = 40 ? X 2 = 40 ( Ürün II’den 40 birim üretilir.) E ğer Ürün I’den hiç üretilmez ise, bütün kaynaklar Ürün II’nin üretiminde kullanılacak ve 40 birim üretilebilecektir. X 2 = 40 oldu ğunda denklemin do ğrusu dikey ekseni A(X 1 =0, X 2 =40) noktasında( Şekil 3.3) kesecek demektir. Şimdi de denklemin çizilecek do ğrusunun yatay ekseni kesti ği noktayı bulmak için X 2 ‘ye sıfır verilir. X 2 =0 (Ürün II’den hiç üretilmezse) 2X 1 + 1(0) = 40 buradan, 2 X 1 = 40 ? X 1 = 20 ( Ürün I’den 20 birim üretilir.) E ğer Ürün II’den hiç üretilmez ise, bütün kaynaklar Ürün I’nin üretiminde kullanılacak ve 20 birim üretilebilecektir. X 1 = 20 oldu ğunda denklemin do ğrusu yatay ekseni B(X 1 =20, X 2 =0) noktasında( Şekil 3.3) kesecek demektir. Şekil 3.3: İşgücü kısıtının (2X 1 + X 2 ? 40) grafi ği Uygun alan bu i şgücü kısıtı doğrusunun sol alt tarafına düşmektedir. Uygun alanı belirlemede şüpheye dü şülmesi halinde, do ğrunun iki tarafından birer nokta belirlenir, sol alt taraftan K(10, 10) ve sa ğ 44 üst taraftan L(20, 10), bu noktalardan ( Şekil 3.4) kısıtlayıcı denklemi sa ğlayan noktanın bulundu ğu alan uygun alan olacaktır. K(10, 10) için; 2(10) + 1(10) = 30 30(otuz) değeri, kısıtlayıcının sağ taraf sabiti 40’dan daha küçük bir de ğerdir ve 2X 1 + 1 X 2 ? 40 kısıtını sa ğlamaktadır. Alınan di ğer nokta, L(20, 10) için; 2(20) + 1 (10) = 50 50 (elli) de ğeri kısıtlayıcının sağ taraf sabiti 40’dan büyük bir değerdir ve kısıtlayıcı denklemi sa ğlamaz. Şekil 3.4: İşgücü kısıtının uygun alanının grafi ği • Kapasite kısıtı , 1X 1 + 3 X 2 ? 45 e şitsizli ği e şitlik halinde ifade edilirse; 1X 1 + 3 X 2 = 45 olur. İki deği şkenli do ğrunun grafiğini çizmek için, dikey ve yatay eksenleri kesti ği noktaların bulunması yeterli olacaktır. X 1 =0 (Ürün I’den hiç üretilmezse) 1(0) + 3 X 2 = 45 buradan, 3 X 2 = 45 X 2 = 15 ( Ürün II’den 15 birim üretilir.) X 2 = 15 oldu ğunda denklemin do ğrusu dikey ekseni C(X 1 =0, X 2 =15) noktasında ( Şekil 3.5) kesecektir. X 2 =0 (Ürün I’den hiç üretilmezse) 45 1 X 1 + 3(0) = 45 buradan, X 1 = 45 X 1 = 45 ( Ürün I’den 45 birim üretilir.) X 1 = 45 oldu ğunda denklemin do ğrusu dikey ekseni D(X 1 =45, X 2 =0) noktasında (Şekil 3.5) kesecektir Uygun alan ise do ğrunun alt kısmına dü şmektedir. Şekil 3.5: Kapasite kısıtının uygun alan grafiği • Talep kısıtı , 1X 1 ? 12 e şitsizli ği e şitlik halinde ifade edilirse, X 1 =12 X 1 =12’nin grafi ği çizildi ğinde, yatay eksende E(X 1 =12, X 2 =0) noktasından ( Şekil 3.6.) ba şlayan ve dikey eksene paralel bir do ğru olacaktır. Şekil 3.6: Talep kısıtı uygun alan grafiği 46 Uygun Çözüm Alanının Belirlenmesi Uygun Çözüm Alanının sınırları, kısıtlayıcı doğrusal denklemlerle ifade edilen, çizilen do ğrusal e şitsizliklerin grafi ği ile belirlenir. Karar modelinin tüm kısıtlayıcıları aynı düzlemde(I. Bölge) çizilerek, her bir kısıtın uygun alanları taranırsa, Uygun Çözüm Alanı (UÇA) taranmı ş bölge (Şekil 3.7.) olarak ortaya çıkar. 10 10 20 20 30 30 40 40 0 X 1 X 2 ÜRÜN 1 ÜRÜN II A 1X 1 ? 12 (talep kısıtı) B C D E G H F O 2X 1 + X ? 40 (iş gücü kısıtı) X 1 + 3 X ? 45 (kapasite kısıtı) Uygun Çözüm Alanı (UÇA) Şekil 3.7: Uygun Çözüm Alanının taranmı ş grafiği Şekil 3.7.’de görüldü ğü gibi doğrular bir biri ile (X 1 , X 2 ’nin de ğerleri için) A, B, C, D, E, F, G, H, O köşe noktalarında kesişmektedir. Bu noktalardan A, B,D,F,H noktaları kısıtlayıcı denklemlerin tamamını kar şılayamadı ğı için uygun olmayan noktalardır. Bütün kısıtlayıcı denklemlerin sa ğlandı ğı bölge, taralı alan veya C, G, E, O dörtgeni Uygun Çözüm Alanıdır ( Şekil 3.8.) Şekil 3.8: Uygun Çözüm Alanı grafiği Uygun Çözüm Alanı sınırları içinde(sınırlayan çizgiler dâhil) herhangi bir (X 1 , X 2 ) noktası, karar modelinin bütün kısıtlarını matematiksel olarak sa ğlar. Örneğin I(X 1 =5, X 2 =3) noktası matematiksel olarak bütün kısıtlayıcı denklemleri sa ğlar. Şöyle ki; 47 İşgücü kısıtı, 2X 1 + 1 X 2 ? 40 2(5) + 1(3) ? 40 13 ? 40 Kapasite kısıtı, 1X 1 + 3 X 2 ? 45 1(5) + 3(3) ? 45 1 4 ? 45 Talep kısıtı, X 1 ? 12 5 ? 12 Optimum (En İyi) Çözümün Bulunması Uygun Çözüm Alanı, Şekil 3.8.’de görüleceği gibi dı şbükey (konveks) bir alandır . D o ğrusal programlamada optimum çözüm her zaman, Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarındadır. Örnek karar modelinde optimum çözüm C, G, E, O kö şe noktalarından birisinde olacaktır. Uygun Çözüm Alanı bilindi ğine göre C, G, E, O kö şe noktalarından hangisinde, amaç fonksiyonunun (MaxZ=300X 1 + 250X 2 ) en büyük de ğer aldı ğı belirlenerek, optimum çözüme ula şılır. Bunun için kö şe noktalarının her birinin, (X 1 , X 2 ) değerleri amaç fonksiyonunda yerine konur. Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=300X 1 + 250X 2 O C E G 0 0 0 15 12 0 ? ? MaxZ=300(0) + 250(0)=0 MaxZ=300(0) + 250(15)=3.750 MaxZ=300(12) + 250(0)=3.600 MaxZ=? Kö şe noktaların X 1 ve X 2 de ğerlerini bulmak için, o noktada kesi şen doğru denklemleri çözülür. Matematikten hatırlanaca ğı üzere, iki bilinmeyenli iki denklem çözümü ile X 1 ve X 2 de ğerleri kolayca bulunabilir. G noktasında, kapasite(1X 1 + 3 X 2 ? 45) ve talep (1X 1 ? 12) kısıtlarının doğruları kesi şmektedir. Bu noktada iki denklem aynı de ğeri almaktadır. Bir başka ifade ile G noktasında iki denklem bir birine e şittir. X 1 = 12 X 1 + 3 X 2 = 45 Burada X 1 = 12 oldu ğu açıktır. Bu iki denklemden birincisi (-1) ile çarpılır ve alt alta toplanırsa: -X 1 = -12 X 1 + 3 X 2 = 45 3X 2 = 33 X 2 =11 bulunur. 48 12 10 20 20 30 30 40 40 0 X 1 X 2 ÜRÜN 1 ÜRÜN II C (0,15)›Max Z = 3.750 O G (12,11)›Max Z = 6.350 E (12,0)›Max Z = 3.600 15 Şekil 3.9: Optimum çözüm- G noktası grafiği G noktasının (X 1 =12, X 2 =11) de ğerleri ( Şekil 3.9.) bulunmu ş oldu. Bu noktadaki amaç fonksiyonu de ğerini de ekleyerek, kö şe noktalarındaki en büyük de ğer belirlenir. Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=300X 1 + 250X 2 O(Orijin) C E G 0 0 0 15 12 0 12 11 MaxZ=300(0) + 250(0)=0 MaxZ=300(0) + 250(15)=3.750 MaxZ=300(12) + 250(0)=3.600 MaxZ=300(12) + 250(11)= Amaç fonksiyonunun en büyük de ğeri: 6.350, G(12, 11) köşe noktasında elde edilmi ştir. Buna göre söz konusu üretim probleminde optimum çözüm; X 1 = 12 (Üretilmesi gereken Ürün I miktarı) X 2 = 11 (Üretilmesi gereken Ürün II miktarı) Max Z = 6.350 ’dır. Maksimizasyon problemlerinde, orijine (0,0) en uzak köşe noktalarında en iyi çözüm ara ştırması yapılması, bizleri daha fazla hesaplamadan kurtarır, böylece daha çabuk optimum çözüme ula şılır. Örnek: 3. 1. Örnek 2.1 de modeli kurulan marangoz i şletme üretim modelinin optimum çözümü grafik çözüm tekni ği ara ştırılsın. Max Z = 6X 1 + 8X 2 Kısıtlayıcılar 30X 1 + 20X 2 ? 300 (tahta kısıtı) 5X 1 + 10X 2 ? 110 (i şgücü kısıtı) ve X 1 ,X 2 ? 0 49 Çözüm: Üretim modeli iki de ği şkenli oldu ğu için grafik çözüm tekni ği ile çözülebilir. • Tahta kısıtı, 30X 1 + 20X 2 ? 300 e şitsizli ği e şitlik halinde ifade edilirse, 30X 1 + 20X 2 = 300 olur. İki de ği şkenli do ğrusal denklemlerin grafi ğini çizmek için, çizilecek do ğrunun yatay ve dikey ekseni kesti ği noktalar bulunur. X 1 =0 (Masa hiç üretilmezse) 30(0)+ 20X 2 = 300 X 2 = 15 ( Sandalyeden 15 birim üretilir.) X 2 =0 (Sandalye hiç üretilmezse) 30 X 1 + 20(0) = 300 X 1 = 10 ( Masadan 10 birim üretilir.) Denklemin do ğrusu düşey ekseni A(X 1 =0, X 2 =15) noktasında, yatay ekseni de B(X 1 =10, X 2 =0) noktasında ( Şekil 3.10.) kesecek demektir. • İşgücü kısıtı, 5X 1 + 10X 2 = 110 e şitsizli ği e şitlik halinde ifade edilirse, 5X 1 + 10X 2 = 110 olur. İki de ği şkenli do ğrusal denklemlerin grafi ğini çizmek için çizilecek do ğrunun yatay ve dü şey ekseni kesti ği noktalar bulunur. X 1 =0 (Masa hiç üretilmezse) 5(0)+ 10X 2 = 110 X 2 = 11 ( Sandalyeden 11 birim üretilir.) X 2 =0 (Sandalye hiç üretilmezse) 5X 1 + 10(0) = 110 X 1 = 22 ( Masadan 22 birim üretilir.) Denklemin doğrusu dikey ekseni C(X 1 =0, X 2 =11) noktasında, yatay ekseni de D(X 1 =22, X 2 =0) noktasında ( Şekil 3.10.) kesecek demektir. 30 X 1 + 20 X ? 300 5 X 1 + 10 X ? 110 Şekil 3.10: Uygun çözüm alanı ve grafik çözümü 50 Şekil 3.10.’da görüldüğü gibi do ğrular bir biri ile (X 1 , X 2 ’nin de ğerleri için) A, B, C, D, E, F, kö şe noktalarında kesi şmektedir. Bu noktalardan A ve D kö şe noktaları k ısıtlayıcı denklemlerin tamamını kar şılayamadı ğı için uygun olmayan noktalardır. Kısıtlayıcı koşulların birlikte kar şılandı ğı bölge, taranmı ş veya B ,C ,E, F kö şe noktalarının sınırlandırdı ğı bölgedir. Bu bölge, problemin Uygun Çözüm Alanı (UÇA)’dır ( Şekil 3.10.). Uygun çözüm alanında her noktanın (X 1 , X 2 ) değerleri problem için bir uygun çözümü verir. Optimal çözüm ise, uygun çözüm alanının köşe noktalarının birisindedir. Bunun için kö şe noktalarının her birinin, (X 1 , X 2 ) değerleri amaç fonksiyonunda yerine konur. Amaç maksimizasyon yönünde oldu ğu için orijinden uzak olan B,C,E noktalarına bakmak yeterli olacaktır. Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=6X 1 + 8X 2 B C E 10 0 0 11 ? ? MaxZ=6(10) + 8(0)=60 MaxZ=6(0) + 8(11)=88 MaxZ=? E noktasının koordinat (X 1 ,X 2 ) değerleri: E noktası iki kısıtlayıcı denklem do ğrusunun kesi ştiği noktadır. Bu nedenle, iki bilinmeyenli iki denklem çözülür: 30X 1 + 20X 2 = 300 5X 1 + 10X 2 = 110 İkinci denklemi (-2) ile çarpar ve birinci denklem ile toplarsak; 30X 1 + 20X 2 = 300 -10X 1 - 20X 2 = -220 20 X 1 = 80 ve 4 20 80 X 1 = = olur. X 1 = 4 ? X 2 = 9 olarak bulunur. Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=6X 1 + 8X 2 B C E 10 0 0 11 4 9 MaxZ=6(10) + 8(0)=60 MaxZ=6(0) + 8(11)=88 MaxZ=6(4) + 8(9) = Amaç fonksiyonunun maksimum en büyük de ğeri 96, E noktasında elde edilmektedir. Bu durumda problemin optimum çözüm seti; X 1 = 4 › üretilecek masa miktarı X 2 = 9 › üretilecek sandalye miktarı ve Max Z = 96 › toplam kardır. Örnek 3.2. Yeni bir maksimizasyon modelinin optimum çözümü grafik çözüm tekni ği ara ştırılsın. Max Z = 8X 1 + 11X 2 Kısıtlayıcılar 51 5X 1 + 4X 2 ? 40 (Birinci kısıtlayıcı) -X 1 + 3X 2 ? 12 (İkinci kısıtlayıcı) ve X 1 ,X 2 ? 0 Çözüm: Öncelikle kısıtlayıcıların yatay ve dikey ekseni kesti ği noktalar belirlenir. Bunun için de ği şkenlerden birine sıfır verilerek di ğer de ği şkenin de ğeri hesaplanır. Birinci kısıtlayıcı, 5X 1 + 4X 2 ? 40 e şitlik halinde ifade edilirse, 5X 1 + 4X 2 = 40 olur. X 1 = 0 ? 5(0) + 4X 2 = 40 ? X 2 = 10 Çizilecek do ğrunun dikey ekseni keseceği nokta A(0, 10)’dur ( Şekil 3.11.). X 2 = 0 ? 5X 1 + 4(0) = 40 ? X 1 = 8 Çizilecek do ğrunun yatay ekseni kesece ği nokta B(8, 0)’dır ( Şekil 3.11.). İkinci kısıtlayıcı, -X 1 + 3X 2 ? 12 e şitlik halinde ifade edilirse, -X 1 + 3X 2 = 12 olur. X 1 = 0 ? -1(0) + 3X 2 = 12 ? X 2 = 4 Çizilecek do ğrunun dikey ekseni keseceği nokta C(0, 4)’dur ( Şekil 3.11.). X 2 = 0 ? -1X 1 + 3(0) = 12 ? X 1 = -12 Çizilecek do ğrunun yatay ekseni keseceği nokta D(-12, 0)’dır (Şekil 3.11.). ? ? ? ? ? ? 19 100 , 19 72 E Şekil 3.11: Uygun Çözün Alamı ve grafik çözüm İkinci kısıtlayıcnın grafi ğini çizerken yatay ekseni (X 1 =-12)’de kesmesi ne ğatif de ğer aldı ğı anlamına gelmez. Çünkü çizilen do ğrunun yalnız I. Bölge’deki kısmı ile ilgilenilir. 52 Şekil 3.11’deki Uygun Çözüm Alanında maksimizasyon amacına en uygun kö şe olarak E ve B noktaları görülebilir. Hangisinin olması gerekti ği hakkında kesin bir yargıya varmak bizi hataya düşürebilir. Bunun için önce bu iki noktada (E ve B) karar de ği şkenlerinin (X 1 ,X 2 ) değerleri bulunur. Hangi nokta daha fazla karı veriyorsa, bu nokta en iyi çözümü veren noktadır. Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=8X 1 + 11X 2 B E 8 0 ? ? MaxZ=8(8) + 11(0)=64 MaxZ=? E noktasında iki kısıtlayıcı kesi şmektedir. Bu nedenle bu noktada bu iki kısıtlayıcı birbirine e şit de ğerdedir. 5X 1 + 4X 2 = 40 -X 1 + 3X 2 = 12 İkinci denklemi (+5) ile çarpar ve birinci denklem ile toplarsak; 5X 1 + 4X 2 = 40 -5X 1 + 15X 2 =60 0 +19 X 2 =100 ve X 2 =100/19=5.26 olur. X 2 =100/19 ? X 1 =72/19 olarak bulunur. Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=8X 1 + 11X 2 B E 8 0 72/19 100/19 MaxZ=8(8) + 11(0)=64 MaxZ=8(72/19) + 11(100/19)=1676/19=88,21* Amaç fonksiyonunun maksimum de ğeri (88,21), E noktasında elde edilmektedir. Bu durumda problemin optimum çözüm seti; 789 , 3 19 72 1 ? = X 263 , 5 19 100 X 2 ? = ve Max Z = 88,21’ dir. M İN İM İZASYON MODEL İN İN GRAF İK ÇÖZÜMÜ Grafik çözüm tekni ği ile maksimizasyon problemleri çözülebilece ği gibi, benzer şekilde minimizasyon (en küçükleme) problemleri de çözülebilir. Minimizasyon problemi olarak aşa ğıdaki karar modeli ele alınsın. Min Z = 45X 1 + 12X 2 Kısıtlayıcılar X 1 + X 2 ? 300 (Kısıt-1) 3 X 1 ? 250 (Kısıt-2) v e X 1 , X 2 ? 0 53 Minimizasyonun grafik çözümünde de maksimizasyon probleminde izlenen adımlar geçerlidir. Tekrara düşmemek için burada doğrudan optimum çözümün bulunmasına önem verilecektir. Kısıt-1’in yatay ve dikey ekseni kestiği noktaların bulunması: 1X 1 + 1X 2 = 300 buradan, X 1 =0 ise X 2 =300 A(0, 300) X 2 =0 ise X 1 =300 B(300, 0) Kısıt-2 için ise, 3X 1 + 0X 2 = 250 3X 1 =250 › X 1 =250/3=83,3 Modelin Uygun Çözüm Alanının belirlenmesi için, kısıtların aynı koordinat sisteminde çizimi yapılırsa Şekil 3.12. elde edilir. Şekil 3.12: Problemin Uygun Çözüm Alanı ve grafik çözümü Do ğrusal programlamada karar modelinin optimum çözümü, Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarında olduğuna daha önce de ğinilmişti. Örnekteki uygun çözüm alanı üstten sınırsız olmakla birlikte, amaç minimizasyon oldu ğunda, bunun bir mahsuru yoktur. Çünkü minimizasyonda optimum çözüm, orijine(0,0) en yakın köşe noktalarında yer alır. Şekil 3.12.’ de uygun çözüm alanının köşe noktaları A ve B noktalarıdır. A ve B kö şe noktalarından hangisinde amaç fonksiyonunun (Min Z = 45X 1 + 12X 2 ) minimum oldu ğu belirlenerek optimum çözüme ula şılır. Kö şe noktalarının her birinin (X 1 , X 2 ) de ğerleri amaç fonksiyonunda yerine konur. Kö şe noktalar X 1 X 2 Min Z=45X 1 + 12X 2 A B ? ? 300 0 Min Z=? Min Z=45(300) + 12(0)=13.500 A Noktasında kesişen do ğru denklemleri e şitlenerek, iki bilinmeyenli iki denklem çözülürse; 1X 1 + 1X 2 = 300 3X 1 = 250 › X 1 = 250/3 = 83,33 bulunur. 54 X 1 = 83,33 birinci kısıtlayıcı denklemde yerine konursa, 1(83.33)+ 1X 2 = 300 › X 2 = 300-83,33=216,67 bulunur. A kö şe noktasında (X 1 , X 2 ) değerleri (X 1 =83,33 X 2 =216,67) bulunmuş oldu. Bu noktada amaç fonksiyonunun de ğeri: Min Z = 45(83,33)+ 12(216,67) = 6.350 Kö şe noktalar X 1 X 2 Min Z=45X 1 + 12X 2 A B 83,33 216,67 300 0 Min Z=45(83,33) + 12(216,67)= Min Z=45(300) + 12(0)=13.500 Amaç fonksiyonunun en küçük de ğeri 6.350 A(X 1 =83,33 X 2 =216,67) kö şe noktasında elde edilmi ştir. Buna göre optimum çözüm; X 1 = 83,33 X 2 = 216,67 ve Min Z = 6.350’ dir. Örnek 3.3. Yeni bir minimizasyon probleminin çözümü, grafik çözüm tekni ği ile yapılsın Min Z = 2X 1 + 6X 2 Kısıtlayıcılar 2X 1 + 4X 2 ? 1600 (Kısıt-1) 6X 1 + 2X 2 ? 1800 (Kısıt-2) X 2 ? 350 (Kısıt-3) X 1 ? 50 (Kısıt-4) X 2 ? 100 (Kısıt-5) X 1 + X 2 ? 300 (Kısıt-6) ve X 1 ,X 2 ? 0 Çözüm: Öncelikle kısıtlayıcıların yatay ve dikey ekseni kesti ği noktalar belirlenir. Bunun için de ği şkenlerden birine sıfır verilerek di ğer de ği şkenin de ğeri hesaplanır. Birinci kısıtlayıcı, 2X 1 + 4X 2 = 1600 X 1 = 0 ? X 2 = 400 X 2 = 0 ? X 1 = 800 İkinci kısıtlayıcı, 6X 1 + 2X 2 = 1800 X 1 = 0 ? X 2 = 900 X 2 = 0 ? X 1 = 300 Üçüncü kısıtlayıcı X 2 = 350 Dördüncü kısıtlayıcı X 1 = 50 Be şinci kısıtlayıcı X 2 = 100 Altıncı kısıtlayıcı X 1 + X 2 = 300 X 1 = 0 ? X 2 = 300 X 2 = 0 ? X 1 = 300 55 Şekil 3.13: Uygun Çözüm Alanı ve grafik çözümü Şekil 3.13’deki Uygun Çözüm Alanında minimizasyon amacına en uygun kö şe olarak orijine en yakın köşe olacaktır. Burada E noktası en uygun nokta olarak görülmektedir. E noktasında çözüm de ğerlerinin bulursak; -E noktası için, X 2 = 100 X 1 + X 2 = 300 X 1 =200 olur. E(200 , 100) › Min Z = 2(200) + 6(100) = 1000’ dir. Bu durumda problemin optimum çözüm seti; X 1 = 200 X 2 = 100 ve Min Z = 1000’ dir. E ve F köşe noktalarından hangisinin orijine en yakın nokta oldu ğu konusunda teretdüte düşülmesi halinde her iki noktada da amaç fonksiyonu de ğerine bakılır. Minimum olan optimum çözüm ilan edilir. 56 GRAF İK ÇÖZÜMDE ÖZEL DURUMLAR Buraya kadar genellikle tek optimum çözümü olan do ğrusal programlama problemlerinin grafik çözümü verilmeye çalı şıldı. Bir do ğrusal karar modelinin çözümü, grafik çözüm tekni ği ile araştırılırken bazı özel durumlardan birisiyle kar şıla şılabilir. 1. Uygun çözüm alanı bo ş(uygun çözüm bulunmama), 2. Sınırsız Çözüm(amaç fonksiyonu uygun çözüm alanında sınırsız), 3. Seçenekli(çoklu) optimal çözüm. Şimdi bunlar sırasıyla açıklanmaya çalı şılacaktır. Uygun Çözüm Alanı Boş Karar modelinin kısıtlarının grafi ği çizildi ğinde, uygun çözüm alanı olu şmuyor (bo ş) ise, problemin çözümü yoktur denir. Bu durum izleyen kısıtlayıcılara sahip bir karar modelinde gösterilmi ştir. X 1 + 2X 2 ? 6 2X 1 + X 2 ? 8 X 1 ? 7 ve X 1 , X 2 ? 0 Söz konusu üç kısıtlayıcı aynı koordinat düzleminde grafi ği çizildi ğinde ( Şekil 3. 14.) 2 2 4 4 6 6 8 8 0 X 1 X 2 Şekil 3.14: Uygun çözüm alanı bo ş (Kısıtlayıcıların hepsini birden sa ğlayan bir bölge yok). Uygun çözüm bulunmaması, problemin yapısından kaynaklanabilece ği gibi, modelleme hataları da (bir kısıtlayıcının yönünün ters olması gibi) uygun çözüm alanının boş olmasına neden olabilmektedir. 57 Sınırsız Çözüm Bazı doğrusal programlama modellerinin amaç fonksiyonu de ğeri, uygun çözüm alanı üzerinde istenen yönde sonlu de ğilse, optimum de ğeri bulunamayacağından, sınırsız çözüm vardır denir. Bu durum karar vericiye hiçbir öneri getiremez. Sınırsız çözümün varlı ğı, grafik çözümde, grafik üzerinde kolaylıkla görülebilir. Örnek problem olarak, Max Z = 3X 1 + 5X 2 Kısıtlayıcılar X 1 ? 5 X 2 ? 10 X 1 + 2X 2 ? 10 ve X 1 , X 2 ? 0 Karar modelinin, uygun çözüm alanı Şekil 3.15.’de görülebilir. Şekil 3.15: Amaç fonksiyonu uygun çözüm alanında sınırsız (Uygun çözüm alanının sağdan sınırı yok.) Şekil 3.15.’de görülebilece ği gibi, maksimizasyon amaçlı karar modelinin uygun çözüm alanı sa ğdan sınırlandırılmamı ştır. Bunun nedeni, problemin modelleme a şamasında hata yapmak olabilir. Bu sınırsızlık, X 1 ürününden sonsuz sayıda üretme önermektedir ki, bu uygulamada anlamlı de ğildir. Çünkü hiçbir i şletme sınırsız üretim kaynağına ve sınırsız pazarlama imkanına sahip de ğildir. Grafik çözüm tekni ğinde sınırsız çözüm nasıl anla şılır? Seçenekli Optimal Çözüm Do ğrusal programlama problemleri birden çok optimum çözüme sahip olabilir. Karar modelinin amaç fonksiyonunun optimum değeri, uygun çözüm alanında iki ayrı noktada aynı de ğeri alıyorsa, modelin seçenekli (alternatif) çözümü vardır denir. Bu durum, a şa ğıdaki karar modelinin grafik çözümünde görülebilir. Max Z = 3X 1 + 2X 2 Kısıtlayıcılar 6X 1 + 4X 2 ? 24 X 1 ? 3 ve X 1 , X 2 ? 0 58 Karar modelinin grafi ği çözümü Şekil 3.16.’da verilmi ştir. Şekil 3.16: Seçenekli optimal çözüm grafi ği Uygun çözüm alanının köşe noktaları A, B, C, D ‘dir. Amaç fonksiyonu maksimizasyon oldu ğundan, optimum çözüm orijine (0, 0) uzak noktalarda olacaktır. Bunun için A, B, C’de (X 1 , X 2 )’nin alacağı de ğerleri ara ştırıp, söz konusu noktalarda amaç fonksiyonu de ğerini hesaplamak gerekir. Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=3X 1 + 2X 2 A B C 0 6 3 3/2 3 0 MaxZ=3(0) + 2(6)= MaxZ=3 (3) + 2 (3/2)= MaxZ=3 (3) + 2 (0)= 9 A ve B kö şe noktalarında amaç fonksiyonunun en iyi de ğeri (Max Z=12) aynıdır. Bu durumda karar modelinin seçenekli optimum çözümü vardır. Bu iki noktayı birle ştiren do ğru üzerinde de tüm (X 1 , X 2 ) de ğerleri için, amaç fonksiyonu de ğeri (Max Z=12) optimumdur. Örnek 3.4. Seçenekli optimum çözüm için yeni bir örnek, Max Z = 6X 1 + 2,5X 2 Kısıtlayıcılar 7X 1 + 9X 2 ? 63 12X 1 + 5X 2 ? 60 ve X 1 ,X 2 ? 0 Çözüm: Öncelikle kısıtlayıcıların yatay ve dikey ekseni kesti ği noktalar belirlenir. Bunun için de ği şkenlerden birine sıfır verilerek di ğer de ği şkenin de ğeri hesaplanır. Birinci kısıtlayıcı 7X 1 + 9X 2 = 63 X 1 = 0 ? X 2 = 7 X 2 = 0 ? X 1 = 9 İkinci kısıtlayıcı 12X 1 + 5X 2 = 60 X 1 = 0 ? X 2 = 12 X 2 = 0 ? X 1 = 5 59 Şekil 3.17: Uygun Çözüm Alanında seçenekli optimum çözümü Şekil 3.17.’de ki Uygun Çözüm Alanında maksimizasyon amacına en uygun kö şe noktaları orijinden uzaktaki A, B, ve C noktaları görülmektedir. Şimdi sırasıyla bu noktalarda amaç fonksiyonu de ğerini araştıralım. - A noktasının koordinat (X 1 ,X 2 ) değerleri; A(0 , 7) › Max Z = 6(0) + 2,5(7) = 17,5 - B noktasının koordinat (X 1 ,X 2 ) değerleri; B noktası iki kısıtlayıcı fonksiyon doğrusunun kesi ştiği noktadır. Bu nedenle, iki bilinmeyenli iki denklem çözülür: 7X 1 + 9X 2 = 63 12X 1 + 5X 2 = 60 Birinci denklemi (5) ile ikinci denklemi de (-9) ile çarpar ve taraf tarafa toplarsak; 35X 1 + 45X 2 = 315 -108X 1 - 45X 2 = -540 -73 X 1 = -225 ve 08 , 3 73 225 X 1 = = 60 , 4 73 336 X 2 = = 30 ) 73 336 ( 5 , 2 ) 73 225 ( 6 ) 73 336 ; 73 225 ( = + = ›MaxZ B - C noktasının koordinat (X 1 ,X 2 ) değerleri; C(5 , 0) › Max Z = 6(5) + 2,5(0) = 30 60 Kö şe noktalar X 1 X 2 MaxZ=6X 1 + 2,5X 2 A B C 0 7 225/73 336/73 5 0 MaxZ=6(0) + 2,5(7)=17,5 MaxZ=6(225/73) + 2,5 (336/73)= MaxZ=6 (5) + 2,5 (0)= Böylece amaç fonksiyonu B ve C noktalarında aynı de ğeri ( Z=30) almı ştır. Bu durumda doğrusu üzerindeki tüm noktalarda da aynı de ğeri alacaktır. Yani problemin birden çok alternatif çözümü vardır denir. Şimdi alternatif çözümlerden ikisini yazarsak; Optimum çözüm seti-1; 08 , 3 73 225 X 1 = = 60 , 4 73 336 X 2 = = ve ( 30 ) 73 336 ( 5 , 2 ) 73 225 ( 6 = + = MaxZ Optimum çözüm seti-2; X 1 = 5 X 2 = 0 ve Max Z = 30’ dur. Bir doğrusal programlama problemini matematiksel modelle ifade etmek, en iyi çözümün araştırılmasının yanı s ıra, problemin yapısında veya parametrelerde meydana gelebilecek de ği şiklikleri analiz etme imkanı da sa ğlar. Problemde iki karar de ği şkeni var ise, grafik çözümle tüm olası durumlar görülebilmekte ve analizler yapılabilmektedir. Uygulamada kar şıla şılan problemlerde karar de ği şkeni ve kısıtlayıcı sayısı ikiden daha çoktur. Özellikle de ği şken sayısı ikiden çok oldu ğunda, grafik çözüm etkin bir analiz tekni ği olmaz. De ği şken ve kısıtlayıcı sayısı itibariyle büyük hacimli modellerin çözümünde etkin teknik olan Simpleks Çözüm Tekni ği bir sonraki bölümde ele alınacaktır. 61 Özet Grafik çözümde: amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı denklemler birinci dereceden fonksiyonlar olmalıdır. Kısıtlar koordinatlar düzleminde Uygun Çözüm Alanı olu şturmalıdır. Bir do ğrusal programlama modelinin grafik çözümünde yapılacak i şlemler şöyle sıralanabilir. i. Her bir kısıt e şitlik olarak ele alınıp, kar şı gelen doğrunun grafi ği çizilerek, kısıtı sa ğlayan yönü (bölge) i şaretlenir. Tüm kısıtları aynı anda sa ğlayan bölge taranarak “Uygun Çözüm Alanı (UÇA)” olarak belirlenir. ii. Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarında karar deği şkenlerinin ve amaç fonksiyonunun de ğeri hesaplanarak amacı sa ğlayan kö şe, optimum çözüm noktası olarak ilan edilir. iii. Optimum çözüm seti(amaç fonksiyonu ve karar deği şkenlerinin de ğeri) yazılarak çözüme ula şılmı ş olur. Do ğrusal kısıtlayıcıların veya e şitsizliklerin grafi ğini çizmek için iki adım izlenir. Adım 1: Do ğrusal e şitsizlikler eşitlik halinde ifade edilerek, bunların sınırlarını gösteren, doğruları çizilir. Adım 2: Do ğrunun hangi tarafının e şitsizli ğe uygun dü ştü ğü belirlenir. Uygun Çözüm Alanının sınırları, kısıtlayıcı doğrusal denklemlerle ifade edilen, çizilen doğrusal e şitsizliklerin grafi ği ile belirlenir. Karar modelinin tüm kısıtlayıcıları aynı düzlemde (I. Bölge) çizilerek, her bir kısıtın uygun alanları taranırsa, Uygun Çözüm Alanı (UÇA) taranmı ş bölge olarak ortaya çıkar. Uygun Çözüm Alanı, dı şbükey(konveks) bir alandır. Do ğrusal programlamada optimum çözüm her zaman, Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarındadır. Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarından hangisinde, amaç fonksiyonunun en uygun (maksimizasyonda en büyük, minimizasyonda en küçük) de ğeri aldı ğı belirlenerek, optimum çözüme ula şılır. Bunun için kö şe noktalarının her birinin, (X 1 , X 2 ) de ğerleri amaç fonksiyonunda yerine konur. 62 Kendimizi Sınayalım 1. Grafik çözümde Uygun Çözüm Alanı koordinat sisteminin hangi bölgesinde yer alır? a. I. Bölge b. II. Bölge c. I. ve II. Bölge d. III. ve IV. Bölge e. I. ve IV. Bölge 2. A şa ğıda verilen alanlardan hangisi dı şbükey de ğildir? a. b. c. d. e. 3. A şa ğıda verilen alanlardan hangisi içbükey de ğildir? a. b. c. d. e. 4. Grafik çözümde “köşe nokta teoremi” ne i şe yarar? a. Uygun Çözüm Alanını bulmaya, b. Kısıtlayıcıları sa ğlamaya, c. Uygun çözüm kümesini bulmaya, d. Optimum çözüm kümesini bulmaya, e. Amaç fonksiyonu do ğrusunu bulmaya, 5. 3X 1 + 5X 2 ? 150 X 1 - 2X 2 ? 10 5X 1 + 3X 2 ? 150 ve, X 1 , X 2 ? 0 Kısıtlayıcıların gösterdi ği Uygun Çözüm Alanı kaç nolu bölgedir? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 63 6. 8X 1 + 6 X 2 ? 24 kısıtının grafi ği a şa ğıdaki grafiklerden hangisinde do ğru çizilmi ştir. a. 2 2 4 4 6 6 0 X 1 X 2 8 b. 2 2 4 4 6 6 0 X 1 X 2 c. 2 2 4 4 6 6 0 X 1 X 2 8 d. 2 2 4 4 6 6 0 X 1 X 2 8 e. 2 2 4 4 6 6 0 X 1 X 2 64 7. Verilen do ğrusal programlama probleminin optimum çözümü a şa ğıdakilerden hangisidir? Max Z = X 1 + X 2 Kısıtlayıcılar; 8X 1 + 6X 2 ? 24 4X 1 + 6X 2 ? 12 X 2 ? 1 2X 2 ? 6 ve X 1 , X 2 ? 0. a. X 1 =0 X 2 = 3 Max Z=3 b. X 1 =6/8 X 2 =3 Max Z=15/4 c. X 1 = 9/4 X 2 = 1 Max Z=13/4 d. X 1 =3/ 2 X 2 =1 Max Z=5/2 e. X 1 =0 X 2 = 2 Max Z=2 8. Verilen doğrusal programlama probleminin optimum çözümü a şa ğıdakilerden hangisidir? Max Z = 2800X 1 + 2400X 2 Kısıtlayıcılar 6 X 1 + 4 X 2 ? 150 2 X 1 + 2 X 2 ? 120 4 X 1 + 2 X 2 ? 140 X 2 ? 25 ve X 1 , X 2 ? 0 a. X 1 =10 X 2 = 50 Max Z=148.000 b. X 1 =30 X 2 = 10 Max Z=108.000 c. X 1 = 45/2 X 2 =25 Max Z=123.000 d. X 1 =10 X 2 = 25 Max Z=88.000 e. X 1 = 0 X 2 = 60 Max Z=144.000 9. Verilen do ğrusal programlama probleminin optimum çözümü a şa ğıdakilerden hangisidir? Min Z= 100X 1 + 150X 2 Kısıtlayıcılar; 10X 1 + 4X 2 ? 60 2X 1 + 5X 2 ? 50 2X 1 ? 20 2X 2 ? 30 ve, X 1 , X 2 ? 0 a. X 1 =25 X 2 = 10 Min Z=4.000 b. X 1 = 25 X 2 =0 Min Z=2.500 c. X 1 =5 X 2 = 10 Min Z=2.000 d. X 1 =6 X 2 = 10 Min Z=2.100 e. X 1 =10 X 2 = 6 Min Z=1900 10. Verilen do ğrusal programlama probleminin optimum çözümü a şa ğıdakilerden hangisidir? Min Z= X 1 + 2X 2 Kısıtlayıcılar; X 1 + 3X 2 ? 90 8X 1 + 2X 2 ? 160 3X 1 + 2X 2 ? 120 X 2 ? 70 ve, X 1 , X 2 ? 0 a. X 1 =90 X 2 =0 Min Z=90 b. X 1 = 8 X 2 = 48 Min Z=104 c. X 1 = 80 X 2 = 10 Min Z=100 d. X 1 = 50 X 2 = 24 Min Z=98 e. X 1 = 0 X 2 = 70 Min Z=140 65 Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. a Yanıtınız yanlı ş ise “Kısıtlayıcıların Grafik Çizimi” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. d Yanıtınız yanlı ş ise “Grafik Çözümün Temel Esasları” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. c Yanıtınız yanlı ş ise “Grafik Çözümün Temel Esasları” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. d Yanıtınız yanlı ş ise “Grafik Çözümün Temel Esasları” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. b Yanıtınız yanlı ş ise “Kısıtlayıcıların Grafik Çizimi” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. e Yanıtınız yanlı ş ise “Kısıtlayıcıların Grafik Çizimi” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. b Yanıtınız yanlı ş ise “Maksimizasyon (Enbüyükleme) Modelinin Grafik Çözümü” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. a Yanıtınız yanlı ş ise “Maksimizasyon (Enbüyükleme) Modelinin Grafik Çözümü” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. e Yanıtınız yanlı ş ise “Minimizasyon (En Küçükleme) Modelinin Grafik Çözümü” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. a Yanıtınız yanlı ş ise “Minimizasyon (En Küçükleme) Modelinin Grafik Çözümü” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 Uygun çözüm seçeneklerinin olu şturdu ğu kümeye Uygun Çözüm Alanı denir. Uygun çözüm alanı içinde karar deği şkenlerinin alabilece ği bütün değerler do ğrusal programlama modelinin kısıtlarını sa ğlar Sıra Sizde 2 Uygun Çözüm Alanı dı şbükey (konveks) bir alandır. Dı şbükey alanın temel özelli ği, bu alan içinde iki nokta ele alınıp bir doğru parçasıyla birleştirildi ğinde, birle ştiren do ğru parçasının tamamı alan içinde kalmasıdır. Söz konusu doğru parçasının bir kısmını içine almayan alan ise, içbükey(konkav) kümedir. Sıra Sizde 3 Bir do ğrusal programlama modelinin grafik çözümünde yapılacak işlemler şöyle sıralanabilir Her bir kısıt e şitlik olarak ele alınıp, kar şı gelen doğrunun grafi ği çizilir, kısıtı sa ğlayan yönü(bölge) i şaretlenir. Tüm kısıtları aynı anda sa ğlayan bölge taranarak “Uygun Çözüm Alanı (UÇA)” olarak belirlenir Uygun Çözüm Alanının köşe noktalarında karar de ği şkenleri kullanılır ve amaç fonksiyonunun de ğeri hesaplanır. Amacı sa ğlayan kö şe, optimum çözüm noktası olarak ilan edilir. Optimum çözüm seti (amaç fonksiyonunun ve karar deği şkenlerinin de ğerleri) yazılarak çözüme ulaşılmı ş olur. Sıra Sizde 4 X 1 , ve X 2 de ği şkenlerinin çözüm de ğerlerinin anlamlı olabilmesi için, negatif olmayan de ğer almaları gerekir. Yani X 1 ?0 ve X 2 ?0 koşulları sa ğlanmalıdır. ( İlgili üründen üretilecek ise, X 1 pozitif bir değer alır; üretilmeyecek ise sıfır değerini alacak demektir). ( İlgili üründen üretilecek ise, X 2 pozitif bir de ğer alır; üretilmeyecek ise sıfır değerini alacak demektir). Bunun yanında X 1 ? 0, yatay eksenin(apsis) üst tarafını, X 2 ? 0 dü şey eksenin (ordinat) sağ tarafını i şaret eder ki, bu da koordinat ekseninin I.Bölgesidir Sıra Sizde 5 Bir doğrusal programlama modellerinin amaç fonksiyonunun alabilece ğı de ğerler, uygun çözüm alanında ve istenen yönde sonlu de ğilse, optimum de ğeri bulunamayaca ğından, sınırsız çözüm vardır denir. 66 Yararlanılan Kaynaklar Do ğan, İ., (1995), Yöneylem Araştırması Teknikleri ve İşletme Uygulamaları, Bilim Teknik yayınevi, İstanbul. Kara, İ., 1991, Do ğrusal Programlama, Bilim Teknik Yayınevi, Eski şehir. Öztürk, A. (2011). Yöneylem Araştırması, Geni şletilmi ş 13. baskı, Ekin kitabevi, Bursa. Taha, H. (2000). Operations Research an Introduction, (6.Basımdan Çeviri: Yöneylem Ara ştırması) Çeviren ve Uyarlayan: Ş.Alp Baray ve Şakir Esnaf, Literatür yayınları, İstanbul. Render, B. and Stair, R.M.JR, (1988), Quantitative Analysis for Management, Third Edition, Allyn and Bacon INC. Boston Turban, E. and Meredity, J.R., (1988), Fundamentals of Management Science, Fourth Edition, Business Publications, Inc., Plano Texas. Winston, W.L. (1994). Operations Research, Third Edition, Duxbury Pres, California. -http://ubmail.ubalt.edu/~Opre640 (eri şim tarihi 01.11.2011) -http://www.informs.org/ 68 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Do ğrusal karar problemlerinin çözümünde bir ardı şık sayısal çözümleme tekni ği olan Simpleks Algoritması ile ilgili temel kavramları tanımlayabilecek, Simpleks Algoritması ile çözüm bulabilecek, Simpleks Algoritması ile çözüm sırasında karşıla şılabilir durumları açıklayabilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Simpleks Algoritması Temel ve Temel Olmayan De ği şken Temel Uygun Çözüm, Uç Nokta Ardı ştırma Eniyi Çözüm S ınırsız Çözüm Bo ş Küme Birden Fazla Noktada Eniyi Çözüm İçindekiler Giri ş Temel Uygun Çözüm, Uç Nokta, Analitik Yöntem Simpleks Algoritması’na Olan İhtiyaç ve Bir Örnek Üzerinde Temel Adımları Simpleks Tablo Matris Gösterimi, Enbüyükleme ve Enküçükleme İçin Örnekler 4 69 G İR İŞ Bir doğrusal karar probleminin çözümünde çeşitli yöntemler kullanılabilir. Öte yandan tüm yöntemler, önceki bölümlerde de belirtildi ği gibi, problemin uygun çözüm alanı (e ğer boş küme değilse) içerisindeki uç noktalarını belirleyip içlerinden eniyi çözüm veya çözümleri bulmaya dönüktür. İki de ği şken oldu ğu durumda yaygın kullanılan yöntem, Ünite 3’de ö ğretilen grafik yöntemdir. Daha fazla sayıda de ği şken olduğunda ise analitik yöntem veya bu ünitenin konusu olan Simpleks Algoritması’na ba şvurulabilir. Do ğrusal ba ğımsız vektörlerden olu şan, m denklem ve n de ği şkenin oldu ğu (mxn’lik ve m 0 i.nci ikil de ği şken = 0 • i.nci asıl kısıtın boşluk de ği şkeni = 0 i.nci ikil de ği şken > 0 • j.inci ikil kısıtın boşluk de ği şkeni > 0 j.inci asıl deği şken = 0 • j.inci ikil kısıtın boşluk de ği şkeni = 0 j.inci asıl deği şken > 0 olmak zorundadır. Kısaca, eniyi çözümde asıl veya ikil modelde bir kısıt sıkı de ğilse, di ğer modelde bu kısıta kar şı gelen deği şken sıfıra e şit olmak zorundadır. Ko şullara dikkat edilirse, eniyi çözümde, 130 (i.nci asıl kısıtın boşluk deği şkeni değeri) ×(i.nci ikil de ği şkenin de ğeri) =0 veya (j.inci ikil kısıtın boşluk de ği şkeni de ğeri) ×(j.inci asıl deği şkenin de ğeri) =0 e şitliklerinin sa ğlandı ğı görülür. E ğer asıl ya da ikil problemlerden birinin eniyi çözümünü biliyorsak, di ğer problemin eniyi çözümünü aylaklı ğın tamamlayanı özelliğini kullanarak bulabiliriz. Örnek 6.7. Bahar Mobilya örne ğinde, asıl modelin eniyi çözümü X A =3 ve X B =7, ikil modelin eniyi çözümü y 1 =5, y 2 =0 ve y 3 =20’dir. Asıl ve ikil modellerin eniyi çözümündeki bo şluk deği şkenlerinin de ğerlerini ve hangi kısıtların sıkı kısıt oldu ğunu bulalım. Daha sonra problemin eniyi çözümünde, aylaklı ğın tamamlayanı özelli ğinin sa ğlandı ğını gösterelim. Önce asıl modeldeki bo şluk deği şkenlerini belirleyelim. Tüm kısıtlar “ ?” şeklinde oldu ğundan, her kısıta aylak de ği şken ekleyerek kısıtları e şitlik haline getirebiliriz. S 1 , S 2 ve S 3 aylak deği şkenleri, bo şluk de ği şkenlerine kar şı gelmek üzere asıl model, B A BA BA BA B A xx Enbz ak SSSxx S xx Sx x S xx 70 40 .. 0,,,, 10 1 12 8 14 82 10 4 321 3 2 1 += ? =+ + =++ = ++ şeklinde standart biçime dönü ştürülür. Eniyi çözümde aylak de ği şkenlerin de ğeri; 0 10 ) 7 () 3 ( 10 14 1 12 ) 7 ( 8) 3 ( 14 1 12 8 14 0 82 )7( 10 )3(4 82 10 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = › =++ › =++ = › =++ › =++ = › =++ › =++ S S S xx S S S xx S S S xx BA BA B A olarak elde edilir. S 1 = S 3 =0 olduğundan birinci ve üçüncü kısıtlar sıkı kısıtlardır. Eniyi çözümde, kısıtın sol tarafı ve sa ğ tarafındaki sayısal değerler birbirine eşittir. S 2 >0 oldu ğundan ikinci kısıt sıkı de ğildir. Şimdi, ikil modeldeki bo şluk de ği şkenlerini belirleyip, de ğerlerini hesaplayalım. Tüm kısıtlar “ ?” şeklinde olduğundan, her kısıttan artık deği şken çıkararak kısıtları e şitlik haline getirebiliriz. A 1 , A 2 ve A 3 artık de ği şkenleri, bo şluk de ği şkenlerine karşı gelmek üzere, ikil model, 32 1 321 3 21 3 21 10y 112y 82y Enkv k.a. 0 y ,y ,y 70 y 8y 10y 40 y 14y 4y ++= ? = - ++ = - ++ 21 2 1 ,, AA A A biçimine getirilir. Eniyi çözümde artık de ği şkenlerin de ğeri, olarak hesaplanır. A 1 = A 2 =0 oldu ğundan birinci ve ikinci kısıtlar sıkı kısıtlardır. Yukarıda hesaplanan de ğerlerden hareketle, Tablo 6.9’da aylaklı ğın tamamlayanı özelli ği açıklanmaktadır. Tablodan görüldü ğü gibi, eniyi çözümde bir modeldeki bo şluk deği şkeni ile di ğer modelde o kısıta karşı gelen orijinal deği şkenin çarpımı sıfıra e şit olmaktadır. 131 Tablo 6.9: Bahar Mobilya’nın eniyi çözümü için aylaklı ğın tamamlayanı özelli ğinin gösterilmesi Asıl Modeldeki Kısıt Asılın Eniyi Çözümünde Bo şluk De ği şkenin De ğeri Eniyi Çözümde İkil De ği şkenin De ğeri Aylaklı ğın Tamamlayanı Özelli ği Montaj saati Cilalama saati Depo yeri S 1 = 0 S 2 = 14 S 3 = 0 y 1 = 5 y 2 = 0 y 3 = 20 S 1 . y 1 = 0 S 2 . y 2 = 0 S 3 . y 3 = 0 İkil Modeldeki Kısıt İkilin Eniyi Çözümünde Bo şluk De ği şkenin De ğeri Eniyi Çözümde Asıl De ği şkenin De ğeri Aylaklı ğın Tamamlayanı Özelli ği A ürünü için kaynak de ğeri B ürünü için kaynak de ğeri A 1 = 0 A 2 = 0 x A = 3 x B = 7 A 1 . x A = 0 A 2 . x B = 0 İK İL PROBLEM İN ÇÖZÜMÜNÜN ASIL S İMPLEKS TABLOSUNDAN ELDE ED İLMESİ Asıl modelin son simpleks tablosu veya eniyi çözümünü gösteren simpleks tablosu verilmi şse, ikil de ği şkenlerin de ğerini bu tablodan okumak mümkündür. Son simpleks tablosunda, ba şlangıç temel uygun çözüme kar şı gelen de ği şkenlerin indirgenmi ş maliyetlerinden, ikil de ği şkenlerin de ğeri bulunabilir. İndirgenmi ş maliyetler, simpleks tablosunun amaç fonksiyonu (z) satırı veya sıfır satırı olarak adlandırılan satırında yer alan sayısal de ğerlerdir. Ba şlangıç simpleks tablosunun ve genel olarak bir ardı ştırmadaki simpleks tablosunun şematik gösterimi Tablo 6.10 ve Tablo 6.11’ de görülmektedir. Ba şlangıç tabloda, ba şlangıç temel de ği şkenlerin z satırındaki katsayıları sıfıra e şit olup, temel de ği şkenlere kar şı gelen sütunlardaki katsayıları birim matris olu şturmaktadır. İzleyen ardı ştırmalarda ise, ba şlangıç temel de ği şkenlerin z satırındaki katsayıları sıfırdan küçük, sıfır veya sıfırdan büyük de ğer alabilir. Asıl modelin, son simpleks tablosunun z satırından, ba şlangıç temel de ği şkenlere kar şı gelen indirgenmi ş maliyetler bulunur ve izleyen e şitlik kullanılarak ikil de ği şkenlerin eniyi de ğeri hesaplanır: Eniyi y i = [i. asıl kısıttaki ba şlangıç temel deği şkene kar şı gelen indirgenmi ş maliyet] + [ Ba şlangıç temel deği şkenin orijinal modeldeki amaç fonksiyonu katsayısı] Tablo 6.10: Ba şlangıç simpleks tablosunun şematik gösterimi Temel de ği şkenlerin dı şındaki karar de ği şkenleri Ba şlangıç Temel De ği şkenler … … STS Z satırı Z 1 … 0 0 … 0 Temel de ği şkenler 0 … 1 0 … 0 0 … 0 1 … 0 … … … … … … … … … … 0 0 … 0 0 … 1 B İR İM MATRİS 132 Tablo 6.11: Herhangi bir ardı ştırmadaki simpleks tablosunun şematik gösterimi Temel de ği şkenlerin dı şındaki karar de ği şkenleri Ba şlangıç Temel De ği şkenler … … STS Z satırı Z 1 … … Temel de ği şkenler 0 … TEMEL DEĞİŞKENLERE MODELDE KAR ŞI GELEN MATR İS İN TERS İ 0 … … … … … … … … 0 … E ğer asıl modelin kısıtlarına eklenen aylak ve artık de ği şkenleri biliyorsak, son simpleks tablosundan ikil deği şkenleri bulmak için, izleyen yöntemi de kullanabiliriz. Aylak ve artık de ği şkenlerin amaç fonksiyonu katsayıları sıfır oldu ğundan, asıl modelin, • i. kısıtında aylak deği şken varsa, y i = aylak de ği şkenin son tablodaki indirgenmi ş maliyeti • k. kısıtında artık de ği şken varsa, y k = - (artık de ği şkenin son tablodaki indirgenmi ş maliyeti) olarak elde edilir. Örnek 6.8. Bahar mobilya probleminde, asıl modelin eniyi çözümüne kar şı gelen simpleks tablosu a şa ğıda verilmektedir. Bu tablodan hareketle, ikil de ği şkenleri bulalım. Asıl modelde, S 1 birinci kısıta, S 2 ikinci kısıta ve S 3 üçüncü kısıta eklenen aylak de ği şkenlerdir. Tablodan ikil de ği şkenleri okuyabilmek için, asılın ba şlangıç temel de ği şkenlerini bilmemiz gerekir. Ba şlangıç temel de ği şkenlerin katsayıları, standart biçime dönüştürülmü ş asıl modelde birim matris olu şturmalıdır. Bunun anlamı, her kısıtta sadece o kısıtta bulunan ve katsayısı “1” olan bir karar de ği şkeninin yer almasıdır. Tablo 6.12: Bahar Mobilya probleminin asıl modelin eniyi çözümünü gösteren simpleks tablosu Aylak de ği şkenler, karar modelini standart biçime dönü ştürmek için “ ?” i şaretine sahip kısıtın sol tarafına eklenen ve amaç fonksiyonundaki katsayısı “0” olan de ği şkenlerdir. Herhangi bir kısıta bir aylak de ği şken ekledi ğimizde, bu deği şken sadece o kısıtta yer alır ve katsayısı da “1” olur. Asıl modelimizin üç kısıtı bulunmakta olup, tüm kısıtlara aylak de ği şken eklemi ştir. Bu deği şkenler aynı zamanda ba şlangıç temel de ği şkenlerdir. Bu durumda eniyi çözüme eri şilen son simpleks tablosunda bu de ği şkenlerin Z satırındaki katsayıları (indirgenmi ş maliyetleri) bize ikil de ği şkenlerin de ğerini verecektir. Tabloda bu de ği şkenlerin altındaki katsayıların olduğu kısım koyu renkli olarak görülmektedir. 133 Asıl modelde her kısıta bir ikil de ği şken kar şı geldi ğini hatırlayalım. Bu ikil de ği şkenleri de y 1 , y 2 ve y 3 olarak adlandıralım. İkil deği şkenlerin eniyi de ğerleri, y 1 = [S 1 ’e kar şı gelen indirgenmi ş maliyet] + [S 1 ’in amaç fonksiyonu katsayısı] = 5 + 0 = 5 y 2 = [S 2 ’ye kar şı gelen indirgenmi ş maliyet] + [S 2 ’nin amaç fonksiyonu katsayısı] = 0 + 0 = 0 y 3 = [S 3 ’e kar şı gelen indirgenmi ş maliyet] + [S 3 ’ün amaç fonksiyonu katsayısı] =20 + 0 = 20 olarak elde edilir. Kaynakların birim de ğerleri sırasıyla 5, 0 ve 20’dir. İK İL PROBLEMİ KULLANARAK ASIL PROBLEM İN ÇÖZÜLMES İ Bazı durumlarda bir do ğrusal programlama probleminin asıl modelini çözmek yerine ikil modelini çözmek, işlem yükü açısından daha kolay olabilir. E ğer problemin asıl modelini çözmek için simpleks ardı ştırmalarını uygulamak gerekirken, ikil modelin çözümünü grafik yöntemle bulabileceksek, hesaplama kolaylı ğı açısından ikil modelin çözümü ile u ğra şmak bize zaman kazandıracaktır. Daha sonra asıl - ikil modellerin çözümleri arasındaki ili şkileri veren ikillik teoremi ve aylaklı ğın tamamlayanı özelliklerini kullanarak asıl modelin çözümünü bulabiliriz. Örnek 6.9. A şa ğıda verilen do ğrusal programlama modelinin eniyi de ğerini bulalım. 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 3 2 5 3 2 . . 0 , , , , 3 3 2 4 3 2 x x x x x ENKZ a k x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = ? ? + + + - ? + + + + 2 Asıl model 2 kısıtlı fakat 5 deği şkenli oldu ğundan, modeli çözebilmek için Simpleks algoritmasını kullanmamız gerekir. Simpleks algoritmasını uygularken, modelin standart biçimde olması gerekti ğinden her iki kısıta ekleyece ğimiz artık de ği şkenlerle model 7 de ği şkenli hale gelecektir. Asıl modeldeki her kısıt için ikilde bir de ği şken tanımlandı ğını hatırlarsak, ikil modelin 2 de ği şkenli bir do ğrusal programlama modeli olaca ğı ortaya çıkar. İki de ği şkenli modelleri ise, grafik yöntemle çözebiliyoruz. Bu durumda, asıl model yerine ikil modeli olu şturup çözmeyi tercih edebiliriz. İkil model 2 de ği şken ve 5 kısıta sahip olacaktır. Asılın kanonik biçimde verilmi ş olması, ikil modelin de a şa ğıdaki gibi kolaylıkla oluşturulmasını sa ğlayacaktır. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 4 . . 0 , 3 3 2 5 3 2 3 2 2 y y ENBV a k y y y y y y y y y y y y + = ? ? + ? + ? + ? - ? + 2 Grafik yöntemi kullanarak, 5 = V ENB ve 5 3 , 5 4 2 1 = = y y 134 olarak bulunur. Grafik yöntemle çözüm Şekil 6.3’te görülmektedir. Şekildeki yuvarlak içerisindeki numaralar, sırasıyla model kısıtlarına kar şı gelmektedir. İkillik teoremine göre, bir modelin eniyi çözümü var ve amaç fonksiyonu değeri sınırlı ise, di ğer modelin de eniyi çözümü olup her iki modelin eniyi de ğerleri birbirine e şittir. Bu durumda, asıl modelin eniyi de ğeri, ENKZ=ENKV e şitl ğinden, ENKZ=5 olarak elde edilir. Şekil 6.3: Örnek 3’teki ikil modelin grafik yöntemle en iyi de ğerinin bulunması Örnek 9’daki asıl modelin eniyi çözümünü, aylaklı ğın tamamlayanı özelli ğini kullanarak bulunuz. GÖLGE F İYATLAR Do ğrusal programlama modellerinde, kaynaklardaki de ği şimlerin problemin eniyi değerinde ne kadar bir farklılı ğa sebep olaca ğının belirlenmesi, yöneticiler için önemlidir. Fayda - maliyet analizi yapmakta kullanılan gölge fiyatlar, herhangi bir üretim kayna ğının miktarının bir birim arttırılması veya azaltılması durumunda amaç fonksiyonu de ğerinde meydana gelecek artı ş veya azalı ş olarak tanımlanır. İkil deği şkenlerin, asıl modelin kısıtlarına kar şı geldi ğini ve kaynakların birim de ğerlerini gösterdi ğini biliyoruz. Asılın i. kısıtına kar şı gelen ikil de ği şkeni y i olarak adlandırdı ğımızda, y i , i. kısıtla ifade edilen kayna ğın 1 biriminin de ğerini ya da fiyatını vermektedir. Bahar Mobilya örne ğinde ikil modelin eniyi çözümünün y 1 =5, y 2 =5 ve y 3 =20 olup eniyi değerin 610 olarak elde edildi ğini hatırlayalım. Eniyi de ğerin hesaplandı ğı amaç fonksiyonu, 3 2 1 10 112 82 y y y Enkv + + = 135 şeklinde ifade edilmi şti. Varsayalım ki birinci kayna ğımız olan montaj saatini 1 saat daha arttırmak istiyoruz. Bu durumda, kapasitesi 82 saat olan kaynağın de ğeri 83 olarak de ği şir ve yeni amaç fonksiyonu, 3 2 1 10 112 83 y y y Enkv + + = olarak gösterilir. Eski ve yeni amaç fonksiyonu de ğeri arasındaki de ği şim miktarı ise, [] [] 1 3 2 1 3 2 1 10 112 82 10 112 83 y y y y y y y = + + - + + kadar olacaktır. Asıl ve ikil modellerin eniyi de ğerlerinin birbirine e şit olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, eniyi çözüme eri şildi ğinde, i. kaynaktaki birim farklıla şma ikil modelin amaç fonksiyonunda y i kadar deği şime neden olurken, aynı de ği şim, asıl modelin amaç fonksiyonunun eniyi çözüme kar şı gelen de ğerinde de görülecektir. Bu deği şim, kaynak miktarındaki farklıla şma sonucunda eniyi çözümde temelde yer alan de ği şkenlerin aynı kalması yani uygunluk ko şullarının bozulmaması varsayımı altında geçerlidir. Yukarıdaki açıklamalara göre, ikil modelin eniyi çözümünde yer alan y i , i. kaynakta bir birim artı ş yapıldı ğında uygunluk ko şulları bozulmuyorsa, asıl modelin amaç fonksiyonunun eniyi de ğerinin kaynaktaki bir birim artı ş kar şısındaki de ği şimini vermektedir. Ba şlangıçtaki gölge fiyat tanımı hatırlanırsa, asıl modelin i. kısıtına kar şı gelen ikil de ği şkenin aynı zamanda i. kayna ğın gölge fiyatı olduğu görülür. Özetle, asıl modeldeki i. kısıtın gölge fiyatı, e ğer kayna ğı 1 birim arttırırsak, uygunluk ko şullarının korunması varsayımı altında, amaç fonksiyonu de ğerinde meydana gelecek de ği şim miktarını vermektedir. Buna göre, i. kaynaktaki bir birim artı ş, amaç fonksiyonunun karşı gelen de ğerinde y i kadar bir artı şa neden oldu ğundan, karar vericinin bu kayna ğın bir birim artı şı için ödemeye hazır olacağı fiyat en fazla y i kadar olmalıdır. Gölge fiyat amaç fonksiyonundaki deği şimi veriyorsa, bir asıl problemin i. kısıtının sağ taraf sabitindeki ? i kadar deği şimin, asıl modelin amaç fonksiyonunda yapacağı farklılı ğı gölge fiyatlar yardımıyla, Yeni z de ğeri = Eski z de ğeri + ? i . (i. kısıtın gölge fiyatı) e şitli ği ile tanımlayabiliriz. ? i , i. kısıtın sağ taraf sabitinin yeni de ğeri ile eski de ğeri arasındaki farktır. E ğer mevcut kaynak miktarında azalma olursa ? i <0, e ğer mevcut miktardan artı ş olursa ? i > 0 olacaktır. Gölge fiyatlar, negatif işaretli, pozitif işaretli veya sıfıra e şit olabilir. Aylaklı ğın tamamlayanı özelliğine göre, asıl modelin eniyi çözümünde sıkı olmayan kısıtlarla ili şkili ikil deği şkenlerin de ğeri sıfıra eşit olmak zorundadır. İkil deği şkenler gölge fiyatlara kar şı geldi ğinden, sıkı kısıtların gölge fiyatlarının sıfırdan farklı olduğu, sıkı olmayan kısıtların gölge fiyatlarının sıfıra e şit oldu ğunu söyleyebiliriz. Bu durumu kavramsal olarak açıklayalım. Sıkı olmayan kısıttaki kaynaktan elimizde fazla miktarda vardır. Elimizde zaten olan bir kayna ğı arttırmak, eniyi de ğeri arttırmayacaktır. Ekonomik olarak, gölge fiyatı sıfır olan böyle kaynaklar “serbest mal” olarak adlandırılır. Gölge fiyatların sıfır olması, ilgili kaynaklardan bolluk ifadesidir. Dolayısı ile birim ba şına de ğeri sıfırdır. Diğer yandan, sıkı kısıtlar kıt kaynaklara i şaret eder. Bu kaynaklardan elimizde kullanacak miktar kalmamı ştır. Böyle kaynakların sıfırdan farklı bir gölge fiyatı vardır. Asıl problemin ikil çözümü, ta şıdı ğı ekonomik anlam nedeniyle oldukça önemlidir. Asıl problem bir üretim olayına dair çe şitli kısıtlar altında enbüyükleme sorunu iken, ikil deği şkenler karar vericiye sa ğlanabilecek kaynakların de ğerine ili şkin bilgi vermektedir. İkil deği şkenlerin eniyi değerleri olarak adlandırılan gölge fiyatların hesaplanması, karar vericiye kazancının ne kadarının her bir girdiden kaynaklandı ğını belirlemesi konusunda yardımcı olacaktır. Yöneticiler, ek kaynak kullanımı ile üretim ve yatırım ile ilgili kararlarını, gölge fiyat kavramından yararlanarak verebilir. 136 Örnek 6.10. Bahar Mobilya probleminde her bir kaynağın gölge fiyatını bulunuz. Kaynaklardaki 1 birim artı ş veya azalma için, uygunluk ko şullarının de ği şmedi ğini varsayarak, gölge fiyatların ne anlama geldi ğini açıklayınız. İkil deği şkenlerin eniyi değerleri, kaynakların gölge fiyatlarını vermektedir. Her kısıta kar şı gelen kaynaklar sırasıyla montaj saati, cilalama saati ve depo yer alanı olup, ikil deği şkenlerin eniyi değeri y 1 =5, y 2 =0 ve y 3 =20’dir. Gölge fiyatların ifade etti ği anlamlar, izleyen şekilde açıklanabilir: • Montaj süresinin gölge fiyatı 5’tir. Kullanılabilir montaj süresini 1 saat arttırmak eniyi de ğerde y 1 kadar yani 5 artı ş sa ğlayacaktır. Bu durumda, i şletme yöneticisi montaj süresini 1 saat arttırmak için en fazla 5 harcamaya razı olacaktır. E ğer yönetici, eniyi çözüme eri şildi ğinde mevcut montaj süresini 1 saat daha az kullanırsa 5 daha az kâr elde edecektir. • Cilalama süresinin gölge fiyatı sıfırdır. Cilalamaya ayrılan sürenin 1 saat daha arttırılması eniyi de ğerde (karda) bir de ği şim yaratmayacaktır. Benzer şekilde cilalama süresini 1 saat azaltmakta eniyi değeri deği ştirmeyecektir. Yani karda bir farklılık yaratmayacaktır. Eniyi çözüme eri şildi ğinde, kullanılmayan cilalama saati bulunmaktadır. Buna atıl kapasite olarak bakılabilir. Kullanabilece ğimiz fakat kullanmadı ğımızdan atıl kapasite olarak duran bir kayna ğın gölge fiyatı daima sıfır olacaktır. • Depo yer alanının gölge fiyatı 20’dir. Bunun anlamı depo yer alanını 1 birim (1 m 2 ) arttırırsak, eniyi değerde (enbüyük kar) 20 kadar artı ş, depo yer alanını 1 m 2 azaltırsak, karımızda 20 kadar azalma meydana gelece ğidir. Bir di ğer deyi şle, işletme yöneticisi depo yer alanını 1 m 2 arttırmak için en fazla 20 harcamaya razı olacaktır. Bahar Mobilya problemi için, Tablo 6.12’de asıl modelin eniyi çözümünü gösteren simpleks tablosunu ve Tablo 6.13’de verilen duyarlılık analizi sonuçlarını göz önüne alarak, izleyen durumların her birini birbirinden ba ğımsız olarak ele alıp, enbüyük kardaki de ği şim miktarını hesaplayınız. a. Montaj işi için kullanılabilir sürenin 75 saate dü şürülmesi. b. Cilalama i şi için mevcut kapasitenin 150 saate çıkarılması. c. Depo yer alanının 9 m 2 ’ye düşürülmesi. d. Depo yer alanının 12m 2 ’ye çıkarılması. Tablo 6.13: Kısıtların sa ğ taraf sabitlerindeki de ği şime yönelik duyarlılık analizi sonuçları Asıl kısıt Mevcut durumdaki kaynak miktarı Mevcut temelin korunduğu kaynak miktarları Gölge fiyat En az En fazla Montaj saati 82 saat 68 100 5 Cilalama saati 112 saat 98 ? 0 Depo yer alanı 10 m 2 8.20 10.78 20 137 Özet Her doğrusal karar probleminin, gerçekte “asıl” ve “ikil” olarak adlandırılan, birbiriyle yakından ili şkili iki ayrı modeli vardır. Asıl problem veya asıl model, ilgilenilen ve eniyi çözümünü aradı ğımız problemdir. Do ğrusal programlama problemleri ile ilgili çözüm teknikleri, asıl modellerin çözümü üzerine yo ğunlaşmı ştır. İkil model ise, asıl modelin parametrelerini kullanarak olu şturulan ve kar şıt yönde amaç fonksiyonuna sahip olan diğer modeldir. Asıl problem genellikle, kaynak kısıtları altında, enbüyük kazançlı ürün imal etme ya da satma problemi iken, ikil problem, asıl problemin karşıtı olarak, kâr kısıtları altında, enküçük maliyetli kaynak satın alma problemi olarak ortaya çıkmaktadır. Asıl ve ikil problemlerin çözümleri arasındaki ili şkiler üç ana özelli ğe ba ğlı olarak açıklanabilmektedir. Bunlar, her iki problemin uygun çözümleri arasındaki ili şkiyi tanımlayan “zayıf ikillik özelli ği”, her iki modelin de eniyi de ğerlerinin e şit oldu ğunu belirten “güçlü ikillik özelliği” ve eniyi çözümleri ilişkilendiren “aylaklı ğın tamamlayanı özelli ği” olarak adlandırılmaktadır. Asıl modelin son simpleks tablosu veya eniyi çözümünü gösteren simpleks tablosu verilmi şse, ikil deği şkenlerin de ğerini bu tablodan okumak mümkündür. Son simpleks tablosunda, ba şlangıç temel uygun çözüme kar şı gelen de ği şkenlerin indirgenmi ş maliyetlerinden, ikil de ği şkenlerin de ğeri bulunabilmektedir. Bazı durumlarda bir doğrusal programlama probleminin asıl modelini çözmek yerine ikil modelini çözmek, i şlem yükü açısından daha kolay olabilir. İkilli ğin doğrusal programlamanın en önemli konularından birisi olmasının ba şlıca sebebi ise, ikil modelin, asıl problemle ilgili önemli ekonomik açıklamalar ve yorum yapma olana ğı sunmasıdır. Gölge fiyat olarak da adlandırılan ikil de ği şkenler, kaynakların birim de ğerlerini vermektedir. Gölge fiyatların hesaplanması, karar vericiye kazancının ne kadarının her bir girdiden kaynaklandı ğını belirlemesi konusunda yardımcı olmaktadır. 138 Kendimizi Sınayalım 1. 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 3 1 2 0 , , 3 2 1 x x x Enbz x x x x x x x x x + + = ? ? + ? + ? + k.a. Yukarıda görülen doğrusal karar modelinin ikili a şa ğıdakilerden hangisidir? a. 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 3 1 2 0 , , 1 1 2 y y y Enbv y y y y y y y y y + + = ? ? + ? + ? + b. 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 0 , , 1 1 2 y y y Enkv y y y y y y y y y + + = ? ? + ? + ? + c. 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 3 1 2 0 , , 1 1 2 y y y Enkv y y y y y y y y y + + = ? ? + ? + ? + d. 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 0 , , 1 1 2 y y y Enkv y y y y y y y y y + + = ? ? + ? + ? + e. 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 3 1 3 2 0 , , 1 1 2 y y y Enbv y y y y y y y y y + + = ? ? + ? + ? + 2. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 0 , 3 3 2 6 3 4 x x Enbz x x x x x x x x - - = ? = + ? + ? + k.a. 3 3 Yukarıda görülen doğrusal karar modelinin ikili a şa ğıdakilerden hangisidir? a. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 6 . . , , 1 3 2 3 4 3 4 y y y Enkv a k y y y y y y y y y + + = ? - ? + + - ? + + 0 b. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 6 . . , , 1 3 2 3 4 3 4 y y y Enbv a k y y y y y y y y y + + = ? - = + + - ? + + 0 c. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 6 . . , 0 , 0 1 3 2 3 4 3 4 y y y Enkv a k serbest y y y y y y y y y + + = ? ? - ? + + - ? + + d. 2 1 2 1 2 1 2 1 3 6 . . 0 , 0 1 2 3 4 4 y y Enkv a k y y y y y y + = ? ? - ? + - ? + e. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 6 . . , 0 , 0 1 3 2 3 4 3 4 y y y Enbv a k serbest y y y y y y y y y + + = ? ? ? + + ? + + 139 3. A şa ğıdaki ifadelerden hangisi yanlı ştır? a. Asıl problem karın enbüyüklenmesi ise, ikil de ği şkenler kaynakların kapasitelerini verir. b. Asıl modeldeki i. kısıta, i. ikil deği şken kar şı gelir. c. İkil modeldeki j. kısıt, asıl modelin j. karar de ği şkeni ile ili şkilidir. d. Kanonik biçimde yazılmı ş bir asıl problemde, ikil deği şkenler negatif de ğer alamaz. e. Asıl problemde amaç enbüyükleme ise, ikil problemde amaç enküçüklemedir. 4. 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 . . , 2 1 4 y y Enkv a k y y y y y y + - = ? ? + ? + - 0 Yukarıda bir doğrusal programlama probleminin ikil modeli verilmiştir. Asıl ve ikil modellerin çözümleri hakkında aşa ğıdakilerden hangisi söylenebilir? a. Her iki modelin de eniyi çözümü vardır. b. Her iki modelin de uygun çözümü yoktur. c. Asıl modelin eniyi çözümü vardır, ikil modelin çözümü sınırsız de ğerdedir. d. İkil modelin eniyi çözümü vardır, asıl modelin uygun çözümü yoktur. e. İkil modelin sınırsız değerde çözümü vardır, asıl modelin uygun bir çözümü yoktur. 5. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 7 2 0 10 2 3 3 10 2 x x x Enbz k.a. ,x ,x x x x x x x x + + = ? ? + + ? + + Yukarıda bir doğrusal programlama probleminin asıl modeli verilmiştir. İkil modelin uygun bir çözümünde, ikil de ği şkenlerin y 1 =0 ve y 2 = 5/2 de ğerlerini aldı ğı bilinmektedir. Asıl modelin eniyi değeri ile ilgili a şa ğıdakilerden hangisi doğrudur? a. Enbz ? 50 b. Enbz ? 25 c. Enbz ? 35 d. Enbz > 25 e. Enbz =35 6. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 5 0 7 2 6 2 x x x Enbz k.a. ,x ,x x x x x x x x + + = ? ? + + ? + + Yukarıda asıl modeli verilen bir do ğrusal programlama probleminde, S 1 ve S 2 , modelin e şitlik halindeki gösteriminde kısıtlara eklenen aylak de ği şkenler olsun. İkil deği şkenlerin eniyi de ğerlerinin y 1 =7/3 ve y 2 = 1/3 oldu ğu biliniyorsa, eniyi çözümde a şa ğıdakilerden hangisi sa ğlanır? a. S 1 > 0 ve S 2 = 0 b. S 1 = 0 ve S 2 > 0 c. S 1 = 0 ve S 2 = 0 d. S 1 < 0 ve S 2 < 0 e. S 1 < 0 ve S 2 = 0 140 7. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 0 , 50 2 40 2 x x Enbz x x x x x x + = ? ? + ? + k.a. Z X 1 X 2 S 1 S 2 STS Z 1 0 0 1/3 4/3 80 X 1 0 1 0 -1/3 2/3 20 X 2 0 0 1 2/3 -1/3 10 Yukarıda bir do ğrusal karar modeli ve modelin eniyi çözümünü veren simpleks tablosu görülmektedir. İkil deği şkenlerin de ğeri a şa ğıdakilerden hangisidir? a. (20 , 10) b. (-1/3, 2/3) c. (2/3, -1/3) d. (1/3, 4/3, 2/3) e. (1/3, 4/3) 8. 3 2 1 0 3 2 1 3 2 1 5 4 10 0 , , 50 3 7 5 x x x x Enk x x x x x x + + = ? ? + - k.a. Yukarıda verilen do ğrusal karar modelinin eniyi de ğeri, a şa ğıdakilerden hangisidir? a. 100 b. 3 250 c. 7 200 d. 150 e. 235 9. Kâr enbüyükleme amaçlı ve üç kısıtlı bir doğrusal karar modelinin eniyi de ğeri “50000” olarak elde edilmi ştir. Eniyi çözümde kaynakların gölge fiyatları s ırasıyla, 0, 20 ve 15’tir. İkinci kısıtın kaynak miktarının 750 saat oldu ğunu ve yapılan duyarlılık analizine göre ikinci kısıtın kaynak miktarının 600 ile 850 arasında kalması durumunda eldeki temelin korunaca ğını varsayın. E ğer ikinci kayna ğın miktarı 800 saate çıkarılırsa, elde edilecek enbüyük kâr de ğeri a şa ğıdakilerden hangisi olur? a. 51000 b. 50000 c. 50500 d. 52000 e. 55000 10. Enbüyükleme amaçlı ve dört kısıtlı bir doğrusal karar modelinin, eniyi de ğeri 1000, kısıtlara kar şı gelen ikil de ği şkenlerin eniyi de ğerleri de y 1 = ?400, y 2 = 0, y 3 = 200 ve y 4 = 16 olarak bulunmuştur. Birinci kısıtın sağ taraf sabitinin de ğeri mevcut durumda 3.5 iken, uygunluk ko şullarının korundu ğu varsayımı ile 3.55 olması durumunda eniyi de ğer ne olur? a. 1000 b. 1020 c. 980 d. 1400 e. 1100 141 Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. b Yanıtınız yanlı ş ise “Do ğrusal Karar Modelinin İkili” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. c Yanıtınız yanlı ş ise “Doğrusal Karar Modelinin İkili” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. a Yanıtınız yanlı ş ise “ İkil De ği şkenlerin Ekonomik Anlamı” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. e Yanıtınız yanlı ş ise “Asıl ve İkil Modellerin Çözümleri Arasındaki İlişkiler” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. b Yanıtınız yanlı ş ise “Asıl ve İkil Modellerin Çözümleri Arasındaki İli şkiler” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. c Yanıtınız yanlı ş ise “Asıl ve İkil Modellerin Çözümleri Arasındaki İli şkiler” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. e Yanıtınız yanlı ş ise “Asıl Simpleks Tablosundan İkil Çözümün Elde Edilmesi” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. b Yanıtınız yanlı ş ise “ İkil Modeli Kullanarak Asıl Modelin Çözülmesi” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. a Yanıtınız yanlı ş ise “Gölge Fiyatlar” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. c Yanıtınız yanlı ş ise “Gölge Fiyatlar” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 İkil deği şkenlere y 1 ve y 2 ise, ikil model: 2 1 2 1 2 1 2 1 7 4 . . 0 , 8 2 6 5 3 y y Enbv a k y y y y y y + = ? ? + ? + olarak elde edilir. Daha sonra yukarıdaki model asıl model olarak ele alınıp ikili yazıldı ğında, ba şlangıçtaki asıl modelin aynısının elde edildi ği görülür. Sıra Sizde 2 a. Asıl modele kar şı gelen ikil model 2 1 2 1 2 1 2 1 2y -4y Enkv k.a. 0 y , y 1 y - y 2 y y - + = ? ? ? + Asıl modelin grafik yöntemle çözümü 142 İkil modelin grafik yöntemle çözümü Sonuç olarak, hem asıl hem ikil modelin uygun bir çözümü yoktur. (Tablodaki 4. durum). b. Asıl modele kar şı gelen ikil model 2 1 2 1 2 1 2 1 2y -4y Enkv k.a. 0 y , y 1 y y - 2 y y - + = ? ? + ? + Asıl modelin grafik yöntemle çözümü İkil modelin grafik yöntemle çözümü Asıl modelin uygun çözümü yokken, ikil modelin amaç fonksiyonu sınırsız de ğerdedir. (Tablodaki 3. durum). c. Asıl modele kar şı gelen ikil model Asıl modelin grafik yöntemle çözümü Görüldü ğü gibi asıl modelin eniyi çözümü vardır. Bu durumda ikil modelin de eniyi çözümü olduğunu ve eniyi de ğerlerinin birbirine e şit olduğunu doğrudan söyleyebiliriz. (Tablodaki 1. durum). 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 . . 0 , 1 2 y y Enkv a k y y y y y y + = ? ? - ? + 143 d. Asıl modelin grafik yöntemle çözümü Asıl modelin amaç fonksiyonu sınırsız de ğerdedir. Bu durumda, ikil modelin uygun çözümünün olmadı ğını do ğrudan söyleyebiliriz. (Tablodaki 2. durum). Sıra Sizde 3 Öncelikle aylak ve artık de ği şkenleri ekleyerek, her iki modeli de standart biçime dönü ştürelim. Standart biçime dönü ştürülmü ş asıl model (x 6 ve x 7 artık de ği şkenler) 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 7 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 3 2 5 3 2 . . 0 , , , , 3 3 2 4 3 2 x x x x x ENKZ a k x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + = ? = - + + + - = - + + + + 2 Standart biçime dönü ştürülmü ş ikil model (y 3 , y 4 , y 5 , y 6 ve y 7 artık de ği şkenler) 2 1 2 1 7 2 1 6 2 1 5 2 1 4 2 1 3 2 1 3 4 . . 0 , 3 3 2 5 3 2 3 2 2 y y ENBV a k y y y y y y y y y y y y y y y y y + = ? = + + = + + = + + = + - = + + 2 İkil modelde, eniyi çözüm değerlerini yerine koyarak, artık de ği şkenlerin de ğerini bulalım. 0 3 5 3 5 4 3 5 3 2 5 3 5 4 5 7 5 5 3 3 5 4 2 5 17 3 5 3 2 5 4 0 2 5 3 2 5 4 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 = › = + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = › = + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = › = + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = › = + ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? = › = + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? y y y y y y y y y y Aylaklı ğın tamamlayanı özelli ğine göre, eniyi çözümde izleyen tabloda görülen e şitlikler sa ğlanmak zorundadır: Aylaklı ğın Tamamlayanı Özelli ği Sonuç x 6 . y 1 = 0 x 7 . y 2 = 0 x 6 . (4/5) = 0 x 6 = 0 x 7. (3/5) = 0 x 7 = 0 Aylaklı ğın Tamamlayanı Özelliği Sonuç x 1 . y 3 = 0 x 2 . y 4 = 0 x 3 . y 5 = 0 x 4 . y 6 = 0 x 5 . y 7 = 0 x 1 . (0) = 0 x 1 > 0 x 2 . (17/5) = 0 x 2 = 0 x 3 . (7/5) = 0 x 3 = 0 x 4 . (3/5) = 0 x 4 = 0 x 5 . (0) = 0 x 5 > 0 Tablonun en sa ğındaki sütunda yer alan de ğerlere göre standart biçimdeki asıl modeli tekrar olu şturursak, a şa ğıda görüldü ğü gibi 2 bilinmeyenli 2 kısıtlı bir do ğrusal denklem sistemi kar şımıza çıkar. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 . . 0 , 1 2 y y Enkv a k y y y y y y + = ? ? - - ? + 144 3 2 4 3 5 1 5 1 = + = + x x x x Bu denklem sistemini çözdüğümüzde, x 1 =1 ve x 5 =1 olarak elde edilir. Sonuç olarak, asıl modelin eniyi çözümü, x 1 =1, x 2 =0, x 3 =0, x 4 =0 ve x 5 =1 ve eniyi değeri 5 olarak elde edilir. Sıra Sizde 4 a. Kaynaklardaki de ği şimin, amaç fonksiyonu de ğerinde yapaca ğı farklıla şmayı bulabilmek için, kayna ğın gölge fiyatını kullanmamız gerekmektedir. Karar modelinin çözümü ile hesaplanan gölge fiyatları ise, uygunluk ko şulları korunduğu sürece geçerlidir. Öncelikle kaynaktaki de ği şimin, duyarlılık analizi sonuçlarına göre eniyi temelin korunduğu sınırlar içerisinde olup olmadı ğı yani uygunluk koşullarının korunup korunmadı ğı kontrol edilmelidir. Duyarlılık analizi sonucuna göre, montaj süresi 75 saate dü şürüldüğünde, mevcut temel korunmaktadır. O zaman montaj süresine kar şı gelen gölge fiyatı kullanarak amaç fonksiyonunun yeni değerini hesaplayabiliriz. Yeni z = Eski z + ? 1 (1. kısıtın gölge fiyatı) Yeni z = 610 + ( 75 – 82) (5) = 610 – 35 = 575 Sonuç olarak, kullanılabilir montaj saatinin, 7 saat daha az olması elde edilecek enbüyük karı 35 azaltmaktadır. b. Duyarlılık analizi sonucuna göre, cilalama süresi 150 saate dü şürüldüğünde, mevcut temel korunmaktadır. Bu kayna ğa ait gölge fiyat sıfır olduğundan, karda hiçbir de ği şim olmayacaktır. c. Duyarlılık analizi sonucuna göre, depo yer alanı 9 m 2 ’ye düşürüldüğünde, mevcut temel korunmaktadır. Yeni z = Eski z + ? 3 (3. kısıtın gölge fiyatı) Yeni z = 610 + ( 9 – 10 ) (20) = 610 – 20 =590 Sonuç olarak, depo yerinin 1 m 2 azaltılması, enbüyük karı 20 azaltmaktadır. d. Duyarlılık analizi sonucuna göre, depo yer alanı 12 m 2 ’ye çıkarıldı ğında, uygunluk ko şulları bozulmaktadır. Eniyi temel de ği şece ğinden, kaynakların gölge fiyatları da de ği şecektir. Dolayısıyla, bu verilere göre enbüyük kardaki de ği şimi söyleyemeyiz. 145 Yararlanılan Kaynaklar Hillier, F.S. ve Lieberman, G.J. (2010). Introduction to Operations Research, New York: McGraw-Hill, Inc. Kara, İ. (2000). Do ğrusal Programlama, İstanbul: Bilim Teknik Yayınevi. Öztürk, A. (2011). Yöneylem Araştırması, Bursa: Ekin Yayınevi. Taha, H.A. (2011). Operations Research: An Introduction, Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. Winston, W.L. (2004). Operations Research: Applications and Algorithms, Cengage: Brooks/ Cole. 146 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Hedef programlama yönteminin gerçek hayat problemlerindeki önemini tartı şabilecek, Hedef programlama yönteminin temel kavram ve varsayımlarını açıklayabilecek, Hedef kısıtları ve amaç fonksiyonlarını matematiksel olarak formüle edebilecek, Farklı sistemlere ili şkin çok amaçlı problemlerin hedef programlama modellerini geli ştirebilecek, Çok amaçlı problemleri grafik üzerinde çözebilecek ve verilen grafikleri çözümleyebilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Hedef Programlama Hedef Hedef Kısıtı Pozitif Sapma Deği şkeni Negatif Sapma De ği şkeni Amaç Öncelikleri Modelleme Grafik Yöntem İçindekiler Giri ş Hedef Programlamada Temel Kavramlar Do ğrusal Hedef Programlamanın Varsayımları Hedef Programlama ve Do ğrusal Programlama Arasındaki Farklar Do ğrusal Hedef Programlama Türleri Do ğrusal Hedef Programlamada Karar Modelinin Olu şturulması Do ğrusal Hedef Programlama Türleri Hedef Programlamada Çözüm Yakla şımları 7 147 G İR İŞ Önceki bölümlerde de ele alındı ğı üzere, ele alınan problemler için en iyi çözüm yöneylem ara ştırması doğrusal programlama konusu kapsamında araştırılmaktadır. Bu en iyi çözüm, problem türüne ba ğlı olarak en küçük yıllık maliyet veya en büyük yıllık kâr gibi en büyük veya en küçük de ğerdir. Dolayısıyla, do ğrusal programlama modelinde amaç fonksiyonu enküçükleme veya enbüyükleme şeklinde olu şturulur. Gerçek hayatta ise kar şıla şılan problemlerin ço ğu birden fazla ve genellikle birbiriyle çeli şen amaca sahiptir. Örneğin, elektronik ürünler satan bir i şletme yaz mevsiminde klima satı şlarında karını enbüyüklemek isterken, elde tutulan klima stoku miktarının en yüksek düzeyde olmasını ve di ğer bir yandan da envanter taşıma maliyetlerinin en küçüklenmesini ister. Bu amaçların yanı sıra ba şka amaçlar da olabilir. Yönetimin amacı, tüm bu amaçları aynı anda gerçekle ştirmektir. Ancak, birden fazla amacın aynı anda ele alındı ğı bu tür karar problemlerinin çözümünde, önceki bölümlerde kullandı ğımız doğrusal programlama yöntemi yetersiz kalmaktadır. Do ğrusal programlama modelleri ile yıllık sipari ş verme maliyetlerinin en küçüklenmesi, yıllık karın enbüyüklenmesi gibi sadece tek bir amacın eniyilenmeye çalı şıldı ğı problemler ele alınabilmektedir. Birden fazla amacın eniyilenmeye çalı şıldı ğı problemlerin çözümünde ise çok amaçlı karar verme yöntemlerine ihtiyaç duyulur. Bu yöntemlerden biri de Hedef Programlama yöntemidir. Birden fazla amacı aynı anda gerçekleştirme esasına dayanan Hedef Programlama, üretim planlamadan i ş gücü planlamasına, ula ştırmadan finansal planlamaya birçok alanda uygulanan bir yöntemdir. Her bir amaç bir hedefi olu şturmaktadır. Bu da, amaçlar için sayısal hedeflerin belirlenmesi ile gerçekleşir. Bu yöntem ile tüm sistem kısıtlarının sağlandı ğı ve mümkün oldu ğunca tüm hedeflere ula şan bir çözüm elde edilir. Belirlenen hedeflerin tam olarak gerçekleşmemesi durumunda hedef değerlerinden istenmeyen yöndeki sapmalar enküçüklenir. Elde edilen çözümde bazı amaçlar en iyi de ğerine ula şırken, diğer amaçlar en iyi çözüme ula şamayabilir. Dolayısıyla, sonuç de ğer mümkün olduğunca karar vericileri tatmin eden, en uzla şık çözüm olacaktır. Bir başka ifadeyle, etkin bir çözüm elde edilecektir. Birden fazla ve genellikle çeli şen amaçları içermesinin yanı s ıra, hedef programlamayı doğrusal programlamadan ayıran bir di ğer özelli ği de amaç fonksiyonunda yer alan sapma de ği şkenlerinin farklı ölçeklerle ifade edilebilir olmasıdır. Bir depo ve envanter sisteminden örnek verecek olursak, envanter maliyetlerini en küçüklemek ve envanter seviyesini en uygun miktarda tutmak öncelikli amaçlardandır. Burada belirlenen hedefler do ğrultusunda en küçüklenecek olan sapmalardan biri para birimi di ğeri de envanter türüne göre envanter sayısı/a ğırlık vb. ölçeğinde olacaktır. Kısıtlarınının ve amaç fonksiyonunun yapısına ba ğlı olarak do ğrusal ve do ğrusal olmayan hedef programlama yöntemleri bulunmaktadır. Bu ünitede do ğrusal hedef programlama yöntemi incelenecektir. Hedef programlamayı doğrusal programlamadan ayıran en önemli özellik birden fazla amacın eniyilenmeye çalı şılmasıdır. Bu nedenle, en iyi çözüm yerine etkin bir çözüm elde edilmektedir. Hedef Programlama 148 HEDEF PROGRAMLAMADA TEMEL KAVRAMLAR Do ğrusal programlama modellerindeki sağ taraf sabiti, karar deği şkeni ve parametre tanımlarına ek olarak hedef programlamada kullanılan temel kavramlar şunlardır: Amaç: Karar vericinin isteğinin genel durumunu gösteren ifadedir. Örne ğin envanter sipari ş verme maliyetlerini enküçüklemek, emniyet stoku miktarını enküçüklemek, yıllık karı enbüyüklemek, pazar payını korumak vb. Hedef: Belirlenen amaç için ba şarmak istenilen kesin ifadedir. Bir ba şka deyi şle, istenilen seviye ile belirlenmi ş bir amaçtır (Ignizio, 1976). Örneğin, “toplam aylık envanter taşıma maliyetlerini en küçüklemek” bir amaç iken, bu maliyetlerin en fazla 10.000. olması bir hedeftir. “Yıllık karı en büyüklemek” de bir amaç iken, yıllık karın en az 2.000.000. olması da bir ba şka hedeftir. Kısıtlar: Hedef programlamada sistem kısıtları ve hedef kısıtları olmak üzere iki tür kısıt bulunmaktadır. 1. Sistem Kısıtları: Tam olarak sa ğlanması gereken ve sapmaya izin verilmeyen kısıtlardır. Bu kısıtlar, eldeki kıt kaynakları ifade eder ve do ğrusal programlama problemlerindeki kısıtlara karşı gelirler. Do ğrusal programlamadaki gibi formüle edilirler ve öncelikle bu kısıtların gerçekleştirilmesi gerekir (Cinemre, 2011; Öztürk, 2011). 2. Hedef Kısıtları: Karar vericinin ula şmayı istedi ği veya gerekli gördü ğü hedefler, hedef programlama modeline hedef kısıtları olarak aktarılır. Hedef kısıtları çok katı olamayıp hedeflenen de ğerlerden (sağ taraf de ğerleri) sapmaların açıklanmasıyla ortaya çıkan esnek kısıt fonksiyonlarıdır. Hedef kısıtlarının sağlanması sistem kısıtlarının gerçekleştirilmesinden sonra gelir (Cinemre, 2011). Hedef kısıtlarının genel hali izleyen şekildedir: Sapma deği şkenleri: Sadece hedef kısıtları ve modelin amaç fonksiyonunda yer alan sapma de ği şkenleri, istenilen hedefin a şılması ve altında kalınması durumlarını gösteren de ği şkenlerdir. Her bir hedef için birer negatif sapma ve pozitif sapma de ği şkeni tanımlanır. Sapma de ği şkenleri negatif de ğer alamazlar. Ayrıca, belirlenen hedefin sadece ya altında ya da üstünde bir durum gerçekle şeceğinden, negatif ve pozitif sapma de ği şkenlerinden biri daima sıfır değerini alır. 1. Pozitif sapma de ği şkeni ( ): Hedefin ne kadar aşıldı ğını gösteren de ği şkendir. Örne ğin, bir otomobil firmasında motor montaj hattındaki toplam yarı mamul stoku günlük en fazla 25 adet olmalı hedefine kar şılık yarı mamul stokunun günlük 30 adet olması durumunda, hedef miktarı a şıldı ğından, pozitif sapma de ği şkeni 5 adet olacaktır. Hedef : en fazla 25 (adet/gün) Gerçekle şen : 30 (adet/gün) 2. Negatif sapma de ği şkeni ( ): Hedefin ne kadar altında kalındı ğını gösteren de ği şkendir. Örne ğin, bir otomobil firmasında yıllık üretim miktarı en az 30.000 adet olmalı hedefine kar şılık yıllık üretim miktarının 28.000 adet olması durumunda, hedef miktarına ulaşılamadı ğından, negatif sapma de ği şkeni de ğeri 2.000 adet olacaktır. Hedef : en az 30.000 (adet/yıl) Gerçekle şen : 28.000 (adet/yıl) Hedef kısıtlarına ba ğlı olarak sapma de ği şkenleri istenen veya istenmeyen de ği şken olarak da adlandırılır. Hedeflenen miktardan sapma = 30-25=5 (adet/gün) Hedeflenen miktardan sapma = 30.000-28.000 = 2.000 (adet/yıl) 149 • hedef kısıtı ? yönünde ise istenen, ise istenmeyen sapma de ği şkenidir. • hedef kısıtı ? yönünde ise istenen, ise istenmeyen sapma de ği şkenidir. • hedef kısıtı e şitlik şeklinde (=) ise ve ’nın her ikisi de istenmeyen sapma de ği şkenleridir. Hedefin e şitlik şeklinde olmasına da bir örnek verelim. Otomobil firması yıllık üretim miktarının tam olarak 20.000 adet olmasını hedeflerken, yıllık üretim miktarı 22.000 adet olarak gerçekle şmi ş olsun. Hedef miktarına ula şılamamı ş ve hedeften pozitif yönde 2000 adetlik bir sapma olmu ştur. Aynı zamanda negatif sapma de ği şkeni de ğeri de sıfır olmu ştur. Hedef : tam olarak 20.000 (adet/yıl) Gerçekle şen : 22.000 (adet/yıl) Ba şarı fonksiyonları: Her bir amaç için belirlenen hedeften olabilecek sapmaları en küçükleyen fonksiyonlardır. Amaç fonksiyonu: Hedef programlamada amaç, hedef de ğerlerinden istenmeyen yöndeki sapmaları enküçüklemektir. Dolayısıyla amaç fonksiyonu, tüm ba şarı fonksiyonlarının bir öncelik seviyesi ve/veya ağırlı ğa göre toplamları şeklinde yazılan fonksiyondur. Yukarıda verilen örneklerde, • yıllık üretim hedefinin altında kalınmak istenmediğinde, amaç fonksiyonu tek bir hedef için • günlük stok hedefinin üstüne çıkılmak istenmediğinde, amaç fonksiyonu tek bir hedef için • yıllık üretim hacminin tam olarak sa ğlanması istendi ğinde amaç fonksiyonu tek bir hedef için olarak belirlenecektir. DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMANIN VARSAYIMLARI Bir problemin doğrusal karar modelinin bazı varsayımlar altında kurulduğunu önceki bölümlerde görmü ştük. Do ğrusal hedef programlama modeli ile uygun bir çözüm elde edebilmek için, do ğrusal karar modeli için geçerli olan oransallık, toplanabilirlik, bölünebilirlik ve belirlilik varsayımlarının sağlanması gerekmektedir. Yanı sıra, a şa ğıda verilen varsayımlar da sa ğlanmalıdır: Negatif olmama varsayımı: Modelde yer alan karar ve sapma de ği şkenleri pozitif (sıfır veya sıfırdan büyük) olmalıdır. ( simgesi,” herbir” anlamını ta şımaktadır.) Amaçlara öncelik verilmesi varsayımı: Karar vericiler modelde yer alan her bir amaca ya da amaç grubuna bir öncelik verebilir. En önemli amaç önceli ği, bir ba şka deyi şle birinci öncelikli amaç önceli ği ile gösterilir. İkinci öncelikli amaç için gösterimi kullanılır. Diğer öncelikler de ile ifade edilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta ’in ’den, ’nin de ’ten daima büyük oldu ğudur. Amaçlara öncelik verilerek, ilgili amaçlara kar şı gelen hedeflere de bir öncelik sırası verilmi ş olur. Modelde, hedefler öncelik de ğerlerine göre sıralanır. Ardından, birinci öncelikli hedeften başlanarak, öncelik sırasıyla, ilgili hedef gerçekle ştirilmeye çalı şılır. Amaçların ağırlıklandırılması varsayımı: Do ğrusal hedef programlama modelindeki sapmaların önem dereceleri birbirinden farklı olabilir. Bu durumda sapmalara a ğırlık de ğerleri verilebilir. Bu a ğırlıklar, her bir sapmanın di ğerlerine oranla göreceli olarak önemini gösterir (Alp, 2008). Modelin amaç fonksiyonu, hedeflerini temsil eden sapmaların a ğırlıklandırılmı ş toplamı haline getirilir. Hedeflenen miktardan sapma = 22.000-20.000 = 2.000 (adet/yıl) 150 durumunda en önemli hedef , en az önemli hedef ise ile gösterilmektedir. Hedef Programlamanın önemli özelliklerinden birbiri de hedeflerin önemine göre öncelik atamasının yapılabilmesidir. HEDEF PROGRAMLAMA VE DO ĞRUSAL PROGRAMLAMA ARASINDAK İ FARKLAR Do ğrusal hedef programlama ile doğrusal programlama yöntemleri benzer özelliklere sahip olsa da izleyen noktalardaki farklılıklara sahiptirler. 1. Do ğrusal programlamada amaç en iyi çözümü elde etmek iken, doğrusal hedef programlamada amaç mümkün oldu ğunca en iyi çözümü elde etmektir. 2. Do ğrusal programlama modelinde tek bir amaç eniyilenmeye çalı şılır. Do ğrusal hedef programlama modelinde ise birden fazla amaç için hedef de ğerleri belirlenir ve bu hedeflerin hepsi modele alınır. 3. Do ğrusal programlama modelindeki sistem kısıtları kesinlikle sa ğlanması gereken katı kısıtlardır. Do ğrusal hedef programlama modelinde sistem kısıtlarının yanı s ıra hedef kısıtları yer alır. Hedef kısıtları ise sapmalara izin verilen esnek kısıtlardır. 4. Do ğrusal programlama modelindeki amaç fonksiyonunda karar de ği şkenleri yer alırken, hedef programlama modelinde amaç fonksiyonunda karar de ği şkenleri yer almaz. Hedef programlama modelindeki amaç fonksiyonu negatif ve/veya pozitif sapma de ği şkenlerinden olu şur. 5. Do ğrusal programlamada amaç fonksiyonu enbüyükleme ya da enküçükleme şeklinde iken, hedef programlamada amaç fonksiyonu sadece enküçükleme şeklindedir. DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMA TÜRLER İ Bilindi ği üzere, tek amaçlı eniyileme modellerinde sadece bir amaç fonksiyonunun enbüyüklenmesi ya da enküçüklenmesi söz konusudur. Hedef programlamada ise, karar vericilere ba ğlı olarak herhangi bir önceli ği ya da a ğırlı ğı olmayan ya da belirli bir öneme ve/veya a ğırlı ğa sahip amaçların en iyilenmesine çalı şılmaktadır. Dolayısıyla, geli ştirilen amaç fonksiyonunun yapısına göre hedef programlama türleri beş ba şlıkta sınıflandırılabilir: 1. Tek hedefli programlama 2. E şit a ğırlıklı çok hedefli programlama 3. A ğırlıklı çok hedefli programlama 4. Öncelikli çok hedefli programlama 5. Öncelikli-ağırlıklı çok hedefli programlama. Tek Hedefli Programlama Ele alınan problemin tek bir hedefi olması durumunda ortaya çıkan programlama türüdür. Hedef türüne ba ğlı olarak, amaç fonksiyonu üç farklı biçimde kurulur: 1. 2. 3. 151 Örnek 7.1. Bir mini buzdolabı üretici firmasının bünyesinde sevkiyat için üç tür araç bulunmaktadır. Yılda en fazla 1 milyon adet mini buzdolabı üretimi yapılmaktadır. A türü araç ile bir seferde 200, B türü araç ile 250 ve C türü araç ile 400 adet buzdolabı sevkiyatı yapılabilmektedir. Araçların yıllık kullanımı sonucu oluşan bakım maliyetleri A türü araç için 200, B türü araç için 300 ve C türü araç için de 500 lira olmaktadır. Firma bakım maliyetleri için en çok 900.000 lira ödenmesini istemektedir. Bu örnekte firmanın bakım maliyetlerine ili şkin olmak üzere tek bir hedefi bulunmaktadır. Hangi araç türünden ne kadar kullanılaca ğını belirleyecek tek hedefli programlama modeli izleyen şekilde kurulabilir. bir yılda kullanılan tür araç adedi : A türü araç; : B türü araç; : C türü araç : Yıllık 900000 lira bakım maliyetleri hedefinin altında kalan miktar : Yıllık 900000 lira bakım maliyetleri hedefini a şan miktar Maliyet hedefi kısıtı: Sevkiyat kısıtı: Negatif olmama kısıtı: kısıtları altında Kurulan modelden görüldü ğü üzere, maliyet hedefi kısıtı maliyet fonksiyonunun pozitif ve negatif sapma de ği şkenlerinin eklenmesi ve hedef de ğeri olan 900.000’e e şitlenmesi ile olu şturulmu ştur. Amaç fonksiyonu da maliyet hedefi a şılmak istenmedi ğinden, sadece pozitif sapmanın enküçüklenemesi şeklinde olu şturulmu ştur. Eşit Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama Ele alınan problemin hedeflerinin herhangi bir önceli ğinin bulunmaması ve sapma de ği şkenlerinin de e şit önemli olması halinde ortaya çıkan programlama türüdür. Amaç fonksiyonu da istenmeyen sapma de ği şkenlerinin toplamı şeklinde kurulur. Örne ğin istenmeyen sa ğma de ği şkenleri olsun. Bu durumda amaç fonksiyonu izleyen şekilde kurulur. Sapma deği şkenlerine ili şkin verilen örnekte de üretim ve stok miktarları hedefleri için meydana gelebilecek sapmalar e şit a ğırlı ğa sahip oldu ğundan, amaç fonksiyonunda istenmeyen sapmaların toplamı en küçüklenir ( ). Burada her iki sapma de ği şkenin aynı boyutta (adet) oldu ğuna dikkat edilmelidir. E şit a ğırlıklı çok hedefli programlama modellerinde amaç fonksiyonu de ğerinin anlamlı olabilmesi için sapma deği şkenlerinin aynı boyutta/birimde olması gerekmektedir. A ğırlıklı Çok Hedefli Programlama Hedeflerdeki sapma de ği şkenlerinin önem derecelerinin birbirinden farklı olması halinde sapma de ği şkenlerine a ğırlık de ğerleri verilebilir. Bu a ğırlıklar, her bir sapma de ği şkeninin di ğerine oranla göreceli olarak önemini gösterir. Amaç fonksiyonu, sapma de ği şkenlerinin ağırlıklandırılmı ş toplamının enküçüklenmesi şeklinde olu şturulur. Bu yakla şım genellikle eşit a ğırlıklı çok hedefli problemlerin sapma de ği şkenlerinin boyutları/ölçü birimleri farklı oldu ğunda tercih edilir. 152 Örne ğin, amaç fonksiyou olarak belirlenen bir hedef programlama modelinde hedeflerden ilki kâr di ğeri de üretim hedefi olsun. Bu durumda sapma de ği şkeninin ölçü birimi lira, sapma de ği şkeninin ölçü birimi de adet cinsindendir. Her hedefe kar şı gelen sapma de ği şkeni süre, para birimi ve adet gibi farklı ölçeklerde oldu ğunda, amaç fonksiyonunda normalle ştirme ve benzeri i şlemler yapılabilir. Karma şık bir süreç olan ağırlık belirleme konusuna bu bölümde yer verilmemi ştir. Konuyla ilgili olarak yeniden amaç fonksiyonu ele alınacak olursa, birinci sapma de ği şkeninin ikinci sapma de ği şkenine göre göreceli olarak 4 kat daha önemli oldu ğunu varsayalım. Bu durumda daha anlamlı hale gelen amaç fonksiyonu, ve olmak üzere izleyen şekilde kurulur. Sapma deği şkenlerine a ğırlık verilmesi durumu bir hedef için negatif ve pozitif sapma de ği şkenlerinin birbirine göre önemli olması durumunda da gerçekle şebilir. Örneğin eşitlik türünde bir üretim hedefinde, hedefin altında kalmaya neden olan negatif sapma, üretim hedefini a şan pozitif sapmadan daha önemli olabilir. Bu durumda negatif sapma pozitif sapmaya göre 3 kat daha önemli olsun. İlgili amaç fonksiyonu da bu durumda olacaktır. Büyük a ğırlı ğa sahip negatif sapma ( ), pozitif sapmaya ( göre daha fazla istenmemektedir. Amaç fonksiyonu bir en küçükleme fonksiyonu oldu ğundan, bu durumda a ğırlı ğı daha büyük olan negatif sapma öncelikli olarak enküçüklenmeye zorlanmaktadır. Öncelikli Çok Hedefli Programlama Bir hedefe ulaşmak di ğer hedeflere ula şmaktan daha önemli olabilir. Dolayısıyla, öncelikli hedef programlamada karar verici hedeflere bir öncelik belirler ve bu önceliklere göre hedefleri sıralandırır. Buradaki temel fikir, ilk öncelikli hedef ve/veya hedeflerin sonraki öncelik seviyesindeki hedef ve/veya hedeflerden önce gerçekleştirilmesidir. A ğırlıklı çok hedefli programlamadan farklı olarak, yüksek öncelikli hedefin en iyi de ğerinin dü şük öncelikli hedef tarafından kötüle ştirilmesine izin verilmeyecek şekilde her seferinde bir hedef en iyi kılınır (Taha, 2000). Öncelikli çok hedefli programlamada, toplam k adet öncelik belirlenmesi halinde, birinci öncelikli hedef önceli ği ve en düşük hedef önceli ği olmak üzere, di ğer hedef öncelikleri şeklinde sıralanır. Her bir öncelik seviyesinde birden fazla hedef bulunabilir. Bu durumda, aynı öncelik seviyesine sahip hedef grubunda yer alan hedefler e şit a ğırlıklı ya da a ğırlıklı hedef programlamadaki gibi modellenebilir. Çözüm a şamasında ise farklı önceliklere sahip hedefler önem derecesine göre sıralanır. Bu konuda daha detaylı bilgi edinmek isteyenler Öztürk, A. (2011). Yöneylem Ara ştırmasına Giri ş, Bursa: Ekin Yayınevi ve Cinemre, N. (2011). Yöneylem Ara ştırması, Evrim Yayınevi: İstanbul kitaplarını inceleyebilirler. Örnek 7.2. Bir i şletme yönetimi lojistik faaliyetlerine ili şkin belirledikleri be ş hedef için üç öncelik seviyesi atamı ştır. Buna göre istenmeyen sapma de ği şkenleri ve ilgili öncelik seviyeleri Tablo 7.1’de verilmi ştir. Tablo 7.1: Örnek Probleme İlişkin Veriler Öncelik Seviyesi Hedef no İstenmeyen sapma de ği şkenleri 1 2, 3 4, 5 Genel olarak amaç fonksiyonu olarak ifade edilir. 153 Öncelikli-Ağırlıklı Çok Hedefli Programlama Öncelikli hedef programlama modellerinde bazı durumlarda sapma de ği şkenlerinin farklı a ğırlıklara sahip olduğu durumlar da kar şımıza çıkabilmektedir. Örne ğin bir i şletmenin üç öncelikli üç farklı amacı olsun. • Birinci öncelikli birinci hedef için hem negatif hem de pozitif sapma de ği şkenleri istenmeyen de ği şkenlerdir. • Birinci hedef için negatif sapma pozitif sapmadan iki kat önemlidir. • İkinci hedef ikinci, üçüncü hedef de üçüncü öncelikli hedef olarak belirlenmi ştir. • İkinci ve üçüncü hedefler için pozitif sapma de ği şkenleri istenmeyen de ği şkenlerdir. Bu durumda ilgili problem için amaç fonksiyonu a şa ğıdaki şekilde kurulur. Bu konuda daha detaylı bilgi edinmek isteyenler Öztürk, A. (2011). Yöneylem Ara ştırmasına Giri ş, Bursa: Ekin Yayınevi ve Cinemre, N. (2011). Yöneylem Ara ştırması, Evrim Yayınevi: İstanbul kitaplarını inceleyebilirler. DOĞRUSAL HEDEF PROGRAMLAMADA KARAR MODEL İN İN OLUŞTURULMASI Do ğrusal programlamadan farklı olarak, do ğrusal hedef programlamada belirlenen amaç ve hedefler doğrultusunda hedef kısıtları olu şturulur. Buna ilaveten, amaç fonksiyonu da sadece hedeften sapmaları gösteren sapma de ği şkenlerinden olu şur. Bu bölümde, genel do ğrusal hedef programlama karar modelinin oluşturulmasına geçmeden önce, öncelikle hedef kısıtlarının ve amaç fonksiyonun nasıl olu şturuldu ğu anlatılacaktır. Hedef Kısıtlarının Olu şturulması Hedef kısıtları, belirlenen hedef türüne ba ğlı olarak olu şturulur. Hedef programlamada üç tür hedef vardır (Öztürk, 2011). Bu hedefler; 1. Altına dü şmek istenmeyen alt sınırı belirleyen tek taraflı hedef (bu sınırı a şmak ba şarıdır). 2. Üstüne çıkmak istenmeyen üst sınırı belirleyen tek taraflı hedef (bu sınırın altına düşmek ba şarıdır). 3. Her iki tarafta da bir kayıp istenmedi ğinde belirlenen spesifik hedef (amaç fonksiyonu bu hedefin altında veya üstünde de ğer alırsa bu bir ba şarısızlıktır). Bu hedef tam olarak sa ğlanmalıdır. Bu hedef türlerine ilaveten, bazı durumlarda hedefler bir aralık içinde de belirlenebilir. Örne ğin, yıllık üretim miktarının en az 20000 en çok da 40000 adet olması gibi. hedef fonksiyonu ve birinci amaç için belirlenen hedef olmak üzere yukarıda tariflenen hedef türleri izleyen e şitsizlikler halinde yazılır. • Bir amaç için alt sınır hedef belirlendi ğinde, altına düşmek istenmeyen tek taraflı hedef (1) nolu e şitsizlik ile gösterilir. (1) • Bir amaç için üst sınır hedef belirlendi ğinde, üstüne çıkmak istenmeyen tek taraflı hedef (2) nolu e şitsizlik ile gösterilir. (2) 154 • Bir amaç için eşitlik şeklinde bir hedef belirlendi ğinde, hedef (3) nolu e şitlik ile gösterilir. (3) Belirlenmi ş olan her bir hedef kısıtı, sapmalara izin verildi ği için, kısıtların ihlal edilebildi ği esnek hedefe (4) nolu e şitlik halinde dönü ştürülür. (1) durumunda, karar verici için hedefinden büyük olan tüm de ğerler kabul edilebilir de ğerlerdir. Dolayısıyla, hedefinin altına düşülmesine sebep olacak negatif sapma de ği şkenlerinin mümkün olduğunca sıfır olması gerekir. (2) durumunda, karar verici için hedefinden küçük olan tüm de ğerler kabul edilebilir de ğerlerdir. Dolayısıyla, hedefinin üstüne çıkılmasına sebep olacak pozitif sapma de ği şkenlerinin mümkün olduğunca sıfır olması gerekir. (3) durumunda ise karar verici için hedefi tam olarak kar şılanmalıdır. Dolayısıyla, hedefinin altına düşülmesine sebep olacak negatif sapma de ği şkenleri ile hedefin üstüne çıkılmasına sebep olacak pozitif sapma de ği şkenlerinin mümkün oldu ğunca sıfır olması gerekir. Bir hedefin ya altında ya da üstünde bir durum gerçekle şti ğinde sapma de ği şkenlerinden biri daima sıfır değerini alır. Hedefin tam olarak gerçekle şmesi durumunda ise iki sapma de ği şkeni de sıfır değerini alır. Amaç fonksiyonunun en iyi de ğeri, sistem ve hedef kısıtlarının sınırlandırdı ğı çözüm alanı içinde aranır. Burada unutulmaması gereken nokta, sistem kısıtları sa ğlanmadan hedef kısıtlarının sağlanmasına geçilmeyece ğidir. Sistem kısıtlarının uygun bir çözüm olu şturmaması durumunda ise hedef kısıtlarına (amaç fonksiyonuna) bakılmaksızın problemin uygun bir çözümü olmadı ğı belirlenmi ş olur. olmak üzere, sistem kısıtları ve olan bir problemde hedef kısıtı ve istenmeyen sapma deği şkeni de olarak belirlenmi ştir. Bu durumda problemin uygun çözümü hakkında ne dersiniz? Örnek 7.3. Sistem kısıtlarının olduğu bir problemde, hedef kısıtı ve istenmeyen sapma de ği şkeni de olsun. Sistem kısıtları tarafından sağlanan uygun çözüm alanı ABCDE yamu ğu ile Şekil 7.1’de gösterilmi ştir. hedef fonksiyonu uygun çözüm alanının dı şında kalmı ştır. Hedef kısıtları esnek kısıtlar olduğundan, ve sapma de ği şkenleri değer alarak hedef kısıtı uygun çözüm alanında bir nokta ile kesi şebilir. Hedef kısıtının uygun çözüm alanına yakla şabilmesi için sapma de ği şkeni sıfır değerini alacaktır. de ği şkeni de pozitif bir değer alarak, hedef kısıtının uygun çözüm alanında bir noktada de ğer almasını sa ğlayacaktır. Problemin en iyi çözümü de ğerini aldı ğı A noktasındadır. Böylece hedef kısıtı olabildi ğince sa ğlanmı ş ve en az 90 yerine 80 de ğerini alarak mümkün olan en iyi değeri almı ştır. Bu durumda de ği şkeninin de ğeri de 10 olmuştur. Birinci hedef kısıtı: (4) İkinci hedef kısıtı: Üçüncü hedef kısıtı: 155 Şekil 7.1: Örnek 7.1 İçin Uygun Çözüm Alanı ve Hedef Kısıtının Grafik Üzerinde Gösterimi Bir hedeften aynı anda hem pozitif hem de negatif yönde sapma olamayaca ğından ve aynı anda sıfırdan büyük de ğer alamaz. Sapma deği şkenlerinden en az biri sıfır değerini alacaktır. Hedef kısıtlarının gerçekleştirilmesine çalı şılmadan önce, mutlaka tüm sistem kısıtları sa ğlanmalıdır. Tablo 7.2’de farklı hedeflere ili şkin oluşturulan hedef kısıtları verilmiştir. Tablo 7.2: Hedef Türlerine Bağlı Olarak Olu şturulan Hedef Kısıtları Hedef Türü Hedef Kısıtı Amaç fonksiyonunda en küçüklenecek sapma deği şkeni Üstüne çıkmak istenmeyen üst sınırı belirleyen tek taraflı hedef: Altına düşmek istenmeyen alt sınırı belirleyen tek taraflı hedef: Her iki tarafta kaçırmak istemedi ğimiz spesifik hedef: , ) Hedef kısıtının oluşturulması ve sapma de ği şkeni de ğerlerinin hesaplanmasına yönelik bir örnek izleyen şekilde verilebilir. 156 Örnek 7.4. Bir otomobil firmasında yıllık üretim miktarı en az 20.000 adet olmalı hedefine kar şılık yıllık üretim miktarı 18.000 adet olarak gerçekle şmi ştir. Dolayısıyla, istenilen hedefe ula şılamamı ştır. Bu durumda hedefe ula şmada ortaya çıkan sapmayı belirleyecek olursak, öncelikle hedef kısıtını olu şturmamız gerekmektedir. Karar ve sapma de ği şkenleri izleyen şekilde belirlenir. Otomobil üretim miktarı (adet/yıl) : yıllık 20.000 adet üretim hedefinin altında kalan miktar : yıllık 20.000 adet üretim hedefini a şan miktar Bu örnek için hedef fonksiyonu şeklindedir. E şitsizli ğin sağ taraf sabiti olan 20.000, istenen hedef yani en dü şük yıllık üretim miktarıdır. Hedeften sapmalara izin verildi ği için, bu durumda hedef kısıtı a şa ğıdaki e şitlik halinde yazılır. =18000 olarak belirlendi ğinden, hedeflenen üretim miktarına ula şılamamı ştır. Dolayısıyla, hedef aşımı gerçekleşmemi ş ve pozitif sapma de ği şkeni =0 olmu ştur. İstenilen hedefe ulaşılamadı ğından da negatif sapma de ği şkeni = 2000 olmu ştur. Bu örnekte, yıllık emniyet stoku miktarının 3000 adet olması şeklinde bir hedef daha belirlenmi ş olsun. Probleme dair yeni de ği şkenler, emniyet stoku miktarı (adet/yıl) : yıllık 3000 adet emniyet stoku hedefinin altında kalan miktar : yıllık 3000 adet emniyet stoku hedefini a şan miktar olarak belirlendi ğinde, ikinci hedef fonksiyonu ve hedef kısıtı da şeklinde olacaktır. Yıllık emniyet stoku miktarının 3000 adet olarak gerçekle şmesi durumunda her ki sapma de ği şkeni ( ve ) sıfır değerini alacak ve hedefe tam olarak ula şılmı ş olunacaktır. Aksi durumlarda ise, ya hedefin altında ya da hedefin üstünde bir ba şarısızlık gerçekle şecektir. Üç farklı model kamyon kullanan bir lojistik firması ayda toplam 100 sefer yapmaktadır. Birinci tür kamyonun ayda en fazla 20 defa kullanılmasını ve ikinci tür kamyonun da ayda en az 40 defa kullanılmasını hedefleyen firmanın hedeflerinden istenmeyen sapmalar hangileridir? Amaç Fonksiyonunun Olu şturulması Do ğrusal hedef programlama modelinde amaç fonksiyonu sadece sapma deği şkenlerinden olu şmaktadır. Hedeften istenmeyen yöndeki sapma de ği şkenleri toplamı en küçüklenir. Amaç fonksiyonunda yer alacak sapma de ği şkenleri de modelde yer alan hedef türlerine ba ğlı olarak belirlenir. 157 Tablo 7.2’de verildi ği üzere, • Hedef türü yönünde ise, amaç fonksiyonunda hedefin a şılmasına sebep olan pozitif sapma de ği şkeni en küçüklenmeye çalı şılacaktır. • Hedef türü yönünde ise, amaç fonksiyonunda hedefe ula şmayı engelleyen negatif sapma de ği şkeni en küçüklenmeye çalı şılacaktır. • Hedef türü eşitlik şeklinde ise, amaç fonksiyonunda hedefe tam olarak ula şılmasını engelleyen hem hem de de ği şkenleri enküçüklenmeye çalı şılacaktır. Karar vericilerin hedeflere öncelik ve/veya a ğırlık vermesi durumunda da bu öncelik ve ağırlıklar ile amaç fonksiyonu oluşturulur. İzleyen örneklerde farklı durumlar için amaç fonksiyonlarının nasıl olu şturuldu ğu ele alınmı ştır. Do ğrusal hedef programlama modelinde amaç fonksiyonu sadece sapma de ği şkenlerinden olu şmaktadır. Amaç fonksiyonunda karar de ği şkenleri yer almaz. Örnek 7.5. Bir önceki örnekten devam edecek olursak, ilk hedef yıllık üretim miktarının en az 20.000 olması ve ikinci hedef de yıllık emniyet stoku miktarının 3000 adet olması şeklinde belirlenmi şti. Hedefler için herhangi bir öncelik ve a ğırlık verilmemesi durumunda amaç fonksiyonu istenmeyen sapmaların toplamının enküçüklenmesi şeklinde olu şturulur. İlk hedef için istenmeyen sapma : İkinci hedef için istenmeyen sapmalar : ve Amaç fonksiyonu : + Görüldü ğü üzere, ilk hedef için hedefin altında kalınmak istenmedi ğinden sadece negatif sapma de ği şkeni, ikinci hedefin de tam olarak kar şılanması istendi ğinden her iki sapma de ği şkeni de en küçüklenmeye çalı şılmı ştır. Amaç fonksiyonunda yer alacak sapma de ği şkenleri hedef türüne ba ğlıdır. Örnek 7.6. Bir i şletme önümüzdeki planlama dönemi için üç hedef belirlemi ş olsun. İlk hedef üretim miktarının en az 100.000, ikinci hedef envanter taşıma maliyetlerinin en fazla 3000 lira ve karın 40.000 lira olması şeklinde belirlenmi ştir. Hedefler için herhangi bir öncelik ve a ğırlık verilmemesi durumunda amaç fonksiyonu istenmeyen sapmaların toplamının en küçüklenmesi şeklinde olu şturulur. İlk hedef için istenmeyen sapma : İkinci hedef için istenmeyen sapma : Üçüncü hedef için istenmeyen sapmalar : ve Amaç fonksiyonu : + Görüldü ğü üzere, ilk hedef için hedefin altında kalınmak istenmedi ğinden sadece negatif sapma de ği şkeni, ikinci hedefin üstüne çıkılmak istenmedi ğinden sadece pozitif sapma de ği şkeni ve üçüncü hedefin de tam olarak kar şılanması istendi ğinden her iki sapma de ği şkeni de en küçüklenmeye çalı şılmı ştır. Örnek 7.7. Dördüncü örnekte ele alınan problemde, şirket yöneticileri ikinci hedefin birinci hedeften daha önemli oldu ğunu düşünmektedir. Bu durumda, : yıllık emniyet stokunun 3000 adet olması hedefinin önceli ği (ikinci hedef) : yıllık üretim miktarının en az 20.000 adet olması hedefinin önceli ği (ilk hedef) ve olmak üzere, amaç fonksiyonu izleyen şekilde olu şturulur: 158 Aksi durumda, yani birinci hedefin birinci öncelikli hedef olması durumunda ise amaç fonksiyonu, + şeklinde olu şturulur. Bu örneklerde önce birinci öncelikli ( hedef gerçekle ştirilmeden ikinci öncelikli hedef gerçekle ştirilemez. Örnek 7.8. Yine dördüncü örnekten devam edecek olursak, şirket yöneticilerinin birinci hedefin ikinci hedeften 3 kat önemli olduğunu düşündüğünü varsayalım. Bu durumda, amaç fonksiyonu izleyen şekilde olu şturulur. + Örnek 7.8’te incelenen sistemde ikinci hedefin birinci hedeften 4 kat daha fazla olması durumunda amaç fonksiyonu ne olacaktır? Modelleme Do ğrusal hedef programlama modelinin kurulu şunda izleyen adımlar sırasıyla uygulanır: 1. Karar de ği şkenlerinin ( belirlenmesi. 2. Sistem kısıtlarının belirlenmesi. 3. Belirlenen hedefler doğrultusunda hedef kısıtlarının belirlenmesi. 4. Modelde yer alan tüm de ği şkenler için negatif olmama kısıtının oluşturulması. 5. Karar vericilere bağlı olarak gerekli durumlarda hedeflerin önceliklerinin belirlenmesi. 6. Karar vericilere bağlı olarak gerekli durumlarda hedeflerin a ğırlıklarının belirlenmesi. 7. Amaç fonksiyonunun olu şturulması. Hedef ve sapma de ği şkenlerinin herhangi bir önceli ği ve a ğırlı ğı olmaması durumunda, toplam i hedef ve j karar de ği şkeni için genel do ğrusal hedef programlama modeli izleyen (5) nolu model ile verilmiştir. Hedef kısıtları Sistem kısıtları kısıtları altında (5) Örnek 7.9. Çikolata üretimi yapan bir firma, gelecek üretim döneminde şekerleme üretimine geçmeyi planlamaktadır. Üretmeyi planladı ğı iki tür şekerleme de şeker, fındık ve çikolata içermektedir. Firmanın mevcut günlük stoklarında 200 kg şeker, 40 kg fındık ve 60 kg da çikolata bulunmaktadır. A türü şekerleme %15 fındık ve % 15 çikolata içermelidir. B türü şekerleme de en az %20 fındık içermektedir. A türü şekerlemenin kilosu 50 kuru şa (0.2 lira), B türü şekerlemenin kilosu da 20 kuru şa (0.5 lira) satılmaktadır. Firma günlük karının en az 1000 lira olmasını hedeflemektedir. Yanı s ıra, A türü şekerlemeden de günde en çok 3 ton üretilmesini hedeflemiştir. Bu problemin do ğrusal hedef programlama modelinin kurulmasından önce karar ve sapma de ği şkenleri izleyen şekilde tanımlanabilir. 159 tür malzemeden j. tür şekerlemede kullanılan miktar (kg) : şeker; : fındık; : çikolata : A türü şekerleme ; : B türü şekerleme : günlük 1000 lira kâr hedefinin altında kalan miktar : günlük 1000 lira kâr hedefini a şan miktar : günlük 3 ton A türü şekerleme üretim hedefinin altında kalan miktar. : günlük 3 ton A türü şekerleme üretim hedefini a şan miktar Model: Kâr hedefi kısıtı: Üretim hedefi kısıtı: Şeker kısıtı: Fındık kısıtı: Çikolata kısıtı: A türü şekerlemede fındık kısıtı: A türü şekerlemede çikolata kısıtı: B türü şekerlemede fındık kısıtı: Negatif olmama kısıtı: kısıtları altında Kâr ve üretim hedeflerine ili şkin hedefler modelde hedef kısıtları olarak yer almı ştır. Amaç fonksiyonunda ise kâr hedefinin altında kalınmak istenmedi ğinden de ği şkeni, üretim hedefinin de altında kalınmak istenmedi ğinden de ği şkeni toplamları enküçüklenmektedir. Hedeflerin ve sapmaların önceliklerinin oldu ğu durumlara ili şkin üç örnek a şa ğıda verilmi ştir. Örnek 7.10. İki amaçlı bir hedef programlama modelinde, birinci hedef ilk hedef küçük e şitlik ( ?) yönündedir. İkinci hedef ise e şitlik halinde tam olarak sa ğlanması istenen bir hedeftir. İkinci hedef için pozitif sapma de ği şkeni de negatif sapma de ği şkeninden 3 kat daha önemlidir. Aynı zamanda, birinci hedefin ikinci hedeften iki kat daha önemli oldu ğu saptanmı ştır. Bu koşullar altında amaç fonksiyonu izleyen şekilde kurulur: Örnek 7.11. Üç amaçlı bir hedef programlama modelinde, ilk hedef birinci öncelikli, üçüncü hedef ikinci öncelikli ve ikinci hedef de üçüncü öncelikli olsun. Aynı zamanda, birinci hedefe ili şkin sapmalardan pozitif sapma negatif sapmadan da iki kat önemli olsun. Di ğer hedeflerde de negatif sapma istenmeyen sapma olarak belirlensin. Bu durumda amaç fonksiyonu izleyen şekilde kurulur: 160 Örnek 7.12. A şa ğıda çok amaçlı bir probleme ili şkin hedef ve sistem kısıtları verilmiştir: Hedefler Sistem kısıtları: Hedef 1: Hedef 2: Hedef 3: Hedeflerin öncelik sıralaması 1-2-3 ve sapma de ği şkenlerinin eşit a ğırlıklı olması durumunda, yukarıda verilen problemin öncelikli hedef programlama modeli izleyen şekilde kurulur. (1.Hedef kısıtı) (2.Hedef kısıtı) (3.Hedef kısıtı) kısıtları altında Kurulan modelden de görüldü ğü üzere, hedef kısıtları hedef fonksiyonlarına pozitif ve negatif sapma de ği şkenlerinin eklenmesi ile oluşturulmu ştur. Birinci hedef küçük e şitlik yönünde oldu ğundan istenmeyen sapma de ği şkeni , ikinci hedef büyük e şitlik yönünden oldu ğundan istenmeyen sapma de ği şkeni dir. Üçüncü hedef bir eşitlik oldu ğundan hem pozitif hem de negatif sapma de ği şkenleri istenmeyen de ği şkenlerdir. Amaç fonksiyonu da herbir hedeften istenmeyen sapmaların öncelikleri ile birlikte toplamının enküçüklenmesi şeklinde olu şturulmu ştur. Örnek 7.13. Organik tarıma geçi ş sürecini tamamlayan bir çiftçi hangi ürünleri üretece ği konusunda karar a şamasına gelmi ştir. Yaptı ğı araştırmalar sonucunda arazisinin bir kısmına patates bir kısmına da buğday ekmeye karar vermi ştir. Bir dönüm araziye patates ekilmesi durumunda 100 kilo, bu ğday ekilmesi durumunda da 250 kg. ürün edilmektedir. Bir dönüm arazide patates ekimi için haftalık 10 saat, buğday ekimi için de 4 saat i şçilik gerekmektedir. Patatesin kilosu 3, bu ğdayın kilosu da 4 liradan satılmaktadır. Çiftçinin toplam arazisi 7 dönüm ve haftalık toplam uygun i şçilik saati de 40 (saat/hafta)’tır. Çiftçinin birinci öncelikli hedefi toplam gelirinin en az 3000 lira olması, ikinci öncelikli hedefi de en fazla 300 kilo patates üretmektedir. Belirlenen hedeflere ula şmak için kurulan öncelikli hedef programlama modeli izleyen şekilde kurulabilir. patates ekilen dönüm miktarı buğday ekilen dönüm miktarı : yıllık 900.000 lira gelir hedefinin altında kalan miktar : yıllık 900.000 lira gelir hedefini aşan miktar : yıllık 300 kg. patates üretim hedefinin altında kalan miktar : yıllık 300 kg. patates üretim hedefini a şan miktar 161 Gelir hedefi kısıtı: Patates üretim hedefi kısıtı Sistem kısıtları Negatif olmama kısıtları kısıtları altında Bu modelde de hedef kısıtları hedef fonksiyonlarına pozitif ve negatif sapma de ği şkenlerinin eklenmesi ile oluşturulmu ştur. Birinci hedef büyük e şitlik yönünde oldu ğundan istenmeyen sapma de ği şkeni , ikinci hedef de büyük e şitlik yönünden oldu ğundan istenmeyen sapma de ği şkeni dir. Amaç fonksiyonu da herbir hedeften istenmeyen sapmaların öncelikleri ile birlikte toplamının enküçüklenmesi şeklinde olu şturulmu ştur. Modellin çözümünün ilk a şamasında birinci hedef için negatif sapma de ği şkenin en küçüklenmesine çalı şılacaktır. İkinci a şamada da birinci öncelikli hedefi sa ğlayacak şekilde ikinci öncelikli hedefin en iyilenmesine çalı şılacaktır. HEDEF PROGRAMLAMADA ÇÖZÜM YAKLA ŞIMLARI Do ğrusal hedef programlama problemlerinin çözümünde kullanılan iki tür yakla şım bulunmaktadır: Grafik yöntemi ve Simpleks yöntemi. Bu ders kapsamına uygun olarak Simpleks çözüm yakla şımına ünütemizde yer verilmemi ştir. Grafik Yöntemi Grafik yöntemi, modeldeki karar deği şkeni sayısı iki oldu ğunda tercih edilen bir yöntemdir. Çözüm a şamasında öncelikle problemin modeli kurulur. Ardından tüm kısıt (sistem ve hedef) denklemleri grafik üzerinde çizilir. Yalnız, hedef kısıtlarını grafik üzerinde gösterirken sapma de ği şkenlerinin sıfır oldu ğu varsayılır. Örneğin bir hedef kısıtı olsun. Bu durumda hedef kısıtının grafik üzerinde çizimi, denklemi şeklinde yapılır. Hedef kısıtları, sistem kısıtlarının oluşturdu ğu uygun çözüm alanın dı şında de ğer alamazlar. Bu nedenle, öncelikle hedef kısıtının sapma yönleri belirlenir. İstenmeyen sapma en küçük olacak şekilde hedeflerin istenilen yönlerini kapsayan alan ile uygun çözüm alanının kesi şip kesi şmedi ği kontrol edilir. Kesi şme varsa kesi şim noktalarından hangisi istenmeyen sapmayı en küçüklüyorsa o nokta en iyi çözümü vermektedir. Hedeflerin istenilen yönlerini kapsayan alan ile sistem kısıtlarının sağladı ğı uygun çözüm alanı kesi şmiyorsa, hedef kısıtları uygun çözüm alanının dı şında kalmayacak şekilde, uygun çözüm alanına doğru yönlendirilirler. Bu i şlemin do ğal bir sonucu olarak da sapma de ği şkenleri değer alırlar. Grafik yöntemin son a şamasında, uygun çözüm alanı ile hedef kısıtlarının kesi şim noktalarında istenmeyen sapma de ği şkenlerinin aldı ğı de ğerler belirlenir. İstenmeyen sapma de ği şkenlerinin toplamının en küçük de ğer aldı ğı nokta problemin en uygun çözüm noktasıdır. Hedef kısıtları, sistem kısıtlarının olu şturdu ğu uygun çözüm alanın dı şında de ğer alamazlar. Bu bölümde incelenen grafiksel çözüm yakla şımı ile çözüm örneklerinde hedeflerin önceliksiz ve sapma de ği şkenlerinin de e şit a ğırlıklı oldu ğu varsayılmı ştır. Örnek 7.14. Tek hedefli bir problemin ele alındı ğı Örnek 7.3’te, hedef kısıtı ve istenmeyen sapma deği şkeni de olarak belirlenmi şti. Sistem kısıtları tarafından sağlanan uygun çözüm alanı olan ABCDE yamu ğu ile hedef kısıtı Şekil 7.2’de yeniden verilmiştir. 162 hedefi ü ü ş yönündedir. Bu durumda hedef kısıtı olacaktır. Ancak uygun çözüm alanı ile hedefin istenen yönü kesi şmemektedir. Dolayısıyla hedef kısıtını uygun çözüm alanına yönlendirmek üzere =0 olacak ve de ği şkeninin alaca ğı de ğer de en küçüklenmeye çalı şılacaktır. Böylece, hedef de ğere mümkün olduğunca ula şılmaya çalı şılacaktır. Şekil 7.2: Problemin Uygun Çözüm Alanı ve Hedef Kısıtının Grafik Üzerinde Gösterimi Uygun çözüm alanının köşe noktaları, ( ) değerleri hedef kısıtlarında yerine konarak elde edilen sapma de ği şkeni de ğerleri ve amaç fonksiyonun aldı ğı de ğerler Tablo 7.3’te verilmi ştir. Tablodan görüldüğü üzere, her bir nokta için olduğundan problem için en iyi çözüm bulunamamı ştır. En uygun çözüm noktası, negatif sapma deği şkeninin en küçük de ğeri aldı ğı A(0, 80) noktasıdır. Amaç fonksiyonu de ğeri de 10 olarak belirlenmi ştir. Tablo 7.3: Uygun Kö şe Noktalarına Göre Amaç Fonksiyonu De ğerleri Uygun köşe noktası ( ) Sapma deği şkenleri Amaç fonksiyonu de ğeri A(0,80) () 10 B(20,60) () 30 C(40,20) () 70 D(40,0) () 90 E(0,0) () 90 En uygun de ğer 163 Örnek 7.15. Örnek 7.14’te tek hedefli bir hedef programlama probleminin grafik yöntemle çözümü ara ştırılmı ştır. Bu örnekte ise e şit a ğırlıklı iki hedefli bir problemin çözümü grafik yöntemle ara ştırılacaktır. Problemin hedef programlama modeli a şa ğıda verilmi ştir. Hedef kısıtı 1: Hedef kısıtı 2: kısıtları altında Şekil 7.3’ten de görüldüğü üzere, her iki hedef kısıtı da sistem kısıtları tarafından sağlanan uygun çözüm alanı içinde yer almaktadır. Birinci hedeften istenmeyen sapma de ği şkeni olduğundan birinci hedef küçük e şitlik yönünde; ikinci hedeften istenmeyen sapma olduğundan ikinci hedef büyük e şitlik yönündedir. Birinci hedef fonksiyonunun ve ikinci hedef fonksiyonunun da olması nedeniyle, problemin en uygun çözüm de ğeri OAB üçgeninde aranacaktır. Uygun çözüm alanının köşe noktaları, ( ) değerleri hedef kısıtlarında yerine konarak elde edilen sapma de ği şkeni de ğerleri ve amaç fonksiyonun aldı ğı de ğerler Tablo 7.4’te verilmi ştir. Şekil 7.3: Örnek 7.12 Probleminin Grafiksel Gösterimi 164 Tablo 7.4: Uygun Kö şe Noktalarına Göre Amaç Fonksiyonu De ğerleri Uygun köşe noktası ( ) Sapma deği şkenleri Amaç fonksiyonu de ğeri O(0,2) ( ( ) 0 B(1.33,2) ( ( ) 0.02 A(0,3) ( ( ) 0 Tablo 7.4’ten görüldü ğü üzere problem için en uygun çözüm noktası, amaç fonksiyonu de ğerlerinin toplamının en küçük de ğeri aldı ğı hem O(0,2) hem de A(0,3) noktasıdır. Her iki noktada da amaç fonksiyonu de ğeri 0 olarak belirlenmi ştir. Bu durumda diyebiliriz ki, problem için en iyi sonuç (enk z=0) iki farklı noktada elde edilmi ştir. Dolayısıyla problem için birden fazla en iyi çözümü veren nokta bulunmaktadır. 165 Özet Gerçek hayatta kar şıla ştı ğımız birçok problem birden fazla amacı eniyilemeye yöneliktir. Bu çok amaçlı karar verme problemlerinin çözümünde do ğrusal programlama yöntemleri yetersiz kalmaktadır. Hedef Programlama, çok amaçlı probelmlerin çözümünde sıklıkla kullanılan yöntemlerden biri olarak kar şımıza çıkmaktadır. Kısıt yapılarına ba ğlı olarak bu ünitede do ğrusal hedef programlama yöntemi ele alınmı ştır. Do ğrusal programlamadan farklı olarak, hedef programlama problemlerinin modellenebilmesi için hedef, sapma de ği şkenleri, hedef kısıtları, amaç öncelikleri ve a ğırlıkları kavramlarının bilinmesi gerekmektedir. Hedef programlama modellerinde amaç fonksiyonunda karar de ği şkenleri yer almazlar. Amaç fonksiyonu, belirlenen hedeflerden istenmeyen yönde olu şan sapmaların toplamının en küçüklenmesi şeklinde kurulur. Hedef türüne ba ğlı olarak amaç fonksiyonunda en küçüklenmesi gereken sapma de ği şkenleri tabloda verilmi ştir. Hedef Türü Hedef Kısıtı İstenmeyen Sapma De ği şkeni , ) Bazı durumlarda karar vericiler, ele aldıkları problemdeki her bir amaca ya da amaç grubuna bir öncelik verebilir. Yanı s ıra, modeldeki sapmaların önem dereceleri de birbirinden farklı olabilir. Bu durumda her bir sapmanın di ğerlerine oranla göreceli olarak önemini gösteren a ğırlık de ğerleri verilebilir. Do ğrusal hedef programlama modellerinde kurulan amaç fonksiyonuna ba ğlı olarak be ş farklı hedef programlama modelinden bahsedebiliriz. Ele alınan problemin tek bir hedefi olması durumunda ortaya çıkan programlama türü, tek hedefli programlamadır. Sadece, belirlenen hedeften istenmeyen yöndeki sapma(lar) en küçüklenir. Ele alınan problemde birden fazla hedef eniyilenmeye çalı şılıyorsa ve hedef ile sapma de ği şkenlerinin herhangi bir önceli ğinin bulunmaması halinde ortaya çıkan programlama türü, e şit a ğırlıklı çok hedefli programlamadır. Amaç fonksiyonu istenmeyen sapma de ği şkenlerinin toplamı şeklinde kurulur. Hedeflerdeki sapma de ği şkenlerinin önem derecelerinin birbirinden farklı olması halinde sapma de ği şkenlerine a ğırlık de ğerleri verilebilir. Amaç fonksiyonunun, sapma de ği şkenlerinin ağırlıklandırılmı ş toplamının en küçüklenmesi şeklinde oluşturuldu ğu programlama türü de a ğırlıklı çok hedefli programlamadır. Sapma de ği şkenlerinin eşit a ğırlıklı fakat hedeflerin farklı önceliklerinin olması durumunda da öncelikli çok hedefli programlama türü ortaya çıkmaktadır. Öncelikli hedef programlama modellerinde bazı durumlarda sapma de ği şkenlerinin farklı a ğırlıklara sahip oldu ğu durumlar kar şımıza çıkabilmektedir. Bu durumda ortya çıkan programlama türü de öncelikli-ağırlıklı çok hedefli programlamadır. Do ğrusal hedef programlama problemlerinin çözümünde kullanılan yöntemlerden biri grafik yöntemdir. Sistem kısıtları grafik üzerinde çizildikten sonra bir uygun çözüm alanı sa ğlanıyorsa, ikinci adımda hedef kısıtlarının grafik üzerinde çizimi yapılır. Bu yöntem iki karar deği şkeni olan problemlerde etkin bir şekilde kullanılmaktadır. 166 Kendimizi Sınayalım 1. Hedef programlama ile ilgili ifadelerden hangisi yanlı ştır? a. Sapma de ği şkenleri modeldeki tüm kısıtlarda yer alır. b. Amaç fonksiyonu istenmeyen sapma de ği şkenlerinin toplamı en küçüklenecek şekilde olu şturulur. c. Hedefler, hedef kısıtına dönüştürülerek modelde yer alırlar. d. Modeldeki tüm deği şkenler sıfır ve/veya sıfırdan büyük de ğer alır. e. Hedeflere öncelik sırası verilebilir. 2. Amaç fonksiyonu olarak belirlenen çok amaçlı bir hedef programlama problemine ili şkin bilgilerden a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? a. Problemin iki öncelikli üç hedefi vardır. b.Birinci hedef üçüncü hedeften daha önemlidir. c. Birinci hedef ’lik yönündedir. d. İkinci hedef ’lik yönündedir. e. Üçüncü hedef ’lik yönündedir. 3. Üç hedefli bir problemde birinci hedef ’lik, ikinci hedef =’lik ve üçüncü hedef ’lik yönündedir. İkinci hedefin pozitif sapma de ği şkeninin negatif sapma de ği şkeninden 4 kat daha önemli olması durumunda, problemin amaç fonksiyonu a şa ğıdakilerden hangisidir? a. b. c. d. e. 4. Bir üretim firmasında yıllık üretim miktarı en az 50000 adet olmalı ve yıllık sipari ş verme maliyetleri en fazla 2000 lira olmalı hedeflerine kar şılık yıllık üretim miktarı 53000 adet ve sipari ş verme maliyetleri 2100 lira olarak gerçekle şmi ştir. Bu durumda her iki hedefe yönelik gerçekle şen sapma de ği şkeni de ğerleri a şa ğıdakilerden hangisidir? a. b. c. d. e. 5. Bir i şletme aylık üretim dönemine ili şkin üç hedef belirlemi ştir. Bu hedefler sırasıyla, en fazla 300 saat i şçilik kullanılması, bakım giderleri için tam olarak 1000 lira ödenmesi ve aylık karın en az 6000 lira olması şeklindedir. Hedefler için herhangi bir öncelik ve ağırlık verilmemesi durumunda, firmanın hedef programlama probleminde oluşturulan amaç fonksiyonu a şa ğıdakilerden hangisidir? a. b. c. d. e. 6. Be şinci soruda ele alınan problemin ilk iki amacı e şit önemde ve üçüncü amacı da di ğer amaçlardan daha önemli olması durumunda olu şturulacak amaç fonksiyonu a şa ğıdakilerden hangisidir? a. b. c. d. e. 167 7. Matematiksel modeli izleyen şekilde verilen bir hedef programlama problemi için a şa ğıdakilerden hangisi do ğrudur? kısıtları altında a. Modele ait dört sistem kısıtı vardır. b. Birinci hedef küçük eşitlik yönündedir. c. Birinci hedef büyük eşitlik yönündedir. d. İkinci hedef büyük e şitlik yönündedir. e. Her iki hedef de tam olarak sa ğlanmak istenmektedir. 8. Yedinci soruda ele alınan problemde, karar vericiler ikinci hedefin birinci hedeften 5 kat daha önemli olduğunu dü şünd ğüne göre yeni amaç fonksiyonu a şa ğıdakilerden hangisi olacaktır? a. b. c. d. e. 9. Hedef fonksiyonu olan bir problemin grafi ği şekilde verilmi ştir. Buna göre a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? a. Hedef kısıtı uygun çözüm alanı içindedir. b. A(0,80) noktasında negatif sapma değeri sıfırdır. c. B(20,60) noktasında negatif sapma de ğeri 20’dir. d. C(40,20) noktasında pozitif sapma de ğeri 20’dir. e. D(40,20) noktasında hedef tam olarak sa ğlanmaktadır. 10. Matematiksel modeli a şa ğıda verilen bir hedef programlama problemi için a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır? kısıtları altında a. Problemin iki amacı vardır. b. Modele ait üç sistem kısıtı vardır. c. Birinci hedef büyük e şitlik yönündedir. d. İkinci hedef büyük e şitlik yönündedir. e. Her iki hedef de enküçüklenmek istenmektedir. 168 Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. a Yanıtınız yanlı ş ise “Hedef Programlamada Temel Kavramlar” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. d Yanıtınız yanlı ş ise “Amaç Fonksiyonunun Olu şturulması” başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. c Yanıtınız yanlı ş ise “A ğırlıklı Çok Hedefli Programlama” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. b Yanıtınız yanlı ş ise “Hedef Kısıtlarının Olu şturulması” başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. c Yanıtınız yanlı ş ise “Amaç Fonksiyonunun Olu şturulması” başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. a Yanıtınız yanlı ş ise “Öncelikli Çok Hedefli Programlama” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. c Yanıtınız yanlı ş ise “Modelleme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. e Yanıtınız yanlı ş ise “Amaç Fonksiyonunun Olu şturulması” başlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. c Yanıtınız yanlı ş ise “Grafik Yöntemi” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. e Yanıtınız yanlı ş ise “Modelleme” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 Bir grafik üzerinden de görülece ği üzere, system kısıtları ile uygun bir çözüm alanı olu şmamaktadır. Dolayısıyla, sistemin uygun bir çözümü yoktur ve hedef kısıtları da sa ğlanamamaktadır. Sıra Sizde 2 birinci tür kamyonun aylık kullanım miktarı ikinci tür kamyonun aylık kullanım miktarı üçüncü tür kamyonun aylık kullanım miktarı olmak üzere, birinci hedef fonksiyonumuz ; ikinci hedef fonksiyonumuz da şeklinde matematiksel olarak ifade edilebilir. Birinci hedef fonksiyonumuzda hedef miktarı 20 (kullanım/ay)’nin aşılmaması gerekti ğinden istenmeyen sapma de ği şkeni pozitif sapma de ği şkeni olan ’dır. İkinci hedef fonksiyonumuzda ise hedef miktarı 40 (kullanım/ay)’ın altına düşülmek istenmedi ğinden istenmeyen sapma de ği şkeni negatif sapma deği şkeni olan. Sıra Sizde 3 Örnek 7.4’te incelenen sistemde ikinci hedefin birinci hedeften 4 kat daha fazla olması durumunda amaç fonksiyonu olarak kurulur. 169 Yararlanılan Kaynaklar Alp, S. (2008). Do ğrusal hedef programlama yöntemi kullanılarak kentiçi otobüsle toplu ta şıma sistemi için bir model olu şturulması ve uygulanması. Yayınlanmamı ş doktora tezi. Marmara Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü: İstanbul. Charnes, A. And Cooper, W.W. (1977). Goal Programming and Multiple Objective Optimizations, Part I, European Journal of Operational Research, pg. 39. Cinemre, N. (2011). Yöneylem Araştırması, Evrim Yayınevi: İstanbul. Ignizio, J.P. (1976). Goal Programming and Extensions, Lexington Book: London. Öztürk, A. (2011). Yöneylem Araştırmasına Giri ş, Bursa: Ekin Yayınevi. Taha, A.H. (2010). Yöneylem Araştırması, 6. Basımdan Çeviri, Çev.:Baray, Ş.A. ve Esnaf, Ş., İstanbul: Literatür Yayıncılık. Winston, W.L. (1994). Operations Research: Applications and Algorithms, Duxbury Press: United States of Amerika. 170 Amaçlarımız Bu üniteyi tamamladıktan sonra; Ula ştırma ve atama problemlerinin do ğrusal karar modellerini kurabilecek, Dengelenmi ş modeli olu şturabilecek, Ula ştırma modeline bir başlangıç temel uygun çözüm bulabilecek, Ula ştırma modelinde mevcut çözümün eniyili ğini sorgulayabilecek, Tablo üzerindeki i şlemlerle ula ştırma problemini çözebilecek, Atama problemlerinin çözümü için Macar algoritmasını kullanabilecek bilgi ve becerilere sahip olabilirsiniz. Anahtar Kavramlar Ula ştırma Ula ştırma Tablosu Dengelenmi ş Model Kuzeybatı Kö şe Enküçük Maliyet Döngü VAM Atlama Ta şı De ği şim De ğeri MODI Atama Macar Algoritması İçindekiler Giri ş Ula ştırma Modeli Ula ştırma Modelinde Ba şlangıç Çözüm Bulma Ula ştırma Modelinde Eniyilik Sınaması Ula ştırma Modelinde Yeni Temel Uygun Çözüm Atama Modeli Atama Modelinin Macar Algoritması İle Çözümü 8 171 G İR İŞ Bu ünitede, do ğrusal programlamanın özel bir türü olan ula ştırma ve atama modelleri yer almaktadır. Genel olarak ürünlerin birden fazla üretim noktasından, birden fazla tüketim noktasına da ğıtımı ile ilgili problemler, ula ştırma veya atama problemleri (transportation or assignment problems) olarak adlandırılır. Ula ştırma modellerinin uygulamaları sadece ürünlerin coğrafi bir merkezden coğrafi bir ba şka noktaya ta şınması ile sınırlı de ğildir. Stok kontrolü, i şgücü planlaması, kurulu ş yeri seçimi, i şlerin makinelere dağıtımı gibi alanlarda da ula ştırma modelleri kullanılabilmektedir. Ula ştırma probleminin genel hali Şekil 8.1’de görülmektedir. Her biri bir düğüm olarak gösterilen s i kapasitesine sahip m adet kaynak noktası ve her biri d j talebine sahip n adet hedef noktası vardır. Dü ğümleri birle ştiren oklar, kaynaklarla hedefler arasında mümkün olan ta şıma rotalarını göstermektedir. (i, j) ba ğlantısı, i. kaynaktan j. hedefe ürün gönderilebildi ği anlamına gelmekte, ta şıma maliyeti ve ta şıma miktarı olmak üzere iki tür bilgi içermektedir. Amaç, mevcut kaynakları kullanarak tüm talebi karşılayacak şekilde enküçük maliyetli da ğıtım planının bulunmasıdır. Şekil 8.1: Ula ştırma probleminin genel gösterimi Atama modelinde amaç, bir etkinli ği eniyilemek için kaynak kullanımının bire bir da ğıtımını sa ğlamaktır. Ula ştırma probleminin özel bir hali olan atama problemleri ile genellikle i şlerin makinelere da ğıtımı, ki şilerin i şlere tayini, personelin satı ş bölgelerine da ğıtımına benzer durumlarda kar şıla şılmaktadır. Kaynaklar ve hedefler arasındaki mal veya hizmet akı şı ile ilgili olan ula ştırma problemlerinde, birden fazla hedef noktasına da ğıtım yapabilmek mümkündür. Atama problemlerinde ise, bir kaynak noktasından sadece bir hedefe atama yapılabilmekte ve bir hedefe sadece bir kaynak noktası atanabilmektedir. Şekil 8.1’de kaynak ve hedef noktası sayısı e şit olarak kabul edilip, kaynak kapasiteleri ve hedef talepleri “1” olarak alınırsa, ula ştırma problemi atama problemine dönü şmü ş olur. Ulaştırma ve Atama Modelleri 172 Ula ştırma ve atama modelleri için, kısıtlarının özel yapısı nedeniyle simpleks algoritmasına göre daha etkin çözüm yöntemleri geli ştirilmi ştir. Özel çözüm algoritmalarının olması, do ğrusal programlama modelleri arasında ayrı bir öneme sahip olmalarını sa ğlamaktadır. ULA ŞTIRMA MODEL İ Ula ştırma problemlerinin ta şıdı ğı genel özellikler a şa ğıdaki gibi sıralanabilir: 1. Bir mal veya hizmet şeklinde ürün gönderen, m adet üretim merkezi vardır. Üretim merkezlerinin kapasiteleri bilinmektedir. 2. Ürünün gönderildi ği n adet tüketim merkezi vardır. Tüketim merkezlerinin talep ettikleri miktarlar bilinmektedir. 3. Bir üretim merkezinden bir tüketim merkezine gönderilen her 1 birim ürün için ortaya çıkan birim ta şıma (gönderme) maliyeti bilinmekte olup, toplam ta şıma maliyeti ta şınan miktarla doğru orantılı olarak de ği şmektedir. 4. Da ğıtımı yapılacak mal veya hizmet olarak tanımlanmı ş ürün, bütün üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve türde tanımlıdır. Üretim merkezlerine, kaynaklar, yükleme merkezleri veya sunum noktaları; tüketim merkezlerine de hedefler, talep noktaları veya bo şaltım yerleri denilebilmektedir. Ulaştırma Probleminin Modellenmesi Ula ştırma problemlerinde cevap aranan soru, hangi üretim merkezinden, hangi tüketim merkezine ne kadar ürün ta şınaca ğıdır. Bu soru aynı zamanda karar de ği şkenlerini tanımlamakta olup, sorunun cevabı ürün da ğıtım planını verecektir. Ula ştırma problemlerinde iki temel kısıt vardır: 1. Bir üretim merkezinden tüm tüketim merkezlerine gönderilen toplam ürün miktarı, üretim merkezinin kapasitesini a şamaz. 2. Bir tüketim merkezine bütün üretim merkezlerinden gönderilen toplam ürün miktarı, tüketim merkezinin talebini kar şılamalıdır. Birinci tipteki temel kısıtların sayısı üretim merkezi sayısına e şittir. Bu kısıtlar, bir kaynaktan birden fazla hedefe ürün da ğıtılmasına izin verir. Tüketim merkezi sayısına eşit olan ikinci tip temel kısıtlarla ise, bir hedef noktasının talebinin birden fazla kaynaktan kar şılanması sa ğlanır. Amaç, bir yandan tüketim noktalarının talep gereksinimleri ile üretim merkezlerinin sunum miktarlarında denge sa ğlarken, aynı zamanda toplam taşıma maliyetini de enküçüklemektir. Bazı durumlarda elde edilecek bir kazancın enbüyüklenmesi amacı da benimsenebilmektedir. Karar de ği şkenlerinin negatif de ğer almaması yanında, temel kısıtların dı şında özel kısıtı olmayan ulaştırma problemlerinde, toplam ta şıma maliyeti de miktarla do ğru orantılı olarak de ği şiyorsa, problemin çözümü için geli ştirilen matematiksel model bir do ğrusal karar modeli olur. Do ğrusal karar modelinin nasıl olu şturulaca ğı izleyen örnek problem üzerinde gösterilmektedir. Örnek 8.1. Bir gıda şirketine ait üç ayrı fabrikada imal edilen bir ürünün, üç ayrı bölge deposuna da ğıtımı istenmektedir. Fabrikaların gönderilecek ürünle ilgili kapasiteleri sırasıyla haftada 100, 180 ve 200 kolidir. Depoların gereksinim duydu ğu haftalık miktarlar ise sırasıyla 135, 175 ve 170 koli olarak bildirilmi ştir. Tablo 8.1’de fabrikalardan depolara olan birim ta şıma maliyetleri görülmektedir. En düşük maliyetli da ğıtım planını bulmayı sa ğlayan do ğrusal karar modelini geli ştiriniz. 173 Tablo 8.1: Birim taşıma maliyetleri ( / koli) Fabrikalar Depolar 1 2 3 1 6 7 4 2 5 3 6 3 8 5 7 Toplam ta şıma maliyetinin enküçüklenmesinin istendiği problemin karar deği şkenleri, x ij : i. fabrikadan j. depoya ta şınacak ya da gönderilecek ürün miktarı (i, j=1,2,3) (koli/hafta) olarak tanımlanırsa, modele esas olan gösterim, Şekil 8.2’de görüldü ğü gibi çizilebilir. Şekil 8.2: Üç fabrika ve üç depolu problemin gösterimi Örnek problemde kaynak sayısı m=3 ve hedef sayısı n=3 oldu ğundan, karar modelinde 9 karar de ği şkeni (= m×n = 3×3) ve 6 temel kısıt (= m+n = 3+3) yer alacaktır. Toplam ta şıma maliyetinin enküçüklenmesi olarak tanımlanmı ş olan amaç, matematiksel fonksiyon olarak aşa ğıdaki şekilde ifade edilir. Problemin iki temel kısıtı, fabrikaların kapasiteleri ve depoların taleplerine yöneliktir. Kapasitelerin a şılmadan ürün gönderilmesi ile ilgili kısıtlar a şa ğıda görülmektedir. (1. fabrikadan gönderilen toplam miktar 100 koliyi a şamaz.) (2. fabrikadan gönderilen toplam miktar 180 koliyi a şamaz.) (3. fabrikadan gönderilen toplam miktar 200 koliyi a şamaz.) İkinci tip kısıtlar ise, depo taleplerinin karşılanması ile ilgilidir. (1. depoya gönderilen toplam miktar en az 135 koli olmalıdır.) (2. depoya gönderilen toplam miktar en az 175 koli olmalıdır.) . depoya gönderilen toplam miktar en az 170 koli olmalıdır.) Son olarak, karar de ği şkenlerinin negatif de ğer alamayaca ğını gösteren i şaret kısıtları modele eklenir. Ula ştırma problemi için geli ştirilen do ğrusal karar modeli bütün olarak, a şa ğıda görülmektedir. 174 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 7 5 8 6 5 5 4 7 6 . . 170 175 135 200 180 100 x x x x x x x x x Enkz a k x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + = ? + + ? + + ? + + ? + + ? + + ? + + Bir taşımacılık şirketi, üç silodan dört i şleme merkezine tahıl ta şımaktadır. Ta şınan ürün miktarı dolu kamyon yükü ile ifade edilmektedir. Siloların aylık gönderme kapasiteleri sırasıyla 6, 4 ve 2 kamyon yükü iken, i şleme merkezlerinin aylık talepleri ise sırasıyla 4, 3, 3 ve 2 kamyon yükü olarak bildirilmi ştir. Silolardan i şleme merkezlerine olan ta şıma maliyetleri Tablo 8.2’de verilmi ş olan ula ştırma probleminin doğrusal karar modelini olu şturunuz. Tablo 8.2: Birim taşıma maliyetleri ( / dolu kamyon yükü) Silolar İşleme Merkezleri 1 2 3 4 1 100 20 200 110 2 120 70 90 200 3 40 140 160 180 Ulaştırma Tablosu Ula ştırma modelinin boyutlarının büyük olması (m+n kısıt, m×n de ği şken) ve problemin özel yapısı, simpleks algoritmasından ba şka yöntemlerle de çözüm bulunmasına izin vermektedir. Ulaştırma modelinin çözümü için geli ştirilen yakla şımlar, esas itibarı ile do ğrusal programlamanın özelliklerine dayalıdır. Geliştirilen yakla şımlarda, ula ştırma modeli bir tablo halinde ele alınarak tüm i şlemler bu tablodan hareketle yapılır. Ula ştırma tablosu, üretim merkezleri satırlarda, tüketim merkezleri sütunlarda olmak üzere m×n sayıda hücresi olan bir tablodur. Üretim ve tüketim merkezlerinin kesi ştiği her bir hücre, bir karar de ği şkenine kar şı gelir. Her hücrenin sa ğ veya sol üst kö şesine birim ta şıma maliyetleri yazılır. Üretim merkezlerinin kapasiteleri, satırların en sağında; tüketim merkezlerinin talepleri de sütunların altında yer alır. Örnek 1’deki gıda şirketi probleminin ula ştırma tablosu Tablo 8.3’de görülmektedir. Üretim merkezleri olan fabrikalar satırlarda, tüketim merkezleri olan depolar ise sütunlarda gösterilmi ştir. Hücrelerin içerisinde yer alan X ij ’ler karar deği şkenleridir. Örneğin X 12 de ği şkeni, birinci fabrikadan ikinci depoya gönderilen ürün miktarına karşı gelir. 175 Tablo 8.3: Gıda şirketi ile ilgili örne ğin ula ştırma tablosu Dengelenmiş Ulaştırma Modeli E ğer bir ulaştırma modelinin toplam sunum miktarı toplam talep miktarına e şit ise, “dengelenmi ş ulaştırma modeli”, e şit değilse “dengelenmemi ş ulaştırma modeli” olarak adlandırılır. S i , i. üretim merkezinin sunum miktarı, d j , j. tüketim merkezinin talep miktarı iken, dengelenmi ş modelde, e şitli ği sa ğlanır. Dengelenmemi ş modelde ise, olarak gerçekle şir. Örnek 1’de ele alınan problemin toplam sunum miktarı toplam talep miktarına e şittir. Problemde, olarak elde edildi ğinden, model “dengelenmi ş ula ştırma modeli” dir. Ula ştırma tablosu üzerinden çözüm i şlemlerini yürütebilmek için, modelin dengelenmi ş olması gerekmektedir. Bir ula ştırma modeli dengelenmemi ş ise, yapay kaynak ya da yapay hedef noktası eklentisiyle, model dengelenmi ş hale dönüştürülebilir. Bu durumda eklenen yapay noktanın sunum ya da talep miktarı, toplam sunum ile toplam talep arasındaki fark kadar olur. Yapay noktalara karşı gelen birim ta şıma maliyetleri ise aksi belirtilmedikçe sıfır olarak alınır. Bazen yapay kaynak noktasına ait ta şıma maliyetlerine sıfır yerine, belirlenen ceza maliyetleri de verilebilmektedir. İzleyen iki örnek, dengelenmemi ş problemlerin dengeli hale getirilmesiyle ilgilidir. Örnek 8.2. (Toplam sunum miktarının toplam talep miktarından çok oldu ğu ula ştırma problemi) Gıda şirketi örneğinde birinci fabrikanın kapasitesi 115 birime çıkarılmak istensin. Problemdeki di ğer tüm parametreler aynı kalmak ko şuluyla dengelenmi ş ula ştırma tablosunu olu şturun. Toplam sunum miktarı =115 +180+200=495 Toplam talep miktarı=135+175+170=480 Toplam sunum toplam talebi a ştı ğından, dengeyi sağlamak için yapay bir depo, ek sütun olarak modele eklenir ve yapay deponun talep miktarı 15 birim (= 495 – 480) olur. Böyle bir yer gerçekte olmadı ğından, bu noktaya olan taşıma maliyetleri sıfır alınır. Bu durum, kullanılmayan kapasite varlı ğına i şaret etmektedir. Tablo 8.4’te dengelenmiş ula ştırma tablosu görülmektedir. 176 Tablo 8.4: Toplam sunum miktarının toplam talep miktarından fazla olduğu ulaştırma problemi Örnek 8.3. (Toplam talep miktarının toplam sunum miktarından çok oldu ğu ula ştırma problemi) Gıda şirketi örne ğinde, ikinci deponun talep miktarı 200 birime yükselmi ştir. Zamanında kar şılanmayan talep için ceza maliyetinin dikkate alınması istenmektedir. Ceza maliyeti, talep dı şı kalmanın bir bedeli olarak ortaya çıkacağı öngörülen maliyet olup, birinci depo için 10, ikinci depo için 12 ve üçüncü depo için 15 olacağı tahmin edilmektedir. Problemdeki di ğer tüm parametreler aynı kalmak ko şuluyla dengelenmi ş ula ştırma tablosunu olu şturun. Toplam sunum miktarı =100+180+200=480 Toplam talep miktarı=135+200+170=505 Toplam talep toplam sunumu a ştı ğından, dengeyi sa ğlamak için yapay bir fabrika modele eklenir ve kapasitesi 25 birim (= 505 – 480) olur. Tablo 8.5’te ula ştırma tablosu görülmektedir. Tablo 8.5: Toplam talep miktarının toplam sunum miktarından fazla oldu ğu ula ştırma problemi A şa ğıda birim maliyet tabloları verilmiş her bir durum için dengelenmi ş ulaştırma tablosunu olu şturunuz. Yapay noktalar için ta şıma maliyetini sıfır alınız (S i = i. üretim noktasının kapasitesi, d j = j. tüketim noktasının talebi). 177 a. S 1 =10, S 2 =5, S 3 =4, S 4 =6 ; d 1 =10, d 2 =5, d 3 =7, d 4 =9 Tablo 8.6: Birim ta şıma maliyetleri ( / birim) Üretim noktaları Tüketim noktaları 1 2 3 4 1 3 4 4 5 2 6 7 4 8 3 4 10 9 3 4 2 3 7 6 b. S 1 =30, S 2 =44 ; d 1 =25, d 2 =30, d 3 =10 Tablo 8.7: Birim taşıma maliyetleri ( / birim) Üretim noktaları Tüketim noktaları 1 2 3 1 12 9 7 2 6 10 8 Dengelenmi ş ula ştırma modelinin ta şıdı ğı üç önemli özellik vardır: 1. Üretim merkezi sayısı “m” ve talep merkezi sayısı “n” iken, dengelenmi ş ulaştırma modelinin bir temel uygun çözümünde en fazla (m + n -1) adet de ği şken temelde yer alabilir. 2. Her dengelenmi ş ula ştırma modelinin en az bir uygun çözümü olup, eniyi çözümü de vardır. 3. Ula ştırma modelinde, sunum ve talep miktarlarına kar şı gelen de ğerler tamsayı ise, karar de ği şkenleri her temel uygun çözümde, dolayısıyla eniyi çözümde tamsayı de ğer alır. Ula ştırma problemleri, doğrusal karar modelini olu şturup simpleks algoritmasını kullanarak çözülebilir. Bu durumda problemi dengelemeye gerek yoktur. Fakat dengelenmiş model üzerinde yapılan araştırmalarla, ula ştırma modelinin simpleks algoritmasına göre çok daha kolay çözülebilece ği anla şılmı ştır. Ula ştırma problemlerine özgü çözüm algoritmasında, öncelikle probleme ait dengelenmiş ulaştırma tablosu olu şturulmakta ve i şlemler tablo üzerinde gerçekle ştirilmektedir. Ula ştırma problemleri için geliştirilmi ş çözüm algoritmasının ba şlıca üç adımı bulunmaktadır: 1. Bir ba şlangıç temel uygun çözümün bulunması. 2. Eniyilik sınamasının yapılması. 3. Eniyi çözüme eri şilmemi şse izleyen temel uygun çözümün bulunarak ikinci adıma dönülmesi. Algoritma adımlarını uygularken kullanılabilecek farklı yaklaşımlar, izleyen bölümlerde ayrıntılı şekilde ele alınmaktadır. ULA ŞTIRMA MODEL İNDE BA ŞLANGIÇ ÇÖZÜM BULMA Ula ştırma modelinde talep ve sunum kısıtlarını sağlayan herhangi bir çözüm, sıfırdan büyük e şit olma koşuluna da uyuyorsa problem için uygun bir çözümdür. Bununla birlikte, en iyi çözüm olup olmadı ğını sınayabilmek ve ula ştırma tablosu üzerinde i şlemleri yürütebilmek için, bu çözümün “temel uygun çözüm” olması gerekir. Bir ula ştırma modelinde herhangi bir uygun çözümün, temel uygun çözüm olma şartı, temel deği şken sayısının 178 adet olmasıdır. Bir ba şka deyi şle, bir uygun çözümde en fazla () adet de ği şkenin sıfırdan farklı de ğer alabilmesidir. E ğer temel deği şkenlerden bazıları sıfır değerini almı şsa, çözüm “bozulmu ş temel uygun çözüm” olarak adlandırılır. Bu bölümde, dengelenmi ş ulaştırma modeline bir ba şlangıç temel uygun çözüm bulmak için en çok kullanılan üç yöntem tanıtılmaktadır. Bu yöntemler, 1. Kuzeybatı kö şe yöntemi (Northwest corner method) 2. Enküçük maliyet yöntemi (Minimum cost method) 3. VAM yöntemi (Vogel’s approximation method) olarak sıralanabilir. Yöntemlerin anlatımında, ula ştırma tablosunda i. satır ve j. sütunun kesi ştiği hücre (i, j) hücresi olarak adlandırılmakta ve (i, j) hücresine atanan de ğer X ij ile gösterilmektedir. Ayrıca, i. satıra kar şı gelen kayna ğın kapasitesi S i , j. sütuna kar şı gelen hedefin talep miktarı d j olarak ifade edilmektedir. Kuzeybatı Köşe Yöntemi İle Başlangıç Çözüm Bulma Ba şlangıç temel uygun çözümü oluşturmak için en basit ve hızlı olan yöntemdir. Bu yöntemde, ta şıma maliyetleri göz önüne alınmaz. Ula ştırma tablosunun kuzeybatı (en sol üst) kö şesinden güneydoğu köşesine do ğru hücrelere de ğer atanır. Her adımda tablodaki bir satır veya sütun i şlem dı şı bırakılarak, tablo daraltılır. Kuzeybatı kö şe yönteminin adımları a şa ğıdaki şekilde sıralanabilir: 1. Tablonun en kuzeybatısında yer alan ve sayısal bir değer atanmamı ş (i, j) hücresi seçilir. Bu hücreye, i. satırdaki sunum ve j. sütundaki talep değerleri göz önüne alınarak, mümkün olan enbüyük de ğer atanır. Atanacak bu de ğer e şitli ği ile gösterilebilir. 2. Atanan miktar, i. satırın sunum ve j. sütunun talep de ğerlerinden çıkarılarak, S i ve d j de ğerleri güncellenir. 3. Güncellenen S i ve d j de ğerlerinden en az biri sıfır olacaktır. Sıfır değerine kar şı gelen satır veya sütundan sadece birisi i şlem dı şı bırakılarak tablo daraltılır. İşlem dı şı kalması, bir daha bu satır veya sütuna atama yapılmasını engellemek içindir. Bu a şamada 3 faklı durumla kar şıla şılabilir: • E ğer S i = 0 ise i. satır i şlem dı şı bırakılır. • E ğer d j = 0 ise j. sütun i şlem dı şı bırakılır. • E ğer her ikisi de sıfır ise, ya satır ya da sütundan herhangi birisi i şlem dı şı b ırakılır. Di ğeri sıfır talep ya da kapasiteye sahip olarak daraltılmı ş tabloda kalır. 4. İşlem dı şı b ırakılmamı ş sadece bir satır veya sütun kaldı ğında algoritma sonlanır. Kalan miktarlar son satır veya sütundaki uygun yerlere atanır. Aksi halde birinci adıma dönülür. Örnek 8.4. Gıda şirketi problemi için, kuzeybatı köşe yöntemini kullanarak bir ba şlangıç temel uygun çözüm olu şturunuz. Şekil 8.3’te, kuzeybatı köşe yönteminin uygulanması altı a şamada gösterilmektedir. Ta şıma maliyetleri bu yöntemde dikkate alınmadı ğından, ulaştırma tablosunda yer almamı ştır. Tablodaki her satır bir fabrikaya ve her sütun bir depoya kar şı gelir. Her adımda atama yapılan hücre yuvarlak içerisine 179 alınmakta, i şlem dı şı b ırakılan satır veya sütunlar, bir sonraki adım ba şında koyu renkli olarak görünmektedir. Satırların sonunda veya sütunların altında görünen “X” i şareti ilgili konumun i şlem dı şı kaldı ğı anlamına gelmektedir. Şekil 8.3: Kuzeybatı kö şe yöntemi ile ba şlangıç çözüm bulunması İlk a şamada ula ştırma tablosu görülmektedir. İkinci a şamada tablonun kuzeybatısında bulunan (1,1) hücresine koşuluna uygun olarak “100” de ğeri atanır. Birinci satırın kapasite ve birinci sütunun talep miktarlarından bu de ğer çıkarılır. Birinci satıra kar şı gelen tüm kapasite kullanılmı ş olduğundan, bu satır i şlem dı şı bırakılır. Üçüncü a şama ba şında daraltılmı ş tablonun kuzeybatısındaki (2, 1) hücresine e şitli ğinden hareketle “35” de ğeri atanır. İkinci satırın kapasite ve birinci sütunun talep miktarları güncellenir. Birinci sütuna kar şı gelen tüm talep kar şılandı ğından, bu sütun i şlem dı şı bırakılır. Dördüncü a şamada daraltılmı ş tablonun kuzeybatısında bulunan (2, 2) hücresine koşuluna uygun olarak “145” de ğeri atanır. Bu atama ile ikinci satıra kar şı gelen tüm kapasite kullanılmı ş olaca ğından bu satır i şlem dı şı bırakılır. Be şinci aşamada kalan iki bo ş hücreye de atama yapılarak, tüm kapasite ve talep kısıtlarını sa ğlayan bir temel uygun çözüm bulunmu ş olur. Elde edilen çözümde, de ğerini ve kalan di ğer karar deği şkenleri sıfır değerini almaktadır. Ba şlangıç çözümün amaç fonksiyonu de ğerini veren toplam ta şıma maliyeti ise Tablo 8.8’de görüldü ğü gibi 2550’ ye e şittir. Tablo 8.8: Kuzeybatı kö şe yöntemi ile bulunan çözümün toplam ta şıma maliyeti Da ğıtım Ta şıma miktarı Birim maliyet Toplam maliyet Fabrikadan Depoya 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 100 35 145 30 170 6 5 3 5 7 600 175 435 150 1190 Toplam 2550 S ıra Sizde 1’de verilen ula ştırma problemi için, kuzeybatı kö şe yöntemini kullanarak bir ba şlangıç temel uygun çözüm olu şturunuz. Başlangıç çözümün ta şıma maliyetini bulunuz. 180 Ba şlangıç temel uygun çözüm bulma yöntemlerini kullanırken, her adımda daraltılmı ş tabloları ayrı ayrı düzenlemeye gerek yoktur. Tüm i şlemler aynı tablo üzerinde rahatlıkla yapılabilir. En Küçük Maliyet Yöntemi İle Başlangıç Çözüm Bulma Birim ta şıma maliyetlerini esas alan bu yöntemde, her seferinde daraltılmı ş tabloda en dü şük maliyetli olan hücreye atama yapılır. Atama yapılacak hücrenin seçimi haricinde, hücrelere atanacak de ğerin belirlenmesi, sunum ve talep miktarlarının güncellenmesi ve i şlem dı şı bırakma adımları kuzeybatı kö şe yönteminde oldu ğu gibidir. Enküçük maliyet yönteminin adımları a şa ğıdaki şekilde sıralanabilir: 1. Tablo genelinde en dü şük maliyete sahip olan ve sayısal bir de ğer atanmamı ş (i, j) hücresi seçilir. En dü şük maliyetli birden fazla hücre varsa, herhangi biri ele alınabilir. 2. Bu hücreye, i. satırdaki sunum ve j. sütundaki talep de ğerleri göz önüne alınarak, mümkün olan enbüyük de ğer atanır. 3. Atanan miktar, i. satırın sunum ve j. sütunun talep de ğerlerinden çıkarılarak, S i ve d j de ğerleri güncellenir. 4. Sıfır değerine kar şı gelen satır veya sütundan sadece birisi işlem dı şı bırakılarak tablo daraltılır. 5. İşlem dı şı b ırakılmamı ş sadece bir satır veya sütun kaldı ğında algoritma sonlanır. Kalan miktarlar son satır veya sütundaki uygun yerlere atanır. Aksi halde birinci adıma dönülür. Örnek 8.5. Gıda şirketi problemi için, enküçük maliyet yöntemini kullanarak bir ba şlangıç temel uygun çözüm olu şturunuz. Şekil 8.4’te, en küçük maliyet yönteminin uygulanması a şamalar halinde gösterilmektedir. İlk a şamada, tablodaki tüm hücreler arasında en küçük ta şıma maliyetli olan (2, 2) hücresi seçilir. İkinci a şamada, bu hücreye atanabilir enbüyük de ğer ko şuluna uygun olarak “175” olarak belirlenir. (2, 2) hücresine 175 birim atandıktan sonra, ikinci satırdaki kapasite ve ikinci sütundaki talep miktarları, bu değerin çıkarılmasıyla güncellenir. Bu güncelleme sonucunda ikinci deponun tüm talebi kar şılandı ğından, ikinci sütun i şlem dı şı bırakılmakta ve daraltılmı ş tabloda atama yapılabilir altı boş hücre kalmaktadır. Üçüncü a şamada, daraltılmı ş tabloda enküçük ta şıma maliyetine sahip olan (1, 4) hücresine atama yapılır. Atanan de ğer e şitli ğinden “100” olarak bulunur. Birinci satırdaki kapasite ve üçüncü sütundaki talep miktarları güncellenir. Birinci satır i şlem dı şı b ırakılınca, daraltılmı ş tabloda sadece 4 boş hücre kalmaktadır. Dördüncü a şamada, de ğer atanacak hücre, birim ta şıma maliyeti “5” olan (2, 1) hücresidir. Bu hücreye e şitli ğinden hareketle “5” birim atanarak, ikinci satırın kalan kapasite ve birinci sütunun kalan talep miktarları güncellenir. Bu aşama sonunda atama yapılabilir sadece bir satır kalmı ştır. Be şinci a şamada (3,1) ve (3, 3) hücrelerine kalan de ğerler atanarak işlem tamamlanır. 181 Şekil 8.4: En küçük maliyet yöntemi ile ba şlangıç çözüm bulunması Elde edilen ba şlangıç temel uygun çözümde, de ğerini ve kalan di ğer karar deği şkenleri sıfır değerini almaktadır. Ba şlangıç çözümün amaç fonksiyonu de ğerini veren toplam ta şıma maliyeti 2480 olur. Bu de ğer, kuzeybatı kö şe yöntemi ile bulunandan daha dü şüktür. Bir i şletme sahip oldu ğu 3 fabrikada üretti ği mamulü 3 bölgede pazarlamaktadır. Fabrikaların aylık kapasiteleri sırasıyla 200, 160 ve 90 palet yüküdür. Bölgelerin talepleri ise sırasıyla 180, 120 ve 170 palet yüküdür. Birim ta şıma maliyetleri Tablo 8.8’de verilmi ş olup, e ğer kar şılanamayan talep olursa, bunun i şletmeye palet yükü ba şına 50’ye mal olaca ğını dü şünmektedir. En küçük maliyet yöntemini kullanarak, problem için bir ba şlangıç temel uygun çözüm olu şturunuz. Başlangıç çözümün ta şıma maliyetini bulunuz. Tablo 8.9: Birim ta şıma maliyetleri ( / palet yükü) Fabrikalar Depolar 1 2 3 1 16 20 12 2 14 8 18 3 36 24 16 VAM Yöntemi İle Başlangıç Çözüm Bulma VAM yöntemi, en dü şük maliyet yönteminin geli ştirilmi ş hali olarak dü şünülebilir. Tablo genelinde, birinci öncelikli hücre yerine ikinci öncelikli hücreye da ğıtım yapılması halinde birim ba şına kaçırılacak fırsatları bulup, en büyük fırsatın kaçırılmaması esasına dayanır. Ara ştırma sonuçları, VAM ile bulunan bir başlangıç temel uygun çözümün, di ğer yöntemlere göre daha az ardı ştırma ile eniyi çözüme ulaştı ğını ileri sürmektedir. 182 Atama yapılacak hücrenin seçimi haricinde, hücrelere atanacak de ğerin belirlenmesi, sunum ve talep miktarlarının güncellenmesi ve i şlem dı şı bırakma adımları önceki iki yöntemde oldu ğu gibidir. VAM yönteminin adımları a şa ğıdaki şekilde özetlenebilir: 1. Tablodaki her satır ve sütun için bir ceza puanı hesaplanır. Ceza puanı, o satır veya sütunda yer alan bo ş hücrelerdeki en küçük iki maliyet arasındaki farktır. 2. Ceza puanı en yüksek olan satır veya sütun seçilir. Ceza puanı aynı olan birden fazla satır ve sütun varsa, bunlardan herhangi biri ele alınabilir. 3. Bu satırdaki (veya sütundaki) bo ş hücreler içinde en dü şük maliyetli olan (i, j) hücresi belirlenir. 4. Bu hücreye, i. satırdaki sunum ve j. sütundaki talep de ğerleri göz önüne alınarak, mümkün olan enbüyük de ğer atanır. 5. Atanan miktar, i. satırın sunum ve j. sütunun talep de ğerlerinden çıkarılarak, S i ve d j de ğerleri güncellenir. 6. Güncellenen S i ve d j de ğerlerinden en az biri sıfır olacaktır. Sıfır değerine kar şı gelen satır veya sütundan sadece birisi i şlem dı şı bırakılarak tablo daraltılır. 7. İşlem dı şı b ırakılmamı ş sadece bir satır veya sütun kaldı ğında algoritma sonlanır. Kalan miktarlar son satır veya sütundaki uygun yerlere, en küçük maliyet yöntemine göre atanır. Aksi halde e ğer altıncı adımda i. satır i şlem dı şı kaldıysa sütunların, j. sütun i şlem dı şı kaldıysa satırların ceza puanları yeniden hesaplanır ve ikinci adıma dönülür. Örnek 8.6. Örnek 1’de verilen problem için, VAM yöntemini kullanarak bir ba şlangıç temel uygun çözüm bulunuz. Şekil 8.5’te VAM yöntemi ile ba şlangıç temel uygun çözümün elde edilme a şamaları görülmektedir. Ceza puanlarının yanındaki “*” i şareti, o adımdaki en yüksek ceza puanını ve dolayısıyla atama yapılan hücrenin yer aldı ğı satır veya sütunu göstermektedir. İlk a şamada her satır ve sütun için ceza puanları hesaplanır. Daha sonra tüm ceza puanları içerisinde en yüksek de ğerli olan seçilir. Örnekte üç satır ve iki sütunun ceza puanının en yüksek de ğer olan “2” olduğu görülmektedir. Bunlardan herhangi birisi atama yapılacak satır veya sütun olarak seçilebilir. İkinci a şamada birinci satır seçilmi ş ve bu satırdaki en dü şük maliyetli hücre (1, 3) hücresi olarak belirlenmi ştir. Hücreye atanabilecek en yüksek değer olan “100” atanır ve birinci satır i şlem dı şı bırakılarak tablo daraltılır. Sütunların ceza puanları yeniden hesaplanır. Bu a şama sonunda tablodaki en yüksek ceza puanı “3” olup, birinci sütuna kar şı gelmektedir. Üçüncü a şamada birinci sütundaki bo ş hücrelerden en dü şük maliyete sahip olan (2, 1) hücresi ele alınır. Birinci sütun i şlem dı şı kalırken, satırların ceza puanları tekrar hesaplanır. Dördüncü a şamada daraltılmı ş tablodaki en yüksek ceza puanlı olan ikinci satır seçilerek (2, 2) hücresine “45” değeri atanır. Be şinci a şamada ise kalan son iki hücreye atama yapılarak, işlem tamamlanmaktadır. VAM ile elde edilen ba şlangıç temel uygun çözümde, de ğerini ve kalan di ğer karar deği şkenleri sıfır değerini almaktadır. Ba şlangıç çözümün amaç fonksiyonu de ğerini veren toplam ta şıma maliyeti 2350 olarak elde edilir. Bu de ğer, di ğer iki yöntemle bulunanlardan daha dü şüktür. 183 Şekil 8.5 : VAM yöntemi ile ba şlangıç çözüm bulunması Ba şlangıç çözümü belirlemekte kullanılan üç çözüm yöntemi arasında, olu şturdukları temel uygun çözümün kalitesi açısından farklılık vardır. Daha iyi çözüm, amaç fonksiyonu de ğerinin daha küçük de ğerli olması ve daha az ardı ştırma ile sonuca ula şılması anlamına gelmektedir. Genelde en iyi ba şlangıç temel uygun çözümünü VAM yöntemi, en kötüsünü ise kuzeybatı köşe yöntemi vermektedir. Buna kar şın, en kolay uygulanan kuzeybatı köşe yöntemi iken, en i şlem yoğun VAM yöntemidir. İşlem yoğunlu ğu ve daha az ardı ştırma yapma arasındaki bu ödünle şme dikkate alınarak, herhangi bir yöntemle çözüme ba şlanabilir. Bu yöntemleri uygulamadan önce modelin dengelenmi ş olması gerekti ği unutulmamalıdır. Dengelenmemi ş ise, yapay satır veya sütun eklentisi yapılmalıdır. Dengelenmi ş ulaştırma probleminin özel yapısı gere ği bir temel uygun çözümde, en fazla adet temel deği şken olabilir. Elde edilen çözümlerden de görüldü ğü gibi, ulaştırma tablosunun 5 hücresinde sıfırdan büyük de ğer bulunmakta, bir ba şka deyi şle 5 temel deği şken yer almaktadır. S ıra sizde 4’te verilen problem için, VAM yöntemini kullanarak ba şlangıç temel uygun çözüm olu şturunuz. 184 ULA ŞTIRMA MODEL İNDE EN İY İL İK SINAMASI Ula ştırma probleminin çözümündeki ikinci adım eniyilik sınamasıdır. Eniyilik koşulları sa ğlanmadı ğı zaman, temelde olmayan en az bir deği şken için amaç fonksiyonunda istenen yönde iyile ştirme yapılabilir demektir. Ula ştırma problemlemlerinde genellikle enküçükleme amacı benimsendi ği için, bu durum, toplam ta şıma maliyeti daha az olan ba şka bir temel uygun çözümün var oldu ğu anlamına gelir. Ula ştırma tablosu üzerinde yer alan bir temel uygun çözümün, en iyi çözüm olup olmadı ğını sınamak için farklı yöntemler geliştirilmi ştir. Bu bölümde önce döngü kavramından bahsedilmekte, daha sonra eniyilik sınaması için geli ştirilmi ş atlama ta şı (stepping stone) ve MODI (Modified distribution method) yöntemleri tanıtılmaktadır. Mevcut bir çözümün eniyili ğinin kontrolünde bu iki yöntemden herhangi birisi tercih edilebilir. Döngü Kavramı Ula ştırma tablosu üzerindeki bir hücreden ba şlayarak, yine aynı hücrede sona eren, kö şelerinde en az dört farklı hücrenin sıralandı ğı kapalı güzergaha döngü, çevrim veya yörünge denmektedir. Bir güzergahın döngü olu şturması için izleyen şartların sağlanması gerekir: 1. İki ardı şık hücre, aynı satırda ya da aynı sütunda yer almalıdır. 2. Dizideki son hücre, ilk hücreyle ortak bir satır ya da sütuna sahip olmalıdır. 3. Üç ardı şık hücre aynı satır ya da sütunda bulunmamalıdır. Şekil 8.6’da döngü olu şturan dizilim örnekleri, Şekil 8.7’de ise döngü olu şturmayan örnekler görülmektedir. Şekil 8.6: Do ğru döngü örnekleri Şekil 8.7: Yanlı ş döngü örnekleri Eniyilik sınaması yaparken, ula ştırma tablosunda mutlaka (m+n-1) adet temel de ği şkenin yer alması gerekti ği unutulmamalıdır. E ğer bozulmu ş temel uygun çözüm varsa, bu de ği şkenlerden en az biri sıfır de ğeri almı ştır. 185 Atlama Taşı Yöntemi ile Eniyilik Sınaması Bu yöntem, mevcut çözümdeki temel dı şı de ği şkenlerin temele alınması halinde, amaç fonksiyonunda ne kadar artı ş ya da azalma olaca ğının hesaplanmasına dayanır. Temeldı şı de ği şkenler, ula ştırma tablosu üzerinde bir değer atanmamı ş boş hücrelerdir. Eniyiliğin sınanması süreci izleyen adımlardan olu şmaktadır: 1. Mevcut çözümün yer aldı ğı ula ştırma tablosunda bo ş olan bir hücre seçilir (X ij ). 2. Tablo üzerinde X ij hücresinden ba şlayan bir döngü çizilir. 3. Döngü üzerindeki tüm hücreler, X ij hücresinden ba şlamak üzere s ırasıyla (+), (-), (+), … şeklinde i şaretlenir. Döngünün ba şlangıcını temel dı şı de ği şken ya da bo ş hücre, döngünün köşelerini ise temel deği şkenler bir di ğer deyi şle dolu hücreler olu şturmalıdır. 4. X ij için de ği şim değeri (d ij ) hesaplanır. d ij , i. kaynaktan j. hedefe ürün göndermenin toplam ta şıma maliyetinde yarataca ğı de ği şim miktarı anlamına gelmektedir. Bunun için, (+) i şaretli hücrelerdeki birim ta şıma maliyetleri toplamından, (-) i şaretli hücrelerdeki birim ta şıma maliyetleri çıkarılır. 5. Her boş hücre için de ği şim de ğeri hesaplanana kadar yukarıdaki dört adım tekrarlanır. De ği şim değerinin pozitif olması, bu hücreye bir birim atama yapılması durumunda toplam maliyetin artacağı anlamına gelmektedir. E ğer hesaplanan tüm de ği şim değerleri sıfırdan büyük e şitse, eniyi çözüme eri şilmi ştir. Bununla birlikte, deği şim değerlerinden en az birinin sıfırdan küçük olması, bu hücreye atama yapılırsa toplam maliyetin daha da dü şece ğini gösterir. Bu hücreyi temele alarak mevcut çözümü iyile ştirmek ve toplam ta şıma maliyetini azaltmak mümkündür. E ğer birden fazla negatif i şaretli de ği şim de ğeri olursa bunların mutlak de ğerce enbüyük olanına sahip olan hücre temele alınmalıdır. Örnek 8.7. Örnek 5’de kuzeybatı köşe yöntemiyle bulunan ba şlangıç temel uygun çözümün, ulaştırma probleminin eniyi çözümü olup olmadı ğını atlama ta şı yöntemi ile kontrol ediniz. Tablo 8.6’da kuzeybatı köşe yöntemi ile bulunan ba şlangıç temel uygun çözüm görülmektedir. Öncelikle başlangıç çözümde, be ş (m+n-1=3+3-1=5) adet de ği şkenin yer alıp almadı ğı kontrol edilir. Tabloda görünen çözüm, bozulmamı ş bir temel uygun çözüme kar şı gelmektedir. Temelde olmayan de ği şken sayısı dört olup, tablo üzerinde de ğer atanmamı ş 4 boş hücreye kar şı gelmektedir. X 12 , X 13 , X 23 , X 31 olarak veya (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3,1) olarak ifade edilebilen bu hücrelerin temele alınması durumunda, toplam ta şıma maliyetinde ne yönde bir de ği şim olaca ğı ara ştırılacaktır. Tablo 8.10: Kuzeybatı kö şe yöntemi ile bulunmu ş olan ba şlangıç temel uygun çözüm Atlama ta şı yöntemine göre, her bo ş hücre için, hücrenin kendisinden ba şlayan ve kendisinde sonlanan bir döngü çizilir ve deği şim değeri hesaplanır. Örnek problem için, her boş hücreye yönelik yapılan i şlemler izleyen tablolar üzerinde gösterilmi ş, tabloların sağ tarafında ise, olu şan döngünün 186 dizilimi ve de ği şim de ğerinin nasıl hesaplandı ğı verilmi ştir. Sonuç olarak, en az bir de ği şim de ğeri negatif i şaretli olduğundan (d 13 = –2 < 0) mevcut çözümün eniyi çözüm olmadı ğı, daha dü şük maliyetli bir çözümün var oldu ğu söylenir. Tablo 8.11’den görüldü ğü gibi d 12 = +3 olmaktadır. Bunun anlamı, X 12 ’ye atanan her 1 birim ba şına toplam ta şıma maliyetinin 3 artaca ğıdır. Tablo 8.11: X 12 için de ği şim de ğerinin hesaplanması A şa ğıdaki tabloda X 13 için de ği şim değerinin nasıl hesaplandı ğı görülmektedir. d 13 = -2 oldu ğundan, X 13 ’ün temelde bir birim yer alması toplam maliyeti 2 azaltacaktır. Tablo 8.12: X 13 için de ği şim de ğerinin hesaplanması Tablo 8.13’te görüldü ğü gibi, d 23 = 1’dir. Bu de ğere gore, X 23 ’ün temelde bir birim yer alması ile toplam maliyet 1 artacaktır. Tablo 8.13: X 23 için de ği şim de ğerinin hesaplanması X 13 hücresi için döngü X 13 X 11 X 21 X 22 X 32 X 33 X 13 hücresi için de ği şim de ğeri d 13 = +4 -6+5 -3+5 -7 = -2 X 12 hücresi için döngü X 12 X 11 X 21 X 22 X 12 hücresi için de ği şim de ğeri d 12 = +7+5 -6 -3 = +3 X 23 hücresi için döngü X 23 X 22 X 32 X 33 X 23 hücresi için de ği şim de ğeri d 23 = +6 -3+5 -7 = 1 187 Tablo 8.14’te görüldü ğü gibi, d 41 = 1’dir. Bu de ğere gore, X 31 temele alınırsa toplam maliyette birim ba şına 1 artı ş olacaktır. Tablo 8.14: X 31 için de ği şim de ğerinin hesaplanması Daha iyi olan çözümü elde etmek için, X 13 ’ün temele alınması yani (1, 3) hücresine değer atanması gerekir. İzleyen temel uygun çözümün nasıl bulunaca ğı, daha sonra ele alınacaktır. Dört ayrı tabloda gösterilen bu i şlemlerin hepsi tek bir tablo üzerinde gerçekle ştirilip do ğrudan de ği şim de ğerleri hesaplanabilir. A şa ğıdaki tabloda, bir ula ştırma problemi için VAM yöntemiyle bulunan ba şlangıç temel uygun çözüm görülmektedir. Bu çözümün eniyi çözüm oldu ğunu, atlama ta şı yöntemini kullanarak ispatlayınız. Tablo 8.15: VAM yöntemi ile bulunan ba şlangıç çözüm MODI Yöntemi ile Eniyilik Sınaması Atlama ta şı yönteminin bir dezavantajı, tüm bo ş hücreler için döngü bulma ve de ği şim değeri hesaplama zorunlulu ğudur. Bu bölümde, iyile şme yapılacak hücreyi tek tek denemeden buldu ğu için atlama taşına göre daha hızlı olan bir yöntem tanıtılmaktadır. Ba şlangıç temel uygun çözümün bulunmasında sunulan üç yöntemden istedi ğinizi kullanabildi ğiniz gibi, mevcut çözümün eniyi olup olmadı ğını belirlemek için de atlama ta şı veya MODI yöntemlerinden herhangi birisini kullanabilirsiniz. MODI yönteminin adımları a şa ğıda açıklanmaktadır: 1. Ula ştırma tablosunda her satıra kar şı gelen üretim merkezi için bir u i çarpanı, her sütuna kar şı gelen tüketim merkezi için bir v j çarpanı tanımlanır. Toplamda, m adet u i ve n adet v j çarpanı tanımlanmı ş olur. 2. c ij , i. üretim merkezinden j. tüketim merkezine ürün ta şımanın birim maliyetine kar şı gelmek üzere, temelde yer alan her X ij de ği şkeni için a şa ğıdaki denklem yazılır. X 31 hücresi için döngü X 31 X 32 X 22 X 21 X 31 hücresi için de ği şim de ğeri d 41 = +8 -5+3 -5 = 1 188 3. Elde edilen do ğrusal denklem sisteminde, denklem sayısı adet, bilinmeyen sayısı ise adet olacaktır. Denklem sistemini çözebilmek için çarpanlardan herhangi birine sabit bir de ğer atanır. Bu aşamada genellikle u 1 =0 alınır ve di ğer çarpanlar buna ba ğlı olarak hesaplanır. 4. Üçüncü adımda bulunan u i ve v j çarpanlarının de ğerlerinden hareketle, temel dı şı her deği şken için, a şa ğıdaki e şitli ğin sonucu belirlenir. 5. Amaç toplam maliyetin enküçüklenmesi oldu ğundan, dördüncü adımda bulunan de ğerler sonucunda izleyen iki durumdan biri ile karşıla şılabilir a. Her temel dı şı de ği şken için koşulu sağlanıyorsa eniyi çözüm bulunmuştur. b. En az bir temel dı şı de ği şken için olarak gerçekleşiyorsa, eldeki çözüm eniyi de ğildir. İlgili temel dı şı de ği şkenin temele alınması halinde mevcut çözümden daha iyi bir çözüm elde edilecektir. Birden fazla temel dı şı de ği şken için oluyorsa, pozitif de ğerlerin enbüyü ğüne sahip olan temel dı şı de ği şken izleyen çözümde yer alır. MODI testi sonucunda eniyi çözüm ku şulu sağlanıyor ve temel dı şı de ği şkenlerden birisi için, olarak gerçekle şiyorsa “Alternatif Eniyi Çözüm” oldu ğu söylenir. Örnek 8.8. Örnek 5’de kuzeybatı köşe yöntemiyle bulunan ba şlangıç temel uygun çözümün, eniyi çözüm olup olmadı ğını MODI yöntemi ile kontrol ediniz. Öncelikle dengelenmi ş ulaştırma tablosunda, satırlarda gösterilen sunum merkezleri için u 1 , u 2 ve u 3 çarpanları; sütunlarda gösterilen talep noktaları içinde v 1 , v 2 ve v 3 çarpanları tanımlanır. Ba şlangıç temel uygun çözümde, bir sayısal de ğer atanmı ş adet de ği şken temel deği şken olup, X 11 , X 21 , X 22 , X 32 ve X 33 de ği şkenlerine kar şı gelmektedir. Temel de ği şkenler için (u, v) denklemleri yazıldı ğında 6 bilinmeyenli 5 e şitli ğin olduğu bir denklem sistemi ortaya çıkar. Çözüm sa ğlayabilmek için u 1 =0 olarak kabul edilip, di ğer de ği şkenler sırasıyla bulunur. Tablo 8.16’da temel deği şkenler için yazılan (u , v) denklemleri ve çözümü görülmektedir. Tablo 8.16: u i ve v j çarpanlarının bulunması Temel De ği şken (u, v) denklemi u i + v j = c ij Çözüm X 11 u 1 + v 1 = 6 u 1 = 0 v 1 = 6 X 21 u 2 + v 1 = 5 v 1 = 6 u 2 = –1 X 22 u 2 + v 2 = 3 u 2 = –1 v 2 = 4 X 32 u 3 + v 2 = 5 v 2 = 4 u 3 = 1 X 33 u 3 + v 3 = 7 u 3 = 1 v 3 = 6 189 Yukarıda bulunan u i ve v j ’lerin yukarıda bulunan de ğerleri yardmıyla, temel dı şı de ği şkenler için, Tablo 8.17’de görüldü ğü gibi de ğerleri hesaplanır. Temel dı şı de ği şkenler, değer atanmamı ş boş hücrelere kar şı gelen X 12 , X 13 , X 23 , X 31 de ği şkenleridir. Eniyi çözümde tüm de ği şkenlerin koşulunu sağlaması gerekti ği halde, X 13 de ği şkeni için bunun gerçekle şmedi ği görülmektedir. Bu durumda eldeki çözümün en iyi olmadı ğı ve X 13 ’ün temele alınmasıyla daha dü şük maliyetli bir çözüm elde edileceği söylenir. Tablo 8.17: Temel dı şı de ği şkenler için (u i + v j - c ij) de ğerlerinin hesaplanması Temel Dı şı De ği şken (u, v) denklemi (u i + v j - c ij ) X 12 u 1 + v 2 – c 12 = 0 + 4 – 7 = – 3 X 13 u 1 + v 3 – c 13 = 0 + 6 – 4 = 2 X 23 u 2 + v 3 – c 23 = – 1+ 6 – 6 = – 1 X 31 u 3 + v 1 – c 31 = 1 + 6 – 8 = – 1 Ula ştırma modelinde MODI yöntemi ile eniyilik sınaması yaparken, her temel de ği şken için (u, v) e şitli ğini yazmaya ve daha sonra denklem sistemini çözerek u i ve v j ’leri bulmaya gerek yoktur. Bu hesaplamalar Tablo 8.18’te görüldü ğü gibi, do ğrudan tablo üzerinde yapılır. Tablo 8.18: MODI yöntemi için ula ştırma tablosunun düzenlenmesi Ula ştırma tablosunda satırların soluna u i ’ler ve sütunların üzerine v j ’ler yazılır. Tablodaki her hücrenin sol alt kö şesindeki kutucukta denkleminin sonucu yer alır. Temel de ği şkenler için bu denklem sıfıra eşitlenerek, u i ve v j ’lerin de ğeri bulunur. Tablo üzerinde hesaplamalar yapılırken u 1 =0 alınarak i şe ba şlanır. Ardından, ilk satırda temel deği şkenlere kar şı gelen tüm sütunların v j de ğerleri hesaplanır. Örnekte, birinci satırda sadece X 11 temel de ği şkeni yer almaktadır. Bununla ili şkili v 1 de ğeri, u 1 + v 1 – c 11 = 0 0 + v 1 - 6 = 0 e şitli ğinden “6” olarak bulunarak tabloda yerine yazılır. Daha sonra v 1 ’in oldu ğu sütunda bulunan temel de ği şkenle ili şkili u 2 de ğeri, u 2 + v 1 – c 21 = 0 u 2 + 6 - 5 = 0 e şitli ğinden “-1” olarak elde edilir. Benzer şekilde, u 2 ’yi kullanarak v 2 , v 2 yardımıyla u 3 ve u 3 yardımıyla v 3 bulunur. Tablo 8.19’da hesaplanan u i ve v j de ğerleri gösterilmektedir. Sonraki adım, temel dı şı de ği şkenler için e şitli ğine kar şı gelen de ğerlerin belirlenmesidir. Bu değerler de kutucuklara yazıldıktan sonra, daha iyi bir çözüm olup olmadı ğı de ğerlendirilir. En iyi çözüme eri şildi ğini söyleyebilmek için, tablodaki her hücrenin 190 de ğerinin sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olması gerekir. Pozitif de ğerli bir hücrenin olması, eldeki çözümün eniyi olmadı ğına ve daha iyi bir çözüm oldu ğuna işaret eder. Tablo 8.19: Temel de ği şkenlerden hareketle u i ve v j’lerin bulunması Tablo 8.20’den görüldü ğü gibi eniyilik ko şulu sağlanmamaktadır. X 13 ’e kar şı gelen “2” de ğeri bu de ği şkenin temele alınması durumunda amaç fonksiyonu de ğerinin daha küçük bir de ğer alaca ğı anlamına gelmektedir. Tablo 8.20: Temel dı şı de ği şkenlerin de ğerlendirilmesi ve temele girecek de ği şkenin seçilmesi A şa ğıdaki tabloda, bir ula ştırma problemine kar şı gelen ba şlangıç temel uygun çözüm görülmektedir. MODI yöntemi ile eniyilik sınamasını yapınız. 191 Tablo 8.21: VAM yöntemi ile bulunan ba şlangıç çözüm ULA ŞTIRMA MODEL İNDE YEN İ TEMEL UYGUN ÇÖZÜM Ula ştırma modelinin çözümünde eniyilik sınamasından sonraki adım, e ğer en iyi çözüme eri şilmemi şse izleyen temel uygun çözümün bulunmasıdır. Atlama ta şı veya MODI yöntemlerden birisi ile eniyilik sınaması yapıldı ğında, e ğer en iyi çözüm elde edilmemi şse, daha dü şük maliyetli çözüm için hangi de ği şkenin temelde yer alması gerekti ği de belirlenmektedir. Eniyilik sınamasından sonra cevaplanması gereken iki soru vardır: 1. Temele yeni bir deği şken alındı ğında, çözümdeki temel de ği şken sayısı olan ) e şitli ğinin doğru olarak kalabilmesi için, halen temelde olan bir deği şkenin de sıfır değerini alarak temelden çıkması gerekir. Bu durumda temelden çıkacak de ği şken hangisidir? 2. Yeni temel deği şkene atanacak miktar ? olsun. ?’nın enbüyük de ğerinin belirlenmesi için, kapasite sınırlamaları ile talep gereksinimlerinin kar şılıklı dengelenmesi ve temel de ği şkenlerin negatif de ğer almaması gerekir. Öyleyse temele alınacak de ği şkene atanacak de ğer nedir? Bir ba şka deyi şle, yeni rota üzerinde ta şınabilecek miktar ne kadardır? Bir de ği şkenin temele alınması, ula ştırma tablosu üzerindeki bo ş hücrelerden birisine de ğer atanması anlamına gelir. Bu durumda satır ve sütun yönlü dengenin sa ğlanması için, dağıtım yapılmamı ş bir hücreye bir birim da ğıtım yapılması halinde, bunun bulundu ğu satırda ve sütunda da ğıtım yapılmı ş birer hücreden birer birim azaltma yapılmalıdır. Ula ştırma modelinde bir deği şken temele alındı ğında, temelden hangi de ği şkenin çıkıp, temeldeki de ği şkenlerin hangi de ğerleri alacaklarını kolaylıkla hesaplamak için döngü kavramından yararlanılır. Yeni temel uygun çözümün belirlenmesinde izlenecek adımlar a şa ğıdaki gibi sıralanabilir: 1. Temele girecek de ği şkenden ba şlamak üzere, bir döngü çizilir. Gerçekte temele girecek de ği şken için sadece bir olası döngü vardır. 2. Döngüdeki hücreler, temele giren hücreden ba şlayarak sırasıyla (+), ( ?), (+),… şeklinde i şaretlenir. 3. Temele girecek de ği şkenin alabilece ği en büyük değer ? olsun. ?, ( ?) i şaretli hücrelerin de ğerlerinin enküçü ğü olarak belirlenir. 4. Döngü üzerindeki (+) i şaretli hücrelere ? eklenip, ( ?) i şaretli olanların de ğerinden ? çıkarılır. Döngüdeki temel de ği şkenlerin de ğeri ? de ğerine ba ğlı olarak de ği şirken, döngüde olmayan temel de ği şkenlerin de ğeri deği şmez. Mevcut çözümde ? de ğerine sahip olan temel de ği şken sıfır de ğerini alıp temelden çıkarken, yeni temel de ği şken ? de ğeriyle tabloda yer alır. Böylece bir temel uygun çözümdeki temel deği şken sayısı olan ) sayısı ile kapasite- talep dengesi korunmu ş olacaktır. 192 E ğer ? = 0 ise, temele girecek de ği şkenin de ğeri sıfır olacak ve sıfır değerine sahip ( ?) i şaretli bir hücredeki de ği şken temelden çıkacaktır. Bu durumda bozulmu ş bir temel uygun çözüm vardır. E ğer döngüdeki hücrelerde birden fazla ? de ğerine sahip de ği şken varsa, bunlardan herhangi biri temelden çıkacak de ği şken olarak seçilir. Di ğer de ği şken ise sıfır değeri ile temelde yer kalır ve yine bozulmu ş bir temel uygun çözüm elde edilir. Örnek 8.9. Örnek 8’de MODI yöntemi ile eniyilik sınaması yapılan problemin eniyi çözümünü bulunuz. MODI ile ba şlangıç çözüm kontrol edildi ğinde, eniyi çözüme erişilmedi ği e ğer X 13 temele alınırsa daha düşük maliyetli bir çözüm elde edilece ği sonucuna ula şılmı ştı. X 13 ’e ne kadar değer atayacağımızı belirlemek ve aynı zamanda satır-sütun miktarları arasındaki dengeyi korumak için öncelikle, X 13 ’ten ba şlayan ve yine X 13 ’te sonlanan kapalı bir döngünün çizilmesi gerekir. Daha sonra döngü üzerindeki hücreler sırasıyla (+) ve (-) olarak i şaretlenecektir. Tablo 8.22’de görülen ve X 13 için çizilen döngü üzerindeki hücrelerin dizilimi X 13 X 11 X 21 X 22 X 32 X 33 şeklinde ifade edilebilir. ? de ğeri, e şitli ğinden hareketle “100” olarak bulunur. Tablo 8.22: Temele girecek de ği şken X 13 için olu şturulan döngü Döngü üzerindeki (+) i şaretli hücrelerin de ğeri “100” ile toplanıp, (-) i şaretli hücrelerin de ğerinden “100” çıkarılırsa, Tablo 8.23’de görülen yeni temel uygun çözüm elde edilir. Görüldü ğü gibi X 11 sıfır de ğerini alarak temelden çıkmı ş, X 13 ise 100 de ğerini alarak temele girmi ştir. Döngü üzerindeki temel de ği şkenlerin de ğeri de satır ve sütun dengesini bozmayacak şekilde de ği şmi ştir. “5” olması gereken temel deği şken sayısı korunmaktadır. Elde edilen yeni temel uygun çözümde, de ğerini ve kalan di ğer karar deği şkenleri sıfır değerini almaktadır. Ba şlangıç çözümün amaç fonksiyonu de ğerini veren toplam ta şıma maliyeti 2350’dir. 193 Tablo 8.23: Birinci ardı ştırma sonunda elde edilen yeni temel uygun çözüm Bundan sonraki a şama yeni çözümün eniyi olup olmadı ğının sınanmasıdır. Tablo 8.24’de MODI yöntemi ile yapılan eniyilik sınaması görülmektedir. Yeni çözümde her de ği şken için koşulu sağlandı ğından, eniyi çözüm elde edilmi ştir. Tablo 8.24: Yeni temel uygun çözümün MODI yöntemi ile eniyilik sınaması En iyi çözümde karar de ği şkenlerinin aldı ğı de ğerler ve da ğıtım rotası Tablo 8.25’de özetlenmektedir. Tablo 8.25: Gıda şirketine ait ürün da ğıtım probleminin en iyi çözümü Da ğıtım Ta şıma miktarı Birim maliyet Toplam maliyet Fabrikadan Depoya 1 2 2 3 3 3 1 2 2 3 100 135 45 130 70 4 5 3 5 7 400 675 135 650 490 Toplam 2350 S ıra Sizde 2b’de yer alan iki kaynaklı üç hedefli ula ştırma probleminin eniyi çözümünü bulunuz. Çözüm algoritmasının ba şlıca üç adımı bulundu ğunu unutmayalım: Bir ba şlangıç temel uygun çözümün bulunması, eniyilik sınamasının yapılması ve en iyi çözüme erişilmemi şse izleyen temel uygun çözümün bulunarak ikinci adıma dönülmesi. 194 ATAMA MODELİ Verilen n adet i şin, n adet i şlem noktasına da ğıtımına yönelik problemler için geli ştirilen atama modelleri, ulaştırma modelleri gibi kendisine özel çözüm algoritmasına sahip do ğrusal programlama modellerindendir. Atama modelinde amaç, genellikle toplam maliyeti enküçüklemek için kaynak kullanımının bire bir da ğıtımının yapılmasıdır. İşçilerin i şlere atanması ya da i şe en uygun ki şi seçimi, atama modeliyle çözülebilecek bir konudur. Aslında atama modeli, kaynakları i şçiler, hedefleri de i şler olan özel bir ul şatırma modelidir. Her bir kaynaktaki sunum miktarı ve her bir hedefteki talep miktarı sürekli olarak “1” e eşittir. i i şçisini j i şine ula ştırmanın maliyeti ise c ij ’dir. Atama modeli, normal bir ulaştırma problemi gibi çözülebilir. Bununla birlikte, sunum v etalep miktarının bire e şit olması Macar Algoritması olarak adlandırılan basit bir çözüm algoritmasının geli ştirilmesine yol açmı ştır. Sistemin özelli ğine ba ğlı olarak belirlenen i ş ve i şlem noktalarının yanında, problemin parametreleri, j. i şe i. i şlem noktasının atanmasının sistem etkinli ğine katkı (kar, maliyet vb.) göstergesi olan c ij ’lerdir. Her atama problemi elemanları c ij ’ler olan bir matris ya da tablo ile ili şkilendirilir. Problemin çözümüyle hangi işin hangi i şlem noktasına verilece ği belirlendi ğinden, problemin karar de ği şkenleri; şeklinde tanımlanır. Problemin oluştu ğu sistemin özel yapısının gerektirdi ği kısıtlar dı şında, problemin iki temel kısıtı vardır: 1. Her i ş yalnız bir i şlem noktasına atanabilir. 2. Her i şlem noktasına yalnız bir i ş atanabilir. Atama probleminin nasıl ortaya çıktı ğı ve doğrusal programlama ile modellenmesi izleyen örnek üzerinde gösterilmektedir. Örnek 8.10. Bir şirkette çalı şan üç teknisyenin (A, B, C) her birinin bir projede çalı şması istenmektedir. Tamamlanması istenen üç proje vardır. Her teknisyenin sahip oldu ğu bilgi, beceri ve yetenek seviyesine bağlı olarak projeleri farklı sürelerde bitirecekleri tahmin edilmektedir. Teknisyenlerin projeleri tamamlayacakları tahmini süreler a şa ğıdaki tabloda verilmi ştir. Her teknisyenin sadece bir projede çalı şması ve her projeye de sadece bir ki şinin atanması isteniyorsa, i şlerin en kısa sürede tamamlanması için hangi teknisyen hangi projede çalı şmalıdır? Tablo 8.26: Teknisyenlerin projeleri tamamlama süreleri (gün) Proje Teknisyen 1 2 3 A 22 28 12 B 16 20 22 C 18 24 14 Üç teknisyenin üç projeye bire bir e şle ştirilmesi istendi ğinden, problemin bir atama problemi oldu ğu söylenebilir. Amaç, en kısa sürede projelerin bitmesini sa ğlayacak atama şeklinin belirlenmesidir. Karar de ği şkenleri; olarak tanımlandı ğında problemin amaç fonksiyonu, projelere ayrılan toplam sürenin enküçüklenmesi olarak izleyen şekilde ifade edilir. 195 Modelde . iki tip kısıt vardır: 1. Teknisyenlerin atanma kısıtları (Her teknisyen sadece 1 projeye atanabilir) 2. Projelere atama kısıtları (Her projede sadece 1 teknisyen çalı şabilir) Bu açıklamalara göre olu şturulan do ğrusal karar modeli a şa ğıda görülmektedir. Teknisyen A sadece 1 projeye atanabilir. Teknisyen B sadece 1 projeye atanabilir. Teknisyen C sadece 1 projeye atanabilir. Birinci projede sadece 1 ki şi çalı şabilir. İkinci projede sadece 1 ki şi çalı şabilir. Üçüncü projede sadece 1 ki şi çalı şabilir. k.a. Küçük boyutlu problemlerde kullanılabilecek bir çözüm yolu, mümkün olan tüm seçeneklerin de ğerlendirilmesi ve eniyisinin seçilmesidir. Örnek problem üzerinde bunu dü şünürsek, en fazla 6 farklı atama yapılabilece ği görülür. Tablo 8.27’de örnekle ilgili alternatif atama şekilleri ve kar şı gelen maliyetler verilmektedir. Seçenek sayısı çok az oldu ğundan bu örnek için eniyi atamanın, kolaylıkla altıncı seçenek oldu görülebilir. Problem boyutu arttıkça alternatif atamaların sıralanması da güç olacaktır. Örne ğin 8 i şçinin 8 projeye bire bir atanması istendi ğinde, 8!=40320 alternatif incelenmek zorundadır. Bu yüzden tüm alternatifleri çıkarıp kar şıla ştırmak pratik bir yöntem de ğildir. Tablo 8.27: Alternatif atama şekilleri ve maliyetleri SEÇENEK PROJELER İN ATANMASI İŞGÜCÜ MAL İYET İ (gün) TOPLAM MAL İYET (gün) 1 2 3 1 A B C 22 + 20 + 14 56 2 A C B 22 + 24 + 22 68 3 B A C 16 + 28 + 14 58 4 B C A 16 + 24 + 12 52 5 C A B 18 + 28 + 22 68 6 C B A 18 + 20 + 12 50 Bir i şletmede 4 i ş, 4 tezgaha verilecektir. Her işin tezgahlara verilmesiyle ortaya çıkan maliyetler Tablo 8.28’de verilmi ştir. Toplam maliyetin enküçüklenmesini sa ğlayan do ğrusal karar modelini olu şturunuz. 196 Tablo 8.28: İşlerin tezgahlardaki birim maliyetleri ATAMA MODELİN İN MACAR ALGORİTMASI İLE ÇÖZÜMÜ Problemin kendine has yapısı sebebiyle, atama modelinin çözümü için özel algoritmalar geli ştirilmi ştir. Bunlardan en yaygın kullanılanı Macar Algoritmasıdır. Bu algoritma, mümkün olan her alternatifi de ğerlendirmeden etkin bir şekilde eniyi çözümü bulmayı sa ğlar. Macar algoritması ile atama problemini çözebilmek için, a şa ğıdaki ko şulların sağlanması gerekir: • Problemin amacı bir etkinliğin enküçüklenmesidir. • İşlem noktası ile iş sayısı birbirine e şittir (= n.) • Her atama gideri c ij ? 0 ko şuluna uymaktadır (c ij : i. işlem noktasını j. işe atamanın maliyeti) Yukarıdaki koşulların sağlandı ğı bir atama modelinin Macar algoritması ile çözüm adımları a şa ğıda verilmektedir: 1. Her satırdaki en küçük c ij seçilip, di ğer atama giderlerinden bu de ğer çıkartılarak, satırlara göre indirgenmi ş tablo bulunur. 2. İndirgenmi ş tablonun her sütunundaki en küçük c ij seçilip, di ğer ögelerden bu de ğer çıkartılarak, tablo bir kez daha indirgenir. 3. Tablo üzerinde sıfır değerini alan tüm ögelerden geçen en az sayıda dikey ya da yatay do ğrular çizilir. E ğer bulunan do ğru sayısı = n ise, eniyi çözüme ula şılmı ş olup adım be şe, de ğilse izleyen adıma geçilir. 4. Üzerinden do ğru geçmeyen satır veya sütundaki en küçük öge seçilerek, do ğrular dı şında kalmı ş di ğer ögelerden bunun de ğeri çıkartılır, doğruların kesim noktalarındaki ögelere eklenir. Üçüncü adıma dönülür. 5. Her doğru üzerinde sıfır değerli hücreler esas alınarak, her i için yalnız bir j olmak üzere, eniyi çözüme karşı gelen x ij de ğerleri yazılıp, eniyi çözüm bulunur. Örnek 8.11. Bir önceki örnek problemin eniyi çözümünü Macar algoritması ile bulunuz. Adım 1. Satırlara göre indirgenmi ş tablonun elde edilmesi 197 Adım 2. Sütunlara göre indirgenmi ş tablonun elde edilmesi Adım 3. Sıfır değerini alan tüm ögelerden geçen en az sayıda dikey ya da yatay doğrunun çizilmesi Bu adımda çizilen do ğru sayısı < n=3 oldu ğundan eniyi çözüm elde edilemedi ğinden, dördüncü adıma geçilir. Adım 4. Tablonun güncellenmesi. Üzerinden do ğru geçmeyen satır veya sütundaki en küçük öge “4” tür. Do ğrular dı şında kalmı ş di ğer ögelerden “4” çıkartılır, do ğruların kesim noktalarındaki ögelere “4” eklenir. Adım 5. Sıfır değerini alan tüm ögelerden geçen en az sayıda dikey ya da yatay doğrunun çizilmesi Çizilen do ğru sayısı n=3 oldu ğundan eniyi çözüm bulunmu ştur. Adım 6. Eniyi atamanın yapılması Öncelikle üzerinde sadece bir adet sıfır olan satır ya da sütunlar kontrol edilerek, bu konumlara atama yapılır. Birinci satırda A, 3. projede sıfır olduğundan buraya atanır. Birinci satır ve üçüncü sütun i şlem dı şı b ırakılır. İkinci atama, üçüncü satırda 1. projeye yapılır. Birinci sütun ve üçüncü satır i şlem dı şı bırakılır. Son olarak B, 2. projeye atanır. Şekil 8.7’de bu işlem görülmektedir. 198 Şekil 8.7: En iyi atamanın yapılması Eniyi çözümün atama maliyeti ise a şa ğıdaki tabloda görüldü ğü gibi hesaplanmaktadır. Tablo 8.29: En iyi çözüm ve atama maliyeti Atama Atama Maliyeti (gün) Teknisyen Proje A 3 12 B 2 20 C 1 18 Toplam 50 gün Dengelenmi ş atama modeli, i şlem noktası sayısı ile i ş sayısının e şit oldu ğu bir ba şka deyi şle atama giderleri tablosunda satır ve sütun sayılarının e şit oldu ğu modeldir. Bazı durumlarda, atanacak ki şi ya da nesne sayısı, görev sayısına e şit olmaz. Bu durumda dengelenmemi ş bir atama probleminden söz edilir. Problemi Macar algoritması ile çözebilmek için, ula ştırma modellerinde oldu ğu gibi tabloya yapay satır ya da sütun ilave edilir. E ğer satır sayısı daha fazla ise, tabloya yapay sütun ya da yapay görev, e ğer sütun sayısı daha fazlaysa, tabloya yapay satır ya da yapay ki şi eklenir. Yapay satır veya sütun gerçekte olmadı ğından, maliyetleri sıfır olarak alınır. Yukarıdaki açıklamaları dikkate alarak, Örnek 10’ da verilen problemde projelere atanabilir dördüncü bir teknisyeni (D) ekleyelim. Bu teknisyenin ilk projeyi 10, ikinciyi 13 ve üçüncüyü 8 günde bitirebilece ği öngörülsün. Atama problemini bu haliyle çözerek, hangi teknisyene hangi projenin atanaca ğını belirleyiniz. Eniyi çözümde dört teknisyenden hangisinin projeye atanmayacağını bulunuz. 199 Özet Bu ünitede, do ğrusal programlamanın özel bir türü olan ula ştırma ve atama modelleri ele alınmı ştır. Genel olarak ürünlerin birden fazla üretim noktasından, birden fazla tüketim noktasına da ğıtımı ile ilgili problemler, ula ştırma veya atama problemleri olarak adlandırılır. Ula ştırma problemelrinde amaç, mevcut kaynakları kullanarak tüm talebi kar şılayacak şekilde enküçük maliyetli da ğıtım planının bulunmasıdır. Ula ştırma probleminin özel bir hali olan atama problemleri ile genellikle i şlerin makinelere da ğıtımı, ki şilerin i şlere tayini, personelin satı ş bölgelerine da ğıtımına benzer durumlarda kar şıla şılmaktadır. Ula ştırma problemlerinde cevap aranan soru, hangi üretim merkezinden, hangi tüketim merkezine ne kadar ürün ta şınaca ğıdır. Bu soru aynı zamanda karar deği şkenlerini tanımlamakta olup, sorunun cevabı ürün da ğıtım planını verecektir. E ğer bir ula ştırma modelinin toplam sunum miktarı toplam talep miktarına e şit ise, “dengelenmi ş ulaştırma modeli”, e şit de ğilse “dengelenmemi ş ulaştırma modeli” olarak adlandırılır. Ula ştırma tablosu üzerinden çözüm i şlemlerini yürütebilmek için, modelin dengelenmi ş olması gerekmektedir. Bir ula ştırma modeli dengelenmemi ş ise, yapay kaynak ya da yapay hedef noktası eklentisiyle, model dengelenmi ş hale dönü ştürülebilir. Ula ştırma problemlerine özgü çözüm algoritmasında, öncelikle probleme ait dengelenmi ş ulaştırma tablosu olu şturulmakta ve i şlemler tablo üzerinde gerçekle ştirilmektedir. Ula ştırma problemleri için geli ştirilmi ş çözüm algoritmasının ba şlıca üç adımı bulunmaktadır: Bir ba şlangıç temel uygun çözümün bulunması, eniyilik sınamasının yapılması ve eniyi çözüme eri şilmemi şse izleyen temel uygun çözümün bulunarak ikinci adıma dönülmesi. Dengelenmi ş ulaştırma modeline bir başlangıç temel uygun çözüm bulmak için en çok kullanılan üç yöntem, kuzeybatı köşe yöntemi, enküçük maliyet yöntemi ve VAM yöntemi olarak sıralanabilir. Ba şlangıç çözümü belirlemekte kullanılan üç çözüm yöntemi arasında, olu şturdukları temel uygun çözümün kalitesi açısından farklılık vardır. Daha iyi çözüm, amaç fonksiyonu de ğerinin daha küçük de ğerli olması ve daha az ardı ştırma ile sonuca ulaşılması anlamına gelmektedir. Genelde en iyi ba şlangıç temel uygun çözümünü VAM yöntemi, en kötüsünü ise kuzeybatı köşe yöntemi vermektedir. Buna kar şın, en kolay uygulanan kuzeybatı köşe yöntemi iken, en i şlem yoğun VAM yöntemidir. İşlem yo ğunlu ğu ve daha az ardı ştırma yapma arasındaki bu ödünle şme dikkate alınarak, herhangi bir yöntemle çözüme ba şlanabilir. Ula ştırma probleminin çözümündeki ikinci adım eniyilik sınamasıdır. Eniyilik ko şulları sa ğlanmadı ğı zaman, temelde olmayan en az bir de ği şken için amaç fonksiyonunda istenen yönde iyile ştirme yapılabilir demektir. Ula ştırma problemlemlerinde genellikle enküçükleme amacı benimsendi ği için, bu durum, toplam ta şıma maliyeti daha az olan ba şka bir temel uygun çözümün var oldu ğu anlamına gelir. Ula ştırma tablosu üzerinde yer alan bir temel uygun çözümün, en iyi çözüm olup olmadı ğını sınamak için atlama ta şı veya MODI yöntemi ullanılabilir. Eniyilik sınaması ile, e ğer eniyi çözüme eri şilmemei şse temel girecek de ği şken belirlenir. Bir de ği şkenin temele alınması, ulaştırma tablosu üzerindeki bo ş hücrelerden birisine de ğer atanması anlamına gelir. Bu durumda satır ve sütun yönlü dengenin sa ğlanması için, da ğıtım yapılmamı ş bir hücreye bir birim da ğıtım yapılması halinde, bunun bulunduğu satırda ve sütunda da ğıtım yapılmı ş birer hücreden birer birim azaltma yapılmalıdır. Ula ştırma modelinde bir de ği şken temele alındı ğında, temelden hangi de ği şkenin çıkıp, temeldeki deği şkenlerin hangi de ğerleri alacaklarını kolaylıkla hesaplamak için döngü kavramından yararlanılır. Atama modelinde amaç, genellikle toplam maliyeti enküçüklemek için kaynak kullanımının bire bir da ğıtımının yapılmasıdır. İşçilerin i şlere atanması ya da i şe en uygun ki şi seçimi, atama modeliyle çözülebilecek bir konudur. Problemin kendine has yapısı sebebiyle, atama modelinin çözümü için özel algoritmalar geli ştirilmi ştir. Bunlardan en yaygın kullanılanı Macar Algoritmasıdır. Bu algoritma, mümkün olan her alternatifi de ğerlendirmeden etkin bir şekilde eniyi çözümü bulmayı sa ğlar. Ula ştırma ve atama modellerinin özel çözüm algoritmalarının olması, doğrusal programlama modelleri arasında ayrı bir öneme sahip olmalarını sa ğlamaktadır. 200 Kendimizi Sınayalım 1. Temel kısıtlar dı şında özel bir kısıtı olmayan bir ula ştırma probleminde, iki fabrikadan üç depoya ürün gönderilecektir. Fabrikaların kapasiteleri sırasıyla 150 ve 100 birim, depoların talepleri ise sırasıyla 50, 75 ve 125 birimdir. Karar de ği şkeni x ij , i. fabrikadan j. depoya gönderilen ürün miktarı olarak tanımlanırsa, a şa ğıdakilerden hangisi problemin “ikinci deposuna ait talebin kar şılanması” ile ilgili kısıtına karşı gelir? a. 75 22 12 ? + x x b. 50 21 11 ? + x x c. 125 23 13 ? + x x d. 50 21 11 ? + x x e. 150 13 12 11 ? + + x x x 2. Ula ştırma tablosu verilen problem için a şa ğıdakilerden hangisi, kuzeybatı köşe yöntemi ile bulunan ba şlangıç çözümün toplam taşıma maliyetine kar şı gelmektedir? a. 104 b. 94 c. 40 d. 76 e. 124 3. Üretim merkezi sayısı “m” ve talep merkezi sayısı “n” olan dengelenmi ş ula ştırma modeli ile ilgili a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ştır ? a. Bir temel uygun çözümünde en fazla (m+n-1) adet de ği şken sıfırdan büyük de ğer alabilir. b. En az bir uygun çözüm vardır. c. Bir eniyi çözüm vardır. d. En iyi çözümde (m+n) adet deği şken sıfırdan büyük olmak zorundadır. e. Bir temel uygun çözümde, bazı temel de ği şkenler sıfır değerini alabilir. 4. A şa ğıdaki ulaştırma modeli için enküçük maliyet yöntemi ile bir ba şlangıç temel uygun çözüm bulunursa, X 14 ve X 33 de ği şkenlerinin de ğeri ne olur? a. X 14 =225, X 33 = 90 b. X 14 =70, X 33 = 95 c. X 14 =100, X 33 = 90 d. X 14 =200, X 33 = 95 e. X 14 =100, X 33 = 95 201 5. A şa ğıdaki ulaştırma tablosunda VAM yöntemi ile ba şlangıç çözüm bulunmaya ba şlanmı ş fakat i şlemler yarım bırakılmı ştır. Tablo kaldı ğı yerden ba şlayarak tamamlandı ğında, a şa ğıdakilerden hangisi başlangıç çözümün toplam taşıma maliyetini verir? a. 22000 b. 16000 c. 14700 d. 17600 e. 15780 6. Bir ula ştırma problemine kar şı gelen temel uygun çözüm a şa ğıdaki tabloda verilmektedir. Eniyilik sınaması yapmak için, atlama taşı yöntemi kullanılırsa, de ği şim değerleri (d ij ) ile ilgili a şa ğıdakilerden hangisi yanlı ş olur? (d ij :i. kaynaktan j. hedefe ürün göndermenin toplam ta şıma maliyetinde yaratacağı de ği şim miktarı) a. d 13 = –1 b. d 21 =3 c. d 31 =2 d. d 32 =1 e. d 33 =0 7. Bir ula ştırma problemine kar şı gelen temel uygun çözümün MODI yöntemi ile eniyilik sınaması yapılmı ş ve eniyi çözümün elde edildi ği görülmü ştür. Tabloda görülen sonuçlara göre, a şa ğıdakilerden hangisi c 12 ’nin alabilece ği bir de ğer olabilir? a. c 12 = 1 b. c 12 = 3 c. c 12 = -1 d. c 12 = -3 e. c 12 = 0 8. Ula ştırma tablosunda görünen temel uygun çözüm için eniyilik sınaması yapılmı ş ve X 33 ’ün temele alınması gerekti ği ortaya çıkmı ştır. X 33 ’ün izleyen yeni çözümde alaca ğı de ğer, a şa ğıdakilerden hangisidir? a.120 b. 90 c. 30 d. 170 e. 40 202 9. Bilgi İşlem Merkezinde çalı şan 4 bilgisayar programcısı, dört farklı yazılım geli ştirme i şinde görevlendirilecektir. Her biri ayrı bir yazılımla ilgilenmek zorunda olan programcıların yazılım için kaç saat harcayacaklarına dair öngördükleri süreler tabloda görülmektedir. A şa ğıdakilerden hangisi, yazılımlar için harcanan toplam süreyi enküçükleyecek görevlendirme şeklini göstermektedir? a. 1 C, 2 D, 3 A, 4 B b. 1 A, 2 B, 3 C, 4 D c. 1 A, 2 B, 3 D, 4 D d. 1 B, 2 A, 3 C, 4 D e. 1 D, 2 C, 3 B, 4 A 10. Bir büroda çalı şan üç görevlinin her birine, yapılacak üç i şten sadece birisi atanacaktır. Her görevlinin i şi tamamlamak için harcayaca ğı süre de ği şebilmektedir. Karar deği şkeni x ij , i. görevlinin j. i şe atanması durumunda “1”, di ğer durumda “0” olarak tanımlanırsa, a şa ğıdakilerden hangisi atama modelinin “ İkinci görevli sadece bir i şe atanabilir” k ısıtına kar şı gelir? a. 1 31 21 11 = + + x x x b. 1 32 22 12 = + + x x x c. 1 33 32 31 = + + x x x d. 1 23 22 21 = + + x x x e. 1 33 23 13 = + + x x x Kendimizi Sınayalım Yanıt Anahtarı 1. a Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modeli” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 2. b Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modelinde Ba şlangıç Çözüm Bulma” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 3. d Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modeli” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 4. e Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modelinde Ba şlangıç Çözüm Bulma” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 5. c Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modelinde Ba şlangıç Çözüm Bulma” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 6. a Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modelinde Eniyilik Sınaması” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 7. b Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modelinde Eniyilik Sınaması” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 8. b Yanıtınız yanlı ş ise “Ula ştırma Modelinde Yeni Temel Uygun Çözüm” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 9. a Yanıtınız yanlı ş ise “Atama Modelinin Macar Algoritması İle Çözümü” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 10. d Yanıtınız yanlı ş ise “Atama Modeli” ba şlıklı konuyu yeniden gözden geçiriniz. 203 Sıra Sizde Yanıt Anahtarı Sıra Sizde 1 x ij : i. silodan j. i şleme merkezine gönderilen ürün miktarı [Dolu kamyon yükü/ay] k.a. Sıra Sizde 2 a. Toplam sunum miktarı = 10 + 5 + 4 + 6 = 25 Toplam talep miktarı = 10 + 5 + 7 + 9 = 31 Toplam talep > toplam sunum oldu ğundan, yapay üretim merkezi eklenmelidir. Yapay üretim merkezinin kapasitesi 6 (= 31 – 25 ) birim olur. Tabloda 5 nolu satır yapay merkeze aittir. b. Toplam sunum miktarı = 30 + 44 = 74 Toplam talep miktarı = 25 + 30 + 10 = 65 Toplam talep < toplam sunum oldu ğundan, yapay talep merkezi eklenmelidir. Yapay merkezin talebi 9 (=74-65) birim olur. Tabloda 4 nolu sütun yapay merkeze aittir. Sıra Sizde 3 A şa ğıda aşamalar halinde ba şlangıç çözümün bulunması görülmektedir. Özellikle be şinci ve altıncı a şamaya dikkat edilmelidir. Be şinci a şamada hem sütun hem satırda sıfır değeri kalmı ştır. Böyle bir durumda satır veya sütundan sadece biri i şlem dı şı b ırakılır. Örnekte sütun i şlem dı şı b ırakılarak, satırda kalan kapasite olarak “0” de ğeri bırakılmı ştır. İzleyen a şamada ise sıfır değeri (2,4) hücresine yerle şmi ştir. Ba şlangıç çözümün bir “temel uygun çözüm” olması için“ (m + n - 1) adet de ği şken çözümde yer almak zorunda oldu ğundan, sıfır değeri tabloda bırakılmaktadır. Bulunan temel uygun çözüm” bozulmu ş temel uygun çözüm” dür. Toplam ta şıma maliyeti ise 1140 (= 4x100 + 2x20 + 1x70 + 3x90 + 0x20 + 2x180) olarak bulunur. 204 Sıra Sizde 4 Toplam kapasite =200 + 160 + 90 = 450 Toplam talep = 180 + 120 + 170 = 470 Toplam talep daha fazla oldu ğundan, problemi dengelemek için tabloya kapasitesi 20 palet yükü olan yapay fabrika eklenir ( 4 nolu) En küçük maliyete göre bulunan ba şlangıç çözüm adımları oklarla gösterilmi ştir. Ba şlangıç çözümün toplam ta şıma maliyeti 8280 ’dir. Sıra Sizde 5 VAM yöntemine göre bulunan ba şlangıç çözüm adımları oklarla gösterilmi ştir. Ba şlangıç çözümün toplam ta şıma maliyeti 6840 ’dir. Sıra Sizde 6 Tabloda iki bo ş hücrenin de ği şim değeri hesaplanır. 1. X 22 için de ği şim de ğeri Döngü : X 22 X 12 X 11 X 21 d 22 =+ 80 –7 +6 –15 = +64 2. X 23 için de ği şim de ğeri Döngü : X 23 X 13 X 11 X 21 d 23 =+78 –8 +6 –15 = +61 Bo ş hücrelerin de ği şim değerleri (+) i şaretli olduğundan, daha iyi bir çözüm olmadı ğı, eldeki çözümün en iyi çözüm olduğu söylenir. 205 Sıra Sizde 7 MODI ile yapılan eniyilik sınaması sonucunda elde edilen d e ğerleri tabloda görünmektedir. Her temel dı şı de ği şken için e şitli ği sa ğlanmadı ğından, mevcut çözüm en iyi de ğildir. X 12 , X 13 ve X 32 ’ye ait değerler sıfırdan büyük çıkmı ştır. Daha iyi bir çözüm için, bu de ği şkenlerin arasında en büyük pozitif de ğerli ’ye sahip olan X 32 (u 3 +v 2 -c 12 =6) temele girmelidir. Sıra Sizde 8 A. Ba şlangıç temel uygun çözüm Toplam ta şıma maliyetı = 675 A şa ğıdaki tablo üzerinde, MODI testine göre eniyi çözüme eri şilmedi ği görülmektedir. X 12 temele alınır, X 11 veya X 22 temelden çıkar. B. Birinci ardı ştırma sonunda elde edilen çözümün toplam ta şıma maliyeti = 500 MODI testine göre eniyi çözüm elde edilmiştir. Sıra Sizde 9 k.a. 206 Sıra Sizde 10 Atama tablosunu dengelemek için birim maliyetleri “0” olan dördüncü bir sütun eklenir. En iyi çözümde, teknisyen A üçüncü, teknisyen B ikinci ve teknisyen C birinci projeye atanmaktadır. Teknisyen D yapay sütuna atanmı ştır. Bu durum dördüncü teknisyenin hiç bir projeye atanmayaca ğı anlamına gelir. Yararlanılan Kaynaklar Hillier, F.S. ve Lieberman, G.J. (2010). Introduction to Operations Research, New York: McGraw-Hill, Inc. Kara, İ. (2000). Do ğrusal Programlama, İstanbul: Bilim Teknik Yayınevi. Öztürk, A. (2011). Yöneylem Araştırması, Bursa: Ekin Yayınevi. Taha, H.A. (2011). Operations Research: An Introduction, Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. Winston, W.L. (2004). Operations Research: Applications and Algorithms, Cengage: Brooks/ Cole.