Hidrografi ve Oşinografi Yükseklik Ölçmeleri YILDIZ TEKN İK ÜN İVERS İTES İ İN ŞAAT FAKÜLTES İ JEODEZ İ VE FOTOGRAMETR İ MÜHEND İSLİĞ İ BÖLÜMÜ YÜKSEKL İK ÖLÇMELER İ (DERS NOTLARI) Doç. Dr. Halil ERKAYA Ölçme Tekni ği Anabilim Dalı Ö ğretim Üyesi İSTANBUL - 2006 İçindekiler I İÇ İNDEK İLER 1. YÜKSEKL İK S İSTEMLER İ ……………………………………. 1 1.1. Yükseklik Kavramı ………………………………………………. 1 1.2. Yükseklik Sistemleri ……………………………………………. 3 1.2.1. Bilimsel Yükseklikler ……………………………………………. 3 1.2.1.1. Geopotansiyel Yükseklik ………………………………………. 6 1.2.1.2. Dinamik Yükseklik ..……………………………………………. 7 1.2.1.3. Ortometrik Yükseklik ……………………………………………. 8 1.2.2 Pratik Yükseklikler ………………………………………………. 10 1.2.1.4. Normal yükseklik …………………………………………….… 11 1.2.1.5. Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) 12 1.2.1.6. Elipsoidal Yükseklik …………………………………………… 13 1.3. Nivelman A ğları ………………………………………………….. 14 1.3.1. Türkiye Ulusal Dü şey Kontrol A ğı (TUDKA) ………………… 15 1.3.2. Nivelman A ğlarının Derecelendirilmesi ……………………… 17 1.3.3. Nivelman Kapanma Hataları …………………………………. 18 1.3.4. Nivelman Ölçülerinin De ğerlendirilmesi ………………………. 19 2. GEOMETR İK N İVELMAN …………………………………… 20 2.1. Nivolar …………………………………………………………… 20 2.1.1. İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri ………………………… 23 2.1.1.1. Dü şük İncelikli Nivolar ( İn şaat Nivoları) ………………………. 24 2.1.1.2. Orta İncelikli Nivolar …………………………………………… 24 2.1.1.3. Yüksek İncelikli Nivolar …………………………………………. 24 2.1.1.4. Çok Yüksek incelikli Nivolar ……………………………………. 24 2.1.2. Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri ……………………… 25 2.1.2.1. E ğim Vidalı Nivolar ……………………………………………… 25 2.1.2.2. Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar …………………………… 26 2.1.2.3. Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar ………………………….. 28 2.1.2.4. Lazer Nivoları ……………………………………………………. 30 2.1.2.5. Optik Mikrometreli Nivolar ……………………………………… 32 2.2. Nivelman Miraları ………………………………………………. 33 2.2.1. Miraların Kontrolü ………………………………………………. 34 2.2.2. Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarı ğı) ……………………. 35 2.3. Nivoların Kontrolü ve Eksen Ko şulları ………………………… 36 2.3.1. Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylı ğının Kontrolü ….. 36 2.3.2. Nivolarda Eksen Ko şulları ……………………………………… 36 İçindekiler II 2.3.2.1. Küresel düzeç ekseni, dü şey eksene paralel olmalıdır …….. 37 2.3.2.2. Nivelmanda Teme Ko şul, Gözlem Ekseninin Yatay Olması ... 37 2.4. Nivelman Noktalarının Tesisi …………………………………... 40 2.5. Do ğrultu (Hat) Nivelmanı ……………………………………… 40 2.5.1. Açık Nivelman …………………………………………………… 41 2.5.2. Dayalı Nivelman ………………………………………………… 42 2.5.3. Kapalı Nivelman ………………………………………………... 43 2.5.4. Gözlem Düzlemi Yüksekli ğine Göre Nivelman ……………… 43 2.6. Yüzey Nivelmanı ………………………………………………... 45 2.6.1. Kareler A ğı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı ……………………. 46 2.6.2. I şınsal (Kutupsal) Nivelman …………………………………… 47 2.6.3. Hacim Hesabı …………………………………………………… 49 2.7. Hassas Nivelman ………………………………………………. 50 2.8. Kesit Nivelmanı ………………………………………………… 52 2.8.1. Boy Kesit ………………………………………………………… 52 2.8.2. En Kesit …………………………………………………………. 54 2.8.3. Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı ……………… 57 2.8.4. Kesitlerle Hacim Hesabı ……………………………………….. 57 2.8.4.1. Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma ………………………... 57 2.8.4.2. Kesitlerin Biri Dolgu Di ğeri Yarma …………………………… 58 2.8.4.3. Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Di ğeri Karı şık …………… 59 2.8.4.4. Kesitlerin İkisi de Karı şık ………………………………………. 60 2.9. Nivelmana Etki Eden Hatalar …………………………………. 61 2.9.1. Düzenli (Sistematik) Hatalar …………………………………... 61 2.9.2. Düzensiz (Tesadüfî) Hatalar …………………………………… 64 3. TR İGONOMETR İK YÜKSEKL İK ÖLÇÜMÜ ………………… 65 3.1. Dü şey Açı ………………………………………………………... 65 3.1.1. Gösterge (Dü şey Kolimasyon) Hatası ………………………… 66 3.1.2. Dü şey Açı Ölçümü ve Hesabı …………………………………. 67 3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü .. 68 3.2.1. Kule Yüksekli ği Ölçümü ………………………………………… 69 3.2.1.1. S Uzunlu ğu Ölçülüyor ………………………………………….. 69 3.2.1.2. S Uzunlu ğu Ölçülemiyor ………………………………………. 70 3.2.2. Trigonometrik Nivelman ……………………………………….. 72 3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunlu ğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması ……………………………………………………….. 73 İçindekiler III 3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik 74 3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman ……. 75 3.3.1. I şı ğın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi …. 77 3.4. Kar şılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı … 78 3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi …………….. 81 4. TAK İMETR İ ………………………………………………..……. 82 4.1. Takimetrik Alımın Yapılı şı ……………………………………... 83 4.1.2 Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi ………………………. 84 Yükseklik Sistemleri 1 1. BÖLÜM YÜKSEKL İK S İSTEMLER İ 1.1. Yükseklik Kavramı Yeryüzünün şekli denilince, katı ve sıvı dünya kitlesinin atmosfer ile olan sınırı anla şılır. Katı kısımlar girinti ve çıkıntılar nedeniyle düzgün bir yüzey de ğildir. Genel olarak yüzeyler, normalleri yardımıyla incelenebilir. Yeryüzü normalleri, a ğırlık kuvveti do ğrultusundadır. A ğırlık kuvvetinin do ğrultusu uygulamada çekül do ğrultusuyla gösterilir. Çekül do ğrultusunun ölçmelerdeki rolü çok önemlidir. Ölçme aletlerinin dü şey eksenleri çekül do ğrultusuna göre düzenlenir (Ulsoy, 1977). Yeryüzündeki noktaların yüksekliklerini tanımlayabilmek için, bir ba şlangıç yüzeyi ve bu yüzeye dik do ğrultuların saptanması gerekir. Yeryüzünde en kolay belirlenebilen do ğrultular, çekül do ğrultularıdır. Bilindi ği gibi durgun bir sıvı yüzeyi çekül do ğrultusuna diktir. Çekül do ğrultuları da her noktada denge halindeki deniz yüzeyine diktir. Karaların altında da devam etti ği dü şünülen denge halindeki deniz yüzeyi, ba şlangıç yüzeyi yani sıfır yükseltili yüzey olarak alınabilir ve bu yüzey Geoit olarak adlandırılmı ştır. Buna göre yükseklik, yeryüzü noktalarının çekül do ğrultusunda ba şlangıç yüzeyine yani geoide olan uzaklı ğıdır. Ba şlangıç yüzeyinin altında bulunan noktaların çekül do ğrultusunda geoide olan uzaklıkları da derinlik olarak adlandırılır. Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesi i şine nivelman denilmektedir. Uygulamada kullanılan nivelman yöntemleri şunlardır: 1. Geometrik Nivelman: Geometrik nivelmanda, noktaların dü şey do ğrultuda yatay bir düzleme olan uzaklıkları ölçülmekte ve bu uzaklık farklarından iki nokta arasındaki yükseklik farkları elde edilmektedir. Nivelmanda incelik (do ğruluk) genel olarak 1 km’lik nivelman yolunda gidi ş-dönü ş ölçü farklarından bulunan standart sapma de ğeri ile ifade edilmektedir. Geometrik nivelmanda incelik 1 km’de ±1mm ile ±20 mm arasındadır. Hassas nivelmanda ise incelik, 1 km’de ±0.2 mm ile ±0.5 mm arasındadır. Yükseklik Sistemleri 2 Geometrik nivelman, her türlü mühendislik uygulamalarında ve teknik hizmetlerde kullanılır. Yüksek incelik istenen köprü, baraj vb. mühendislik yapılarında dü şey yöndeki deformasyonların belirlenmesinde ve ülke birinci ve ikinci derece nivelman a ğlarının ölçümünde hassas nivelman yöntemi kullanılır. 2. Trigonometrik Nivelman: Trigonometrik nivelmanda yükseklik farkları basit olarak, iki nokta arasındaki uzunluk ile dü şey açıdan yararlanılarak elde edilmektedir. Bu yöntemde incelik 1 km’de ±1cm ile ±10 cm arasındadır. Trigonometrik nivelman, daha çok konum koordinatlarının elde edilmesi için olu şturulan jeodezik a ğlarda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde, sa ğladı ğı incelik yeterli oldu ğu sürece mühendislik hizmetlerinde ve geometrik nivelmanın uygulanamadı ğı da ğlık arazideki her türlü yükseklik ölçmesinde uygulanır. Şekil 1.2 Trigonometrik nivelman 3. Barometrik Nivelman: Hava basıncı, deniz seviyesinden yukarılara do ğru çıktıkça dü şmektedir. Hava basıncı ölçülerek barometrik yükseklik elde edilmektedir. Barometrik nivelmanda iki nokta arasındaki yükseklik farkı ± 1-2 m incelikle bulunur. Barometrik nivelman yalnızca ke şif i şlerinde kullanılır. 4. Hidrostatik Nivelman: Fizikteki birle şik kaplar ilkesinden yararlanılarak geliştirilen hortumlu su düzeci denilen aletlerle, noktalar arasındaki yükseklik farkları ± 0.01 mm incelikle ölçülebilmektedir. Genel olarak hidrostatik nivelman, hortumlu su düzeçleri ile basit şantiye ölçmelerinde; hassas hortumlu su düzeçleri ile çok yüksek incelik gerektiren makine aplikasyonlarında ve kapalı yerlerde dü şey yöndeki deformasyonların ölçülmesi i şlerinde ba şarıyla kullanılmaktadır. Mira Mira g i ?h A B Nivelman düzlemi ?h= g - i ?h= H B - H A = geri-ileri= g-i Şekil 1.1 Geometrik nivelman ?H H B = H A + i + h – t h = S * cotZ H B = H A + i +S * cotZ – t Z h A B i t s Yükseklik Sistemleri 3 1.2. Yükseklik Sistemleri Ülke nivelman a ğlarının hesabında, önceleri durgun deniz yüzeyinin ba şlangıç olarak alınabilece ği dü şünülür; fakat bir çok ülkenin nivelman a ğlarının birle ştirilmesi ile elde edilen sonuçlar, bu kanının sarsılmasına neden olur. Örne ğin, 1862’deki ölçümlere göre Atlantik seviyesi, Akdeniz seviyesinden 64 cm daha yüksek bulunur. Nivelman sonuçlarına normal a ğırlık ivmesi ile ortometrik düzeltmeler getirilince iki seviye arasındaki farkın çok daha az oldu ğu görülür. Yapılan hesaplamalardan çe şitli deniz seviyeleri arasındaki farkın ölçü hataları içinde kaldı ğı kanaatine varılır. Böylece her ülkenin kendi nivelman a ğının en yakın deniz seviyesine ba ğlanması gere ği ortaya çıkar (Ulsoy, 1976). Geoit ba şlangıç olmak üzere, farklı yollardan gidilerek bir noktanın yüksekli ği nivelmanla belirlense, sonuçların e şit olmadı ğı görülür. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için nivelman sonuçları yola ba ğımlıdır. Yüksekliklerin açık ve kesin biçimde tanımlanması için yalnızca yükseklik farklarının ölçülmesi yeterli olmaz; nivelman yolları boyunca a ğırlık (yerçekimi ivmesi) de ğerlerinin de ölçülmesi gerekir. Problemin çözümü için yükseklikler, ya potansiyel de ğerlerden dönü ştürülür ya da ölçülen yükseklik farklarına bir düzeltme getirilerek elde edilir (Demirel, 1983). Geoidin denklemi, a ğırlık kuvveti ve onun potansiyeli ile açıklanabilir. Kitle yo ğunlu ğu sürekli oldu ğu sürece geoidin e ğrili ği de süreklidir. Yo ğunlu ğun ani de ği şikli ğe u ğradı ğı yerlerde geoidin e ğrili ği de de ği şir. Geoidin yeryüzü noktalarına göre konumu kesin olarak bilinmedi ğinden yüksekliklerin belirlenmesi için çe şitli hipotezler ortaya atılmı ştır. Yükseklikler, bilimsel yükseklikler ve pratik yükseklikler olarak sınıflandırılır. 1.2.1. Bilimsel Yükseklikler Yeryüzündeki herhangi bir noktanın geoide olan uzaklı ğı, noktadan geoide indirilen normal e ğrisinin uzunlu ğu ile veya geoidden noktaya eri şmek için kullanılacak i ş veya potansiyel yöntemleri ile tanımlanabilir. Sıfır yükseltili yüzey olarak geoidin alındı ğı daha önceden belirtilmi şti. Nokta yüksekliklerini çekül do ğrultusunda ölçmek üzere sıfır yükseltili bir yüzey şöyle de tanımlanabilir: Bir m kütlesi yerçekimi kuvveti do ğrultusunun ters yönünde, yeryüzünde bir A noktasından dh yüksekli ğine çıkarılırsa dA i şi yapılır. dA=m·g·dh [gr·cm 2 ·saniye -2 ] ( 1 . 1 ) Yükseklik Sistemleri 4 Burada g, A noktasındaki yerçekimi ivmesi (a ğırlık) ve dh, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farkıdır. m kütlesi yerçekimi kuvveti do ğrultusuna dik yönde hareket ettirilirse hiçbir iş yapılmı ş olmaz. Çünkü dh=0 dır. O halde bir m kütlesinin üzerinde ta şınmasıyla hiçbir i ş yapılmayan yüzey sıfır yükseltili bir yüzeydir. Bu şekilde sonsuz sayıda yüzey bulunabilir ve bunlara nivo yüzeyi de denir. Geoit de bu nivo yüzeylerinden biridir. m kütlesi, bir nivo yüzeyinden ba şka bir nivo yüzeyine ta şınırsa, hangi yoldan gidilirse gidilsin aynı i ş yapılır. Örne ğin, a şa ğıdaki şekilde D noktası, A noktasından geçen nivo yüzeyinde, C noktası da B noktasından geçen nivo yüzeyi üzerinde alınmı ştır ve noktalar, BA, CD çekül do ğrultuları üzerindedir. Bir m kütlesi önce ABC yoluyla A noktasından C noktasına, sonra da ADC yoluyla A noktasından C noktasına ta şınsın. Yeryüzünde yerçekimi ivmesi sabit olmayıp, co ğrafi enlem ve yüksekli ğe ba ğlıdır. Bir nivo yüzeyinin de ği şik noktalarında yerçekimi ivmeleri farklı yani g 1 ?g 2 oldu ğundan dh 1 ?dh 2 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyinin birbirine paralel olmadıklarını gösterir. Bu nedenle yüksekliklerin bulunmasında g nin göz önünde bulundurulması gerekir. Buna kar şın sarkıtılan çekülün ipi, nivo yüzeylerine diktir ve bu ip bir do ğru olmayıp uzay e ğrisi olacaktır. Bu e ğriye çekül e ğrisi denir (Aydın, 1997). Yeryüzünün herhangi bir noktasındaki yerçekimi ivmesine ba ğlı olarak o noktanın potansiyeli W olan skaler bir büyüklük tanımlanmı ştır. Nokta çekül do ğrultusunun tersine yani yüksekli ği artarak hareket ettirilirse potansiyeli azalır. Bu durumda i ş ve potansiyel ters orantılı kavramlardır. İş ve potansiyel arasındaki ili şki -m·dW= dA ( 1 . 2 ) ba ğıntısıyla verilmektedir. Buna göre; [ ] 2 - · · - = · · - = - = san cm dh g m dh g m m dA dW 2 (1.3) olur. Bu durumda bir birim kütlenin kaldırılması ile yapılan i ş, sayısal de ğer olarak kaybedilen potansiyele e şittir. İki nivo yüzeyi arasındaki potansiyel farkı sabit oldu ğundan, Sabit C dh g dh g dh g dW i i = = · = · = · = - 2 2 1 1 ( 1 . 4 ) ABC yolundan geçerken yapılan i ş dA 1 =m·g 1 ·dh 1 ADC yolundan geçerken yapılan i ş dA 2 =m·g 2 ·dh 2 dA 1 =dA 2 olmalıdır. Bu durumda, m·g 1 ·dh 1 = m·g 2 ·dh 2 g 1 ·dh 1 = g 2 ·dh 2 olur. Şekil 1.3 Nivo yüzeyleri dh 1 dh 2 g 1 g 2 A B C D Yükseklik Sistemleri 5 yazılır. Burada, dh i =0 olursa C=0 olur. Halbuki C ?0 oldu ğundan dh i ?0 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyi arasındaki yükseklik farkının sıfır olmadı ğını, yani nivo yüzeylerinin kesi şmedi ğini gösterir. Bir nivo yüzeyinde birim kütlenin ta şınması ile hiçbir i ş yapılmadı ğına göre hiçbir potansiyel kaybı da olmaz. Yani bir nivo yüzeyinin her noktasında potansiyel de ğeri sabittir. Bu nedenle nivo yüzeylerine e ş potansiyelli yüzeyler de denir. Sonsuz uzaklıkta bulunan bir noktanın potansiyeli sıfırdır. Bir birim kütlenin sonsuz uzaklıktan bir nivo yüzeyine ta şınması ile açı ğa çıkarılan i ş, sayısal de ğer olarak o nivo yüzeyindeki bir noktanın potansiyeline e şittir * . Nivo yüzeyinin genel denklemi, W=C=Sabit biçiminde yazılabilir ve ancak seriye açılımla çözülür. Bu serinin küçük terimleri toplamı T ile gösterilirse W=U+T olur. W yerine potansiyeli U=C=sabit olan bir yüzey dü şünülürse bu yüzeye nivo sferoidi denir. Nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi ? ile gösterilir ve buna normal a ğırlık adı verilir. Nivo yüzeyi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan g hesap yoluyla bulunamadı ğı halde nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan ?, yani normal a ğırlık hesap yoluyla bulunabilir. Yerçekimi ivmesi, co ğrafi enleme ve yüksekli ğe ba ğlıdır. P i ve P noktaları arasındaki potansiyel farkı, dW=-g i ·dh i idi. Bu e şitli ğin her iki tarafının P i noktasından P noktasına kadar integrali alınırsa, Pi P P Pi P Pi W W dh g dW - = · - = ? ? Pratikte integral hesabı yerine bir toplam ile yetinilmesinden dolayı, ? ? · - = · - = - P Pi i i P Pi Pi P dh g dh g W W ( 1 . 5 ) * Potansiyel enerji, bir sistemi olu şturan bölümlerin birbirlerine göre konumlarına ba ğlı olan, depolanmı ş durumdaki enerji. Potansiyel enerji tek bir cisme ya da parçacı ğa de ğil, bir sisteme özgü bir niteliktir. Örne ğin, top ile Yer’den olu şan bir sistemin potansiyel enerjisi bu iki cisim birbirlerinden uzakla ştırıldıkça artar. Topu yeryüzünden yukarı yükseltmek için yapılan i ş, sistemin enerjisine eklenir ve kütle çekimser potansiyel enerji olarak depolanır. Yer’in yüzeyine yakın bölgelerde kütle çekimsel potansiyel enerji, cismin a ğırlı ğı ile referans noktasına göre yüksekli ği çarpılarak hesaplanır. Ba ğlı sistemlerde, örne ğin elektronların çekirde ğin elektriksel çekim kuvvetiyle ba ğlı tutulmakta oldu ğu atomlarda, potansiyel enerji için sıfır referans noktası, çekirde ğin elektriksel çekim kuvvetinin algılanamayacak kadar küçüldü ğü, çok uzaktaki bir noktadır. Bu durumda, ba ğlı elektronların potansiyel enerjisi negatiftir; çekirde ğin etkisinden tam kurtulmakta olan hareketsiz bir elektronun potansiyel enerjisi ise sıfırdır (AnaBritannica, cilt:18, s:139, 2000 Ana Yayıncılık A. Ş. İstanbul). Yükseklik Sistemleri 6 yazılır. ? 0 herhangi bir enlemdeki normal a ğırlık ivmesi olmak üzere yukarıdaki e şitli ğin sa ğına (- ? 0 + ? 0 ) eklenir ve e şitli ğin her iki tarafı da ? 0 ile bölünürse e şitlik bozulmaz. Böylece, ? + - - = - P Pi Pi P dh g W W 0 0 0 0 ? ? ? ? e şitli ği elde edilir. Ba şlangıç noktasından kalkarak yine ba şlangıç noktasına dönüldü ğünde yukarıdaki e şitlik, 0 0 0 0 = - = + - ?? ? ? ? A A W W dh dh g olur. Buradan da ? ? 0 dh oldu ğu görülür. ?? - = - dh dh ? ? g 0 0 ( 1 . 6 ) de ğerine nivelman halkasının (ilmi ğinin) kapanması denir (Erbudak ve Tu ğluo ğlu, 1976). 1.2.1.1. Geopotansiyel Yükseklik (C) [] ? ?? · = - = · - · - = · - = P P P PP C W W dh g dh g dW dh g dW 0 0 00 m kgal Şekil 1.4 Geopotansiyel yükseklik e şitli ği ile tanımlanan C P sayısına P noktasının geopotansiyel yüksekli ği (geopotansiyel sayısı) denilir. Burada, W 0 geoidin, W P de yeryüzündeki bir P noktasının potansiyelini ifade etmektedir. Geopotansiyel yükseklik birimi kilogalmetre * olup aynı zamanda geopotansiyel birim (g.p.u) de kullanılmaktadır. C geopotansiyel sayı ve G ortalama gravite (a ğırlık) yardımıyla yükseklik sistemleri, G C H = ( 1 . 7 ) genel formülü ile ifade edilmektedir. G yerine , , ? ? 0 , g … gibi de ğerler verilerek de ği şik yükseklik sistemleri tanımlanır. Noktaların ya da noktalardan geçen nivo * Gal: özellikle kütle çekimi ölçümlerinde kullanılan ivme birimidir. 1 gal, hareket hızında saniye karede 1 cm de ği şikli ğe e şittir (1 gal =1 cm·san -2 ). 1 kilogalmetre, 45 0 enlemindeki deniz seviyesinde 1 kg lık bir kütleyi 1 metre yüksekli ğe kaldırmak için gerekli i şdir. Yükseklik Sistemleri 7 yüzeylerinin geoide göre durumlarını gösteren, geoit ile bu yüzeyler arasında kilogal·metre biriminde ifade edilen geopotansiyel yükseklikler, geometrik ya da pratik anlamda bir yükseklik olmayıp fiziksel anlamda büyüklüklerdir. P noktasının geopotansiyel yüksekli ği; P 0 dan P ‘ye olan geçki üzerinde belirli aralıklı noktalar arasındaki geopotansiyel yükseklik farkları ( ?C i ) nın toplamıyla elde edilir. i i K i i P dh g ? C ? C · = = ? = i C , 1 (1.8) dh i , iki nokta arasındaki geometrik nivelman ile bulunan yükseklik farkı, i g söz konusu iki yeryüzü noktası arasındaki ortalama gerçek gravitedir. Noktaların geopotansiyel yükseklikleri belirlendikten sonra istenen yükseklik sisteminde nokta yükseklikleri belirlenebilir. Ayrıca geometrik nivelman ölçülerine uygun düzeltmeler (ortometrik düzeltme, normal düzeltme, dinamik düzeltme) getirilerek; düzeltmeye kar şılık gelen yükseklik sisteminde noktalar arasındaki yükseklik farkları doğrudan da elde edilebilir. Nivo yüzeylerinden her biri, geopotansiyel yüksekliklerin bir tek sayısal de ğeriyle bellidir. Geoidin potansiyel yüksekli ği sıfıra e şittir. C geopotansiyel kotların hesaplanması için da ğlık yörelerde her 0,5-1 km de, engebeli yerlerde 1-2 km de ve düz yerlerde de her 3-5 km de bir g a ğırlık ivmesi ölçülür (Erbudak ve Tu ğluo ğlu, 1976). Geopotansiyel yükseklikler, 1 kgal’e bölünürse metre biriminde sayısal de ğeri de ği şmeyen bir büyüklük elde edilir. Geopotansiyel yükseklikleri metre biriminde dü şünmek onların fiziksel niteli ğini de ği ştirmez. 1.2.1.2. Dinamik Yükseklik (H D ) Dinamik yükseklik, 0 ? C H = e şitli ği ile tanımlanır. ? 0 , herhangi bir enlemdeki normal a ğırlık ivmesidir. Pratikte 45 ° enleminde deniz seviyesindeki ivme de ğeri olan gal 6294 980 45 0 . = ? de ğeri kullanılır (Aydın, 1997). 0 ? C H = e şitli ği yardımıyla A ve B noktaları arasındaki H ? yükseklik farkı, dh g dh dh g dh g C C H B A B A B A B A A B ?? ?? - + = + - = · = - = ? 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 1 1 ) ( 1 ? ? ? ? ? ? ? yazılır. E şitli ğin sa ğındaki ilk terim geometrik nivelmanla elde edilen yükseklik farkını, ikinci terim ise, dh g dh g v B A B A D ? ? - ? - = 0 0 0 0 ? ? ? ? ( 1 . 9 ) Yükseklik Sistemleri 8 dinamik yükseklik düzeltmesini ifade eder. Aynı nivo yüzeyi üzerindeki noktaların dinamik yükseklikleri e şittir. Fiziksel boyutu olan geopotansiyel yükseklikler sabit bir sayı 45 ? ile bölünerek metrik boyutu olan dinamik yükseklikler elde edilir. Dinamik yüksekliklerin herhangi bir geometrik anlamı yoktur. Geometrik nivelman ölçülerine dinamik düzeltme getirilerek dinamik yükseklik farkları elde edilebilir. A ğırlık ivmesi * , ekvatordan kutuplara do ğru 5 gal büyüklü ğünde bir de ği şmeye u ğradı ğından, yükseklik düzeltmeleri de büyük olabilir. Örne ğin, ekvatorda 2000 metrelik yükseklik için, m . . . . . . E m m m 26 5 2000 6294 980 5804 2 2000 6294 980 6294 980 049 978 2000 45 0 45 0 - = · - = · - = · - ? ? ? olur. Dinamik yükseklik düzeltmesi özellikle da ğlık bölgelerde büyük de ğerlere ula ştı ğından, bu yükseklik sistemi uygulama açısından uygun de ğildir. 1.2.1.3. Ortometrik Yükseklik (H) Şekil 1.5 Ortometrik yükseklik Ortometrik yükseklik, Yeryüzündeki bir noktanın çekül e ğrisi boyunca geoide olan uzaklı ğıdır ve g ortalama a ğırlık ivmesi olmak üzere, g C H = e şitli ği ile ifade edilir. Yeryüzündeki bir noktanın ortometrik yüksekli ği do ğrudan do ğruya ölçülemez. Geoit üzerindeki bir A noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda elde edilen yükseklik farkı [ ?h], nivelman yoluna ve dolayısıyla g yer çekimi ivmesine ba ğlıdır. Yine geoit üzerindeki di ğer bir B noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda bulunan yükseklik farkı [ ?h’] dır. Böylece C noktası için A dan ve B den farklı nivelman yükseklikleri bulunmu ş olur. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için C noktasının nivelmanla bulunan yükseklikleri [ ?h] ve [ ?h’], bu noktanın ortometrik yüksekli ği olan H ‘ya e şit de ğildir. * Normal a ğırlık ivmesi, ekvatorda gal . ? 049 978 0 0 = ve kutupta gal 2213 983 90 0 . ? = dır. Yükseklik Sistemleri 9 Yükselti (nivo) yüzeyleri paralel olmadıklarından aynı yükselti yüzeyi üzerindeki noktaların ortometrik yükseklikleri e şit de ğildir. Çekül e ğrilerinin yeryüzü ile geoit arasında kalan noktalarında a ğırlıkları ölçmek ya da g ortalama de ğerini ölçümle belirlemek olanaksız oldu ğundan ortalama a ğırlık ivmesi, çe şitli yollardan hesaplanabilir. Örne ğin, Helmert’e göre; [] km H . g g P P · + = 0424 0 (1.10) formülü ile hesaplanır ( şekil 1.6). Burada g P , P yeryüzü noktasında ölçülen gravitedir. Ortometrik Düzeltme (v o ) : Ortometrik yükseklikler, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farklarına, bir düzeltme getirilerek bulunur. Deniz seviyesinden oldukça yüksek olan bölgelerde, kuzey-güney do ğrultusunda bu düzeltmeler hissedilir derecede büyük de ğerlere ula şabilir. Uygulamada ortometrik düzeltmelerin toplam nivelman boyu yerine, iki röper noktası arasındaki her parça için uygulanması uygundur. (Özgen, 1984). Şekildeki A ve B noktaları arasında yapılan geometrik nivelman sonucunda elde edilen ? ?h toplamına getirilecek düzeltmeyi hesaplamak için ? = 0 dh e şitli ğinden yararlanılır. Böylece, ? ? ? ? = · + · + · + · ' ' ' ' A B B B B A A A dh g dh g dh g dh g 0 (1.11) denklemi elde edilir. Aynı yükselti yüzeyi üzerinde, ? ' ' = · B A dh g 0 oldu ğundan, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = + - - + - + + - - ? ? ? ' ' dh g dh g dh g B A B B A A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ya da ? ? ? ? = ? - - - + - + - - - ' ' B A B A B B B A A A h dh g H dh g H dh g 0 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? elde edilir. Buradan, P g P w=w P B A w=w 0 h 2 h A’ B’ w=w 0 w=w P A A g h , B B g h , Şekil 1.6 Ortometrik düzeltme Yükseklik Sistemleri 10 B B A A B A B A A B H g H g dh g h H H 0 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? - - - + - + ? + = ? ? yazılarak, B B A A B A D H ? ? g H ? ? g dh ? ? g v 0 0 0 0 0 0 - - - + - = ? (1.12) düzeltmesi elde edilir. (Erbudak ve Tu ğluo ğlu, 1976). Düzeltme miktarını hesaplayabilmek için önce, çekül e ğrisi boyunca A noktasındaki A g ve B noktasındaki B g ortalama a ğırlık ivmesi, örne ğin (1.10) ‘a göre hesaplanır. Gerek geopotansiyel yükseklikler gerekse dinamik yükseklikler, hem düzeltmelerinin büyük olması hem de gerçek anlamda yükseklik ifade etmedikleri için teknik yükseklikler olarak kullanılmaya elveri şli de ğillerdir. Ortometrik yüksekliklere getirilecek düzeltmeler de teknik nivelman sonuçlarının düzeltilmesini zorunlu kılacak kadar büyüktür. 1.2.2. Pratik Yükseklikler Teknik nivelman sonuçlarına düzeltme getirme zorunlulu ğunu ortadan kaldırmak amacıyla küçük düzeltmeli yükseklik sistemleri ara ştırılmı ş ve sonuçta pratik yüksekliklerin bir dizisi geli ştirilmi ştir. Ara ştırmalar, bu sistemlerin küçük ya da belli bir topografik yapıya uyan bölgelerde iyi sonuçlar verdiklerini, ama büyük ve da ğlık ülkeler için uygun dü şmediklerini göstermektedir. Molodenski tarafından 1945 de tanımlanan normal yükseklikler, teori ve uygulamanın gereksinimlerini kar şılayacak niteliktedir. De ği şik yükseklik sistemlerini kar şıla ştırmak amacıyla bazı nivelman poligonlarında yapılan incelemelerde normal yüksekliklere ili şkin düzeltmeler, ötekilere oranla küçük çıkmaktadır. Şekil 1.7 de, çe şitli yükseklik sistemlerinin ba şlangıç yüzeyleri ve bu yüzeylere göre tanımlanan yükseklikler görülmektedir. C : Geopotansiyel yükseklik H : Ortometrik yükseklik H N : Normal yükseklik H NO : Normal ortometrik yükseklik h : Elipsoidal yükseklik N : Geoit yüksekli ği (N=h-H) ? : Kuazigeoit yüksekli ği ( ?=h-H N ) Şekil 1.7 Yükseklik sistemlerinin ba şlangıç yüzeyleri ve çe şitli yükseklikler Yükseklik Sistemleri 11 1.2.2.1. Normal yükseklik (H N ) Yeryüzünün gerçek gravite alanının normal gravite alanı oldu ğu, yani W=U, g= ?, T=0 oldu ğu kabul edilsin. İşte bu varsayıma kar şılık gelen ortometrik yüksekliklere normal yükseklik adı verilir ve ? C H N = e şitli ği ile ifade edilir. ? , çekül e ğrisi boyunca olan ortalama gravitedir ve iteratif olarak a şa ğıdaki e şitlikten çözülür. kM b a m ] ) a H ( a H ) sin f m f ( [ N N · · = + · · · - + + - · = 2 2 2 2 1 1 ? ? ? ? (1.13) Burada ?, aynı ? enleminde elipsoit üzerindeki normal gravite, ? jeodezik enlem, f basıklık, ? Yerin açısal dönme hızı, a ve b elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri, kM Newton çekim sabiti ile yerin kitlesinin çarpımıdır (Demir ve Cingöz). Elipsoit üzerinde ? yükseklik anomalileri de çizilebilir. Bu yolla okyanuslar üzerinde geoitle özde ş olan bir yüzey elde edilir. Çünkü orada N ? = olup di ğer taraflarda da geoide çok yakındır. Bu yüzeye Molodenski tarafından kuazigeoit denmi ştir. Normal yüksekliklerin ba şlangıç yüzeyi, okyanuslarda geoit ile çakı şan, karalarda farklılık gösteren kuazigeoit (kogeoit) dir. Kuazigeoitte geoidin dı ş yüzeyindeki kütle ve bunun yerçekimi ivmesi üzerindeki etkisi dikkate alınmaz. Bununla beraber kuazigeoit bir nivo yüzeyi de ğildir ve hiçbir fiziksel anlamı da yoktur. Bu, geoide benzer bir yüzeye ça ğrı şım yaptırır (Gürkan, 1984). Normal potansiyel U basit bir analitik fonksiyon oldu ğundan bu formüller kolaylıkla de ğerlendirilebilir. Fiziksel yeryüzündeki bir P noktasının belirli bir W P gerçek potansiyeli ve belirli bir U P normal potansiyeli vardır. Genel anlamda W P ? U P dir; fakat P den geçen çekül e ğrisi üzerinde U Q =W P olan belirli bir Q noktası vardır. Bir ba şka deyi şle, Q daki U normal potansiyeli P deki W gerçek potansiyele e şittir. P nin H N normal yüksekli ği, aynen P nin geoit yüzünden olan ortometrik yüksekli ği gibi, Q nun elipsoit yüzünden olan geometrik yüksekli ğinden ba şka bir şey de ğildir (Gürkan, 1984). Ba şlangıç elipsoidi ile kuazigeoit arasındaki uzaklık, yükseklik anomalisi (kuazigeoit yüksekli ği) ?=h-H N olarak tanımlanır. Yüksek da ğlık yerlerde kuazigeoit ile geoit arasındaki fark (uzaklık) yakla şık 2 m yi bulur (Möser u.a. 2000). Elipsoitten H N yüksekli ğinde olan noktalar, tellüroit adı verilen Yeryüzünün bir modelini olu ştururlar. Şekil 1.8 den görüldü ğü gibi P noktasının gerçek çekül e ğrisi boyunca geoide olan uzaklı ğı ortometrik yükseklik, normal çekül e ğrisi boyunca Yükseklik Sistemleri 12 kuazigeoide olan uzaklı ğı ise normal yüksekliktir. Ortometrik yükseklikler yer yo ğunlu ğu ile ilgili bazı varsayımlara dayanmasına kar şın, normal yükseklikler için herhangi bir varsayım söz konusu olmayıp her iki yükseklik sistemi tam diferansiyel ve tek anlamlıdır. Şekil 1.8 Ortometrik ve normal yükseklik Dinamik ve ortometrik düzeltmeler gibi, ölçülen yükseklik farkları için de bir normal düzeltme v N vardır. g yerine ? ve H yerine H N konarak, N B B N A A B A N H ? ? ? H ? ? ? ? ? g v · - - · - + - = ? 0 0 0 0 0 0 (1.14) yazılabilir. Böylece, N AB N A N B N AB v h ? H H H ? + = - = ( 1 . 1 5 ) olur. 1.2.2.2. Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) (H NO ) Gerçek gravite de ğerinin bilinmedi ği durumlarda i g yerine ortalama normal gravite i ? alınarak ?C i ’ normal geopotansiyel yükseklik farkı elde edilmekte ve böylece normal geopotansiyel yükseklik (C P ’) hesaplanmaktadır. i i K i ı i ı P dh ? ? C ? C · = = ? = ı i C , 1 (1.16) Yükseklik Sistemleri 13 Normal geopotansiyel yükseklikten normal ortometrik yükseklikler, ) ? G C H ı P NO 2 H ( 0.3086 - G , NO · = = (1.17) e şitlikleriyle elde edilmektedir. Normal geopotansiyel yükseklikler, gerçek gravite alanına dayanmadı ğı için tam diferansiyel ve tek anlamlı de ğildir. Bunun anlamı, bir halkayı (lupu) olu şturan normal geopotansiyel yükseklik farklarının toplamı teorik olarak sıfır olmaz. Bu da bir yükseklik sisteminden beklenen temel özellikleri yansıtmamaktadır. Ölçülen geometrik yükseklik farklarına normal graviteden yararla normal ortometrik düzeltme getirilerek normal ortometrik yükseklik farkları elde edilebilmektedir. Normal ortometrik düzeltme (v NO ); ? ? ] ? cos ) ? ß ? ( [ ? sin ? H v NO NO 2 2 1 2 2 · · + · · = (1.18) e şitli ği ile hesaplanır. Burada NO H ortalama yükseklik ? ve ß bilinen katsayılar, ? iki dü şey kontrol noktasının ortalama enlemi, ? ? ise aralarındaki enlem farkıdır. Türkiye'de mevcut yükseklikler Normal Ortometrik Yükseklik Sistemi’nde olup ölçülen yükseklik farkları; yukarıdaki e şitlikte ?=0.002644 ve ß=0.000007 (Hayford Elipsoidi) alınarak hesaplanan normal ortometrik düzeltme ile normal ortometrik yükseklik farklarına dönü ştürülmü ştür (Demir ve Cingöz). Normal ortometrik yükseklik, NN (“normal sıfır”) yüksekli ği olarak da ifade edilir. Sıfır noktası olarak Ülkemizde Antalya Mareograf İstasyonundaki röper noktası alınmı ştır. NN-ba şlangıç yüzeyi, bir elipsoit yüzeyidir. NN-yüzeyi, normal a ğırlık ivmesinin etkisinin dikkate alındı ğı bir v NO normal ortometrik indirgemesiyle NN-yüksekli ği belirlenerek elde edilir. 1.2.3. Elipsoidal Yükseklik (h) Uygulamada, geometrik nivelman ve gravite ölçülerine dayalı olarak hesaplanan ortometrik yükseklikler kullanılır. GPS ölçüleri ile üç boyutlu geosentrik bir koordinat sisteminde seçilen ba şlangıç elipsoidine göre elipsoidal yükseklik h, belirlenmekte olup elipsoidal yükseklik ile ortometrik yükseklik arasında, h = H + N ( 1 . 1 9 ) ili şkisi bulunur. Burada, H ortometrik yükseklik, h elipsoidal yükseklik ve N geoit yüksekli ği (geoit ondülasyonunu) olup geoit ile elipsoit arasındaki uzaklıktır. Ortometrik yükseklik ve elipsoidal yükseklik arasındaki ili şkiler Şekil 1.9’da görülmektedir. Yükseklik Sistemleri 14 Şekil 1.9 Elipsoidal yükseklik ve ortometrik yükseklik Elipsoidal yükseklikler, yerin çekim alanından tamamen ba ğımsızdır. Hâlihazırda kom şu GPS noktaları arasındaki 4 ile 10 mm lik yükseklik inceli ği, hassas nivelman noktalarının inceli ğine yeti şemez. Verilen elipsoide ili şkin GPS yükseklikleri ile a ğırlık alanında nivelmanla belirlenmi ş yüksekliklerin birlikte de ğerlendirilmesi için geoidin hassas bilgileri gereklidir. GPS gözlemlerinden türetilen ortometrik yükseklikler, elipsoidal ve geoit yükseklikleri arasındaki ili şkilerin hassasiyetine ba ğlıdır. Yükseklik belirlemesinin do ğruluk istemlerine uygun yerel bir geoit kullanılırsa, mühendislik ölçmeleri için GPS yükseklikleri kullanılabilir. 1.3. Nivelman A ğları Yükseklikleri nivelman yoluyla belirlenmi ş noktaların olu şturdu ğu a ğlara nivelman a ğları denir. Nivelman a ğları de ği şik incelikle belirlenmi ş nivelman geçkilerinden meydana gelir. Nivelman geçkileri, inceliklerine göre çe şitli derecelere ayrılır. I. ve II. derece nivelman ölçmeleri, genellikle ülke nivelman a ğlarında ve deformasyon ölçmeleri gibi ara ştırma i şlerinde uygulanır. Di ğer derecelerdeki nivelman ölçmeleri, yol in şaatı, su i şleri, şehir haritalarının yapımı, yüzey nivelmanı gibi bütün teknik i şlerde uygulanır. 1.3.1. Türkiye Ulusal Dü şey Kontrol A ğı (TUDKA) Türkiye’de Dü şey Kontrol (Nivelman) A ğı ile ilgili çalı şmalar 1935 yılında Antalya mareograf (deniz seviyesi ölçer) istasyonunun kurulması ile ba şlamı ştır. Ana karayolları ve demiryolları boyunca 2.5–3 km de bir olu şturulan I. ve II. derece Yükseklik Sistemleri 15 nivelman noktaları arasındaki ölçmeler, Akdeniz, Karadeniz ve E ğe Denizindeki mareograf istasyonlarına ba ğlı olarak gidi ş-dönü ş yapılmı ştır. I. derece nivelman halkasının çevresi 650–1400 km ve bunların kapanma hataları 10–15 cm’dir. II. derece nivelman noktaları, I. derece geçkilerin aralarını doldurmak ve bunları birbirine ba ğlamak amacı ile yapılmı ştır. III. Derece nivelman noktaları s ıkla ştırma amacı ile yapılmı şlardır. Ölçmeler Wild N3 ve 1988 ‘den itibaren Zeiss Ni 002 nivoları ile invar miralar kullanılarak yapılmı ştır. 1955 yılında İstanbul Bo ğazı’ndan (860 m) ve Çanakkale Bo ğazı’ndan (1450 m) vadi geçi ş nivelmanı ile kar şı tarafa geçilmi ştir ( Şerbetçi, 1995). 1965 yılında ülke nivelman a ğı için dengeleme çalı şmalarında, mareograf istasyonları arasında çıkan bazı farklılıklar nedeniyle, Ülkenin ortasındaki bir noktaya mareograf istasyonlarından yükseklik ta şınarak bunların ortalaması, ülke nivelman a ğının ba şlangıç kotu olarak seçilmi ştir ( Şerbetçi 1992). Ancak ayrı bölgelerden yükseklik verilen ortak noktalarda önemli farklar oldu ğu görülerek bu uygulamadan vazgeçilmi ştir. Mareograf istasyonları arasındaki yükseklik farklarından dolayı ülke nivelman a ğına, Do ğu Akdeniz Bölgesi hariç, Antalya Mareograf İstasyonunun 1936–1958 yılları arasındaki 22 yıllık gözlemlerinin aritmetik ortalaması alınarak ortalama deniz seviyesine göre yükseklik de ğeri verilmi ştir. Dengeleme etütlerinde yerçekimi ölçülerinin önemi anla şıldı ğından; I. ve II. derece noktalardan olu şan ülke temel nivelman a ğının iyile ştirilmesi ve uluslararası standartlara uygun duruma getirilmesi çalı şmalarına hız verilmi ş ve bu amaçla 1983 yılında eski mareograf istasyonları iptal edilerek bunların yerine ba şta Antalya, İzmir/Mente ş, Bodrum ve Erdek’te olmak üzere yeni istasyonlar kurulmu ştur. 158 tane I. derece ve 87 tane II. derece geometrik nivelman geçkisinin ilk faz ölçümleri 1970 yılına kadar yapılarak Dü şey Kontrol A ğı tesis edilmi ştir. Gravite a ğı ile ilgili çalı şmalar 1956 yılında ba şladı ğından 1970 yılına kadar dü şey kontrol noktalarında gravite ölçülmemi ştir. 1973 yılından itibaren ikinci faz geometrik nivelman ölçmeleri ba şlatılmı ştır. Bu kapsamda günümüze kadar sürdürülen çalı şmalarda daha önce tesis edilen geçki ölçümleri yenilenmi ş, alt yapı nedeniyle tahrip olan geçkiler yerine yenileri, gerek duyulan yerlerde ise yeni geçkiler tesis edilmi ş ve dü şey kontrol noktalarında gravite ölçülmü ştür. 1993 yılına kadar gerçekleştirilen ölçme çalı şmaları ile 151 adet I. derece ve 39 adet II. derece geçki ölçümü yenilenmi ş, 2 yeni II. derece geçki tesis edilerek ölçülmü ştür. 1985–1992 yıllarında yapılan çalı şmalarla, 1973–1991 yıllarında ölçümü yenilenen 151 adet I. derece ve 35 adet II. derece geçki ile 1970 yılından önce ölçülen 5 adet I. derece geçkinin, gravite de ğerleri ile birlikte ilk de ğerlendirmesi yapılarak Türkiye Ulusal Dü şey Kontrol A ğı–1992 (TUDKA92) olu şturulmu ştur. Ölçümü yenilenmemi ş 52 II. derece geçki bu de ğerlendirmeye alınmamı ştır (Demir ve Cingöz). Yükseklik Sistemleri 16 TUDKA92 olu şturulurken dengeleme sonrası yapılan istatistik analizde, uyu şumsuz oldu ğu saptanan üç adet geçki de ğerlendirme dı şı b ırakılmı ştır. Sonraki yıllarda, uyu şumsuz bulunan üç geçkiden iki tanesi (biri tamamen, di ğerinin bir bölümü) ölçülmü ştür. Ayrıca 1993 yılında dört eski ve iki yeni olmak üzere altı adet II. derece geçki ölçümü yapılmı ştır. Di ğer taraftan daha önce de ğerlendirme dı şı bırakılan 52 adet II. derece geçkiden 44 ‘ünün a ğa ba ğlantısı gerçekleştirilmi ş ve bu geçkilerdeki noktaların tamamında gravite de ğerleri prediksiyonla kestirilmi ştir. A ğa ba ğlantısı sa ğlanamayan di ğer 8 adet eski II. derece geçki de ğerlendirme dı şı tutulmu ştur. Daha sonra tüm geçkilerdeki noktaların koordinatları (enlem ve boylam) 1/25000 ölçekli haritalardan sayısalla ştırılarak elde edilmi ş ve mevcut tüm veriler (gravite, enlem, boylam, geometrik yükseklik farkı, uzaklık) kontrol edilmi ştir. Yukarıda sözü edilen kontrol i şlemleri tamamlandıktan sonra, yapılan ek ölçülerin de katılımı ile TUDKA dengelemesi yeniden yapılarak, TUDKA99 olu şturulmu ştur. Bu de ğerlendirmeye 1970 yılından sonra ölçülen 151 adet I. derece ve 41 adet II. derece ile 1970 yılından önce ölçülen 7 adet I. derece ve 44 adet II. derece geçki olmak üzere toplam 243 adet I. ve II. derece geçki dahil edilmi ştir. TUDKA99 toplam 29316 km uzunlu ğunda, 243 geçki ve 25680 noktadan olu şan a ğın dengelenmesiyle olu şturulmu ştur. Şekil 1.10 Türkiye Ulusal Dü şey Kontrol A ğı-1999 (TUDKA-99) TUDKA99 için dü şey datum Antalya mareograf istasyonunda 1936–1971 yıllarında elde edilen anlık deniz seviyesi ölçülerinin ortalamasıyla belirlenmi ştir. Dengelemede ölçü olarak geopotansiyel yükseklikler alınmı ş ve tüm noktalarda geopotansiyel yükseklik, Helmert ortometrik yüksekli ği ve Yükseklik Sistemleri 17 Molodenski normal yüksekli ği hesaplanmı ştır. Geopotansiyel yükseklik hesabında, düzenlenmi ş Potsdam datumundaki gravite de ğerleri kullanılmı ştır. Dengeleme sonucunda datuma ba ğlı nokta yüksekliklerinin duyarlılıkları 0.3 cm ile 9 cm arasında bulunmu ştur. TUDKA99’un sıkla ştırılması amacıyla, TUDKA99'un I. ve II. derece noktalarına dayalı III. derece nivelman a ğı (Ana Nivelman A ğı=ANA) olu şturulur. TUDKA99 noktaları geçki kontrolü yapılarak kullanılır. TUDKA99 noktalarına dayalı olarak daha önceden olu şturulan a ğlardaki yüksek dereceli noktaları, dayanak noktası olarak almak için ilgili idarenin onayı alınır. Sıkla ştırma alanında TUDKA99'un I. veya II. derece noktaları yoksa bu a ğa ba ğlantıyı sa ğlayacak ‘ba ğlantı nivelmanı’ yapılır. Ba ğlantı nivelmanı, hassas geometrik nivelman veya GPS nivelmanı yöntemiyle yapılabilir. 1.3.2. Nivelman A ğlarının Derecelendirilmesi 15 Temmuz 2005’te Bakanlar Kurulu’nca onaylanarak yürürlü ğe giren “Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeli ği”ne göre Türkiye Ulusal Dü şey Kontrol (Nivelman) A ğı ve bu a ğa dayalı olarak olu şturulan dü şey kontrol a ğlarının derecelendirilmesi a şa ğıdaki gibidir: I. Derece Nivelman A ğı ve Noktaları: Ülke Nivelman A ğı ve Noktaları II. Derece Nivelman A ğı ve Noktaları: Ülke Nivelman A ğı ve Noktaları III. Derece Nivelman A ğı ve Noktaları: En çok 40 km uzunlu ğundaki luplarla üst dereceli a ğlara dayalı sıkla ştırma ağları ve noktaları. Ana Nivelman A ğı IV. Derece Nivelman A ğı ve Noktaları: I., II. ve III. Derece noktalara dayalı en çok 10 km uzunlu ğundaki luplarla (halkalarla) sıkla ştırma a ğı ve noktaları. Ara Nivelman A ğı V. Derece Nivelman A ğı ve Noktaları: Poligon ve tamamlayıcı nivelman a ğı ve noktaları Ana nivelman a ğı, proje alanını kapsayacak şekilde, çevresi 40 km’yi a şmayan luplar biçiminde düzenlenir. Nivelman geçkileri hassas geometrik nivelman yapılabilecek yollar üzerindeki C3 ve daha yüksek dereceli noktalar ve poligon noktaları ile bölgede önceden tesis edilen nivelman a ğlarının yüksek dereceli noktalarını içerecek şekilde seçilir. Geçki üzerindeki nokta sıklı ğı en çok 1.5 km olmalıdır. Seçimi yapılan noktalar için bir seçim kanavası düzenlenir. Seçim kanavası onaylandıktan sonra, yeni noktalar tesis edilir ve röperlenir. Ara nivelman a ğı, ba şı ve sonu ana nivelman a ğı noktalarına ba ğlı toplam uzunlu ğu 10 km'yi geçmeyen nivelman geçkileri veya en az iki ana nivelman noktasını içeren Yükseklik Sistemleri 18 ve toplam uzunlu ğu 10 km’yi geçmeyen luplar biçiminde plânlanır. Geçki üzerindeki nokta sıklı ğı 750 m -1000 m olmalıdır. Seçimi yapılan ana nivelman noktaları, seçim kanavasında gösterilir. Yardımcı nivelman noktaları, Proje alanı içinde, her dereceden nivelman noktalarının yo ğunlu ğu yerle şim bölgelerinde ortalama 400–500 m aralıklarla ve di ğer bölgelerde ortalama 700–800 m aralıklarla olmalıdır. Bu yo ğunlu ğu yeterince sa ğlamak için yardımcı nivelman noktaları (RS) tesis edilir. Bu noktalar seçim kanavasında gösterilir. Proje alanındaki yatay koordinatları hassas olarak belirlenmemi ş nivelman noktalarının koordinatları ± 15 cm do ğrulukta belirlenir. 1.3.3. Nivelman Kapanma Hataları Nivelman kapanma hataları, ba ğlantı nivelmanı, ana ve ara nivelman a ğındaki yükseklik farklarının belirlenmesinde, gidi ş-dönü ş nivelmanı yapılır ve gidi ş-dönü ş nivelmanıyla yükseklik farkının ± 1.5 mm/km veya daha iyi duyarlıkla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Yardımcı nivelman noktalarının yükseklikleri, ana ve ara nivelman noktalarına ba ğlı nivelman geçkilerinde gidi ş-dönü ş nivelmanı ile olabildi ğince poligon noktalarından geçilerek belirlenir. Bu nivelmanda, gidi ş-dönü ş nivelmanıyla yükseklik farkını ± 2.5 mm/km veya daha iyi do ğrulukla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Nivelman yolunun uzunlu ğu ba ğlantı noktaları arasındaki geometrik uzunlu ğun 2 katını geçemez. Gidi ş – dönü ş nivelmanında bulunan kapanma de ğeri (w), Ana ve ba ğlantı nivelmanında : w [ mm ] ? 12 S [km ] Ara nivelmanda : w [ mm ] ? 15 S [km ] Yardımcı nivelmanda : w [mm ] ? 20 S [km ] + 0.0002 ?H olmalıdır. Burada S, km biriminde nivelman yolunun uzunlu ğu, ?H iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır. Nivelman yolu üzerindeki ardı şık noktalar arasında bu kontrol yapılır. Gidi ş–dönü ş yükseklik farklarının ortalamalarından hesaplanan lup kapanmaları (w L ), Ana nivelmanda : [] [] km L L 15 w mm ? Yükseklik Sistemleri 19 Ara nivelmanda : [] [] km L L 18 w mm ? olmalıdır. Burada L, km biriminde nivelman lup uzunlu ğudur. 1.3.4. Nivelman Ölçülerinin De ğerlendirilmesi Ana, ara ve yardımcı nivelman a ğı, ayrı ayrı veya birlikte uygun a ğırlıklandırma ile gidi ş-dönü ş yükseklik ortalamaları ölçü ve bir nokta de ği şmez alınarak, zorlamasız veya serbest dengelenir ve uygun testlerle uyu şumsuz ölçüler ayıklanır. İstatistik güven düzeyi 1- ?=0.95 alınmalıdır. A ğda uyu şumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme, uyu şumsuz ölçü testi ve ölçü tekrarına devam edilir. TUDKA99 noktalarının, olu şturulan nivelman a ğı ile uyu şumlu olup olmadı ğı test edilir ve uyu şumlu TUDKA99 noktalarının yükseklikleri de ği şmez alınarak, topluca veya ana, ara ve yardımcı nivelman a ğları ayrı ayrı dengeleme ile bu a ğlardaki noktaların Helmert ortometrik yükseklikleri hesaplanır. İstatistik güven düzeyi 1- ?=0.95 alınmalıdır. Geometrik Nivelman 20 2. BÖLÜM GEOMETR İK N İVELMAN Geometrik nivelmanda * noktalar arasındaki yükseklik farkları, bu noktaların yatay bir düzleme olan dü şey uzaklıkları ölçülerek, bunların farkı alınmak suretiyle bulunur (Bakınız Şekil 1.1). Noktaların yatay düzlemden dü şey do ğrultudaki uzaklıklarını ölçmek için, noktalar üzerine dü şey olarak mira tutulur ve nivelman düzleminin bu miraları kesti ği yerde mira okumaları yapılır. Nivelmanla noktalar arasındaki yükseklik farkları ölçülür. Ölçülen yükseklik farkları, yüksekli ği önceden belli olan noktaların yüksekliklerine eklenerek yeni noktaların yükseklikleri bulunur. Yöntemine uygun olarak tesis edilmi ş, yapılan ölçme ve hesaplamalarla, yükseklikleri belirlenmi ş olan noktalara nivelman noktası denilir. 2.1. Nivolar Nivelman aletlerinin esası, yatay bir gözlem düzlemini gerçekle ştirecek bir düzenden ibarettir. Geometrik nivelmanda yatay bir gözlem düzlemi olu şturmak amacıyla genellikle nivo; noktaların yatay gözlem düzleminden olan uzaklı ğını ölçmek için de mira kullanılır. Nivoda yataylı ğı sa ğlamak için düzeç ve miradaki okumaları kolayla ştırmak için de dürbün kullanılır. Aleti istenilen yöne çevirmeye yarayan bir dü şey ekseni ve yataylanması için de üçayak ile donatılmı ştır. Nivolarda yatay düzlem, dürbünün optik ekseninin yataylanması ile sa ğlanır. Bir de aleti ta şımaya yarayan sehpası vardır. * Uygulamada “geometrik nivelman” yerine kısaca “nivelman” kavramı da kullanılmaktadır. Geometrik Nivelman 21 Nivolar alt ve üst yapı olmak üzere iki kısımdan olu şur. Alt yapıda dü şey eksen ile üçayak bulunur. Ayrıca yatay az hareket ve yatay genel hareket vidaları vardır. Bazı nivolarda yatay hareket sürtünme esasına göre oldu ğundan yatay genel hareket vidaları yoktur. Üst yapı ise dürbün ve silindirsel (boru) düzeçten olu şur. Dürbün: Basit bir dürbünün şematik kesiti Şekil 2.1 de görülmektedir. 1 objektifine giren ı şınlar, görüntü düzleminde miranın ters bir görüntüsünü verir. Görüntü 4 oküleri yardımıyla önemli ölçüde büyütülür. Aynı görüntü düzleminde bir cam plaka üzerine kazınmı ş gözlem çizgileri vardır ( Şekil 2.2). Dürbün oküleri, gözlem çizgileri net ve keskin görününceye kadar hareket ettirilir. Yatay ve dü şey çizgilerin kesim noktası ile objektif merkezi dürbünün gözlem do ğrultusunu olu şturur. Bazı nivolarda ters görüntüyü düz görüntü haline getirmek için 2 ile 3 arasına bir prizma sistemi yerleştirilir. Mira üzerinde yapılacak okuma ve tahmin etme inceli ği, dürbünün büyütme gücüne ba ğlıdır. Nivelman miraları genellikle santimetre bölümlü olduklarından milimetre bölümlerinin tahmin edilmesi gerekir. Bir A dürbünü, B dürbününün iki katı büyütüyorsa, A dürbünü ile milimetreler iki kat daha incelikli tahmin edilir. Bir dürbünün büyütmesi yakla şık olarak objektif ve oküler odak uzaklıklarının oranına e şittir. a) Normal nivolarda b) Hassas nivolarda (kama şeklinde) Şekil 2.2 Nivolarda kullanılan gözlem çizgileri Oküler 1 Şekil 2.1 Basit bir dürbünün şematik kesiti 2 3 4 Objektif Görüntü netle ştirme merce ği Gözlem çizgileri Geometrik Nivelman 22 Düzeçler: Nivoların kaba yataylanmasında küresel düzeç, hassas yataylanmasında da silindirsel (boru) düzeç kullanılır. Bir nivonun inceli ği, silindirsel düzecin duyarlı ğı ve dürbünün büyütme gücüne ba ğlıdır. Düzeç duyarlı ğı ise silindirsel düzecin e ğrilik yarıçapına ba ğlıdır. Şekilde de ği şik e ğrilik yarıçaplı iki düzeç görülmektedir. Her iki düzecin bir uçlarının yataydan ? miktarı kadar kaldırılması durumunda A düzecinin kabarcı ğı, e ğrilik yarıçapının B den büyük olması nedeniyle, B düzecinin kabarcı ğından daha fazla miktarda hareket eder. Bu şekilde kabarcı ğın ortadan ayrılması daha iyi saptanır. Şekil 2.3 Düzeç duyarlı ğı Nivelman aletlerinde düzeç duyarlıkları, kabarcı ğın 2 milimetrelik bölümü kadar yer de ği ştirmesine kar şılık olan açı büyüklü ğü ile verilmektedir. Çakı ştırma prizma sistemli düzeçler, bir koruyucu içinde olup dı ş etkenlerden ve güne ş ı şınlarından korunmaktadır. Açık bir skalada düzeç kabarcı ğının ortalanma inceli ği mm 0.4 5 mm 2 = Çakı ştırma prizma sisteminde, kabarcı ğının ortalanma inceli ği mm 0.05 mm = 40 2 dir. Şekil 2.4 Düzeç kabarcı ğının ortalanması Kabarcı ğı ortalanmı ş açık skalalı düzeç Ayarlanmamı ş Ayarlanmı ş Düzeç kabarcı ğının prizma ile yansıtılması (çakı ştırma prizma sistemli) ? ? 2R ? ? A B A 2a a R Geometrik Nivelman 23 Nivoların Kurulması ve Düzeçlenmesi: I şınsal (kutupsal) nivelman i şlemi dı şında nivoların belirli bir nokta üzerine merkezlendirilerek kurulması zorunlulu ğu olmadı ğından, nivolar kurulurken genellikle nokta üzerine merkezlendirme i şlemi yapılmaz. Öncelikle nivoyu kullanan ki şi (operatör), alet sehpasını boyuna göre açar ve sehpa tablası yakla şık yatay olacak şekilde sehpayı kurar. Nivo kutusundan çıkartılır ve sehpanın üzerine yerle ştirilerek alttan sehpaya vidalanır. Sehpa ayaklarına el ile (ayakla de ğil) bastırılarak sehpanın zemine iyice yerle şmesi sa ğlanır. Her iki yöndeki hareket alanını geni ş tutabilmek için, düzeç ayak vidalarının yakla şık olarak ortada olmasına dikkat edilir (düzeç ayak vidalarının bazıları çok a şa ğıda, bazıları da çok yukarıda olmamalıdır). Küresel düzeç, sehpa ayaklarıyla yakla şık olarak; düzeç ayak vidalarıyla da tam olarak ortalanır. Silindirsel düzeç, önce iki düzeç aya ğına paralel hale getirilir ve düzeç ayaklarının ikisi de içe veya dı şa çevrilerek kabarcık ortalanır. Düzeç 90 o döndürülerek kullanılmayan üçüncü ayak vidası ile kabarcık yine ortalanır. Kontrol amacıyla i şlem tekrarlanır. Düzeçleme i şlemi tamamlandıktan sonra, düzeç hatası yoksa alet ne tarafa çevrilirse çevrilsin kabarcık ortada kalır. Düzecin hatalı olup olmadı ğı düzeç kontrolüyle belirlenir. Düzeç Kontrolü: Nivo kurulup düzeçlendikten sonra silindirsel düzeç, iki düzeç aya ğına paralel hale getirilir. Düzeç kabarcı ğı tam ortada olmalıdır. Düzeç 200 g döndürülür; kabarcık ortada ise düzeçte hata yoktur; kabarcık ortadan kaymı şsa, kayma miktarı hatanın iki katıdır. Bu kayma miktarının yarısı düzeç ayak vidaları yardımıyla, di ğer yarısı da düzeç ayar vidası yardımıyla giderilir. Kontrol için i şlem yinelenir. Küresel düzeç Silindirsel düzeç Şekil 2.5 Düzeçler ve düzeç hatasının giderilmesi 2.1.1 İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri Nivelman aletleri, sa ğladıkları incelik bakımından birbirlerinden farklıdırlar. Bu nedenle belirli i şlerde istenilen inceli ği sa ğlayacak olan çe şitli aletlere ihtiyaç duyulur. Nivelmanda incelik, 1 kilometrelik nivelman yolunda gidi ş-dönü ş ölçü farklarından Ayar vidası 1.Durum 2.Durum Yataylanmı ş düzeç Ayarlanmı ş düzeç Geometrik Nivelman 24 hesaplanan standart sapma (karesel ortalama hata) ile ifade edilmektedir. Nivelmanda incelik a şa ğıdaki ko şullara ba ğlıdır (Möser, Müler, Schlemmer, Verner, 2000): • Alet ve sehpasına, • Mira bölümlendirmelerinin do ğrulu ğuna ve mira altlı ğına, • Ölçme yöntemi ve ölçme sürecindeki sistematik hataların elimine edilmesine, • Çevre ko şullarına (atmosferik, aydınlık, yeraltı). Nivelman aletleri incelik yönünden 4 grupta ele alınabilir. 2.1.1.1 Dü şük İncelikli Nivolar ( İn şaat Nivoları) Bu nivolar genel olarak in şaat alanlarında, in şaat noktalarına kot verilmesinde, kısa ba ğlantı nivelmanında, basit enine ve boyuna kesit çıkarma i şlerinde kullanılır. İnceliği ±10–20 mm, dürbün büyütmeleri 15–20 ve düzeç duyarlıkları 30”-60” dir. Yüzey nivelmanında kullanılabilmeleri için yatay açı bölüm daireleri vardır. 2.1.1.2 Orta İncelikli Nivolar Bu tür nivelman aletleri de genel olarak in şaat i şleri ve yakın yerler arasında yeni nivelman noktalarının tesisi i şlerinde kullanılır. Dürbün büyütmeleri 20-25, düzeç duyarlıkları 20”-30”, düzecin yataylama hatası 1”-3”, inceli ği 5-10 mm arasındadır. 2.1.1.3 Yüksek İncelikli Nivolar Bu tür nivolar, III. Derece nivelman ölçümlerinde, yüzey nivelmanında, hacim hesapları için yapılan enine ve boyuna kesitlerin çıkarılmasında kullanılır. İnceliği ±1– 2 mm, dürbün büyütmeleri 25-30 ve düzeç duyarlıkları 10”-30” arasındadır. Düzeçleri genellikle çakı ştırma prizma sistemlidir. Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç duyarlı ğı 10’ civarındadır. Kompensatörün ortalama yataylama hatası ±0,5” kadardır. Bu gruptaki nivolar, e ğim vidalı, kompensatörlü veya elektronik (sayısal) olabilir. Uygulamada, genellikle kompensatörlü ve elektronik nivolar kullanılır. E ğim vidalı nivoların kullanımı ise oldukça azalmı ştır. 2.1.1.4 Çok Yüksek incelikli Nivolar Bu aletler I.ve II. derece nivelman a ğlarının ölçümünde, köprü, baraj, vb. yapılardaki deformasyon ölçmelerinde kullanılır. İnceli ği ?0.5 mm, dürbün büyütmeleri 35–50 ve düzeç duyarlıkları 5”-10” arasındadır. Düzeçleri, çakı ştırma prizma sistemli olup görüntüleri, genellikle okülere yansıtılır. Bu tip aletlerde yatay açı bölüm dairesi yoktur. Ölçmelerde çift bölümlü ve payandalı invar miralar kullanılır. Gözlem çizgileri kama şeklindedir. Düzlem paralel camlı mikrometre düzenleri vardır. Kompensatörlü olanlarda Kompensatörün hassasiyeti 0.2” dir. Geometrik Nivelman 25 2.1.2. Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri Nivelman aletleri, yatay bir ölçme düzlemi olu şturmak için geli ştirilmi ş aletlerdir. Bu yatay düzlem, her tarafa dönebilen dürbünün yatay duruma getirilmi ş optik ekseni (gözlem ekseni) yardımıyla sa ğlanır. Dürbünün her yöne döndürülebilmesi bir dü şey eksen yardımıyla, optik eksenin yatay duruma getirilmesi ise bir silindirsel düzeç yardımıyla ya da kompensatör sistemiyle olmaktadır. Günümüzde kullanılan nivolar, yapıları ve çalı şma sistemleri açısından 4 grupta ele alınabilir * : 1. E ğim vidalı nivolar 2. Kompensatörlü (otomatik) nivolar 3. Sayısal (elektronik sayısal) nivolar 4. Lazer nivoları 2.1.2.1. E ğim Vidalı Nivolar Şekil 2.6 E ğim vidalı nivo E ğim vidalı nivolarda dürbün, bir e ğim vidası yardımıyla bir miktar a şa ğı-yukarı hareket ettirilebilir. Aletin gözlem ekseni (NN), düzeç ekseni (DD), dü şey ekseni (VV) ve küresel düzeç ekseni (KK) olmak üzere dört ekseni vardır. Silindirsel düzeç dürbünün yan tarafında olup, güne ş ı şınlarına kar şı korunmalıdır. Düzeçler optik çakı ştırmalı olup, görüntü oküler yanındaki büyütece yansıtılmı ştır. Ölçüme ba şlamadan önce, alet küresel düzeç yardımıyla kabaca yataylanır. Her mira okumasından önce silindirsel düzecin kabarcı ğı e ğim vidası yardımıyla ortalanır. * Günümüzde artık pek kullanılmayan sabit dürbünlü nivolarla, tersinir nivolar gruplandırmaya dahil edilmemi ştir. Geometrik Nivelman 26 2.1.2.2. Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar Kompensatörlü nivoların dürbünlerinde gözlem do ğrultusunu otomatik olarak yatay duruma getiren düzenler bulunmaktadır. Bu aletlerde gözlem ekseninin otomatik olarak yataylanmasını sa ğlayan düzen; düzeç ve kompensatör sisteminden olu şmaktadır. Küresel düzeç de ği şik tip aletlerde 8’-15’ arasında bir yataylama inceli ğine sahipse kompensatör otomatik olarak faaliyete geçer. Kompensatör yatay do ğrultuyu sa ğlayan mekanik bir düzendir. Zeiss Ni 2 de kompensatör, sarkaç, prizma, salınım yapan bir ayna ve bir optik kamadan olu şur. Şekil 2.7 Kompensatörün çalı şma ilkesi Gözlem ekseni yataylanmı ş bir dürbünün, gözlem ekseninin uzantısı üzerinde bulunan bir noktadan gelen hedef ı şınları, objektifin arka odak noktasında kesi şirler. Do ğru bir ayarlama yapıldı ğında gözlem çizgilerinin kesi şme noktası, odak noktası ile çakı şır. E ğer dürbün ? kadar yukarı do ğru e ğikse, görüntü yine odak noktasında fakat ? f s · = kadar yukarıda olu şur. Görüntü noktası, gözlem çizgilerinin kesi şme noktasından yukarıdadır. Görüntüyü gözlem çizgilerinin kesi şme noktasına indirmek için, noktadan gelen ı şınlar odak noktasının önünde a uzaklıkta bulunan K noktasındaki ayna veya prizma sistemi ile ß a ? f · = · olacak şekilde ß açısı kadar saptırılırlar. Zeiss Ni 2 de otomatik yataylamayı sa ğlayan kompensatör üç prizmadan olu şur. Kompensatörün iki kenar prizması sabit, ortadaki prizma ise hareketlidir. Orta prizma 4 tel ile dürbünün tavanına asılı olup, cisim yönünden gelen ı şınları dürbünün e ğik durumunda daima, gözlem çizgilerinin kesi şme noktasına saptırır. Kompensatör (dolayısıyla kırılma noktası) gözlem çizgilerine yakla ştırılarak ? ile ß arasında istenilen oran sa ğlanabilir. Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç kabarcı ğı ortalanınca kompensatör çalı şır duruma gelir. İlk kompensatörlü nivo, 1950 yılında Carl-Zeiss Oberkochen firması tarafından üretilen Ni2 dir. Kompensatör olarak eklemli dörtgen kullanılmı ştır. Kompensatörlü nivolarda çe şitli türde Kompensatör sistemleri kullanılmaktadır. Geometrik Nivelman 27 Şekil 2.8 Zeiss Ni2 nivosu ve kompensatörü Kompensatörlü Nivolarda Ufuk Hatası Şekil 2.9 Kompensatörlü nivolarda ufuk hatası Özellikle mekanik olarak çalı şan kompensatörlerde, gözlem ekseninin yataylanmasında küçük hata kalıntıları varsa buna gözlem ekseninin ufuk hatası denir. Kompensatörlü bir nivoda ufuk hatası kompensatörün tipine, dü şey eksenin e ğimine ve objektif optik merkezinin dü şey eksene olan uzaklı ğına ba ğlıdır. E ğer dü şey eksen tam dü şey durumda de ğilse, e ğiklik derecesine göre gözlem ekseni tam yataylanamaz. Dürbün yataya göre ? kadar e ğikse, Kompensatör gözlem eksenini yataya göre ?’ kadar yakla ştırır ve yatayla arada ?- ?’ kadar bir fark kalır. Dürbün, yukarı do ğru e ğikken bu fark da yukarı do ğrudur; a şa ğıya do ğru e ğikse aynı fark a şa ğıya do ğrudur. 5’ lık bir yataylama hatası, objektif optik merkezi ile dü şey eksen arasındaki uzaklık 15 cm ise yükseklikte 0.4 mm kadar hata meydana getirebilir. Bu hata ileri ve geri okumalar farkı alınarak giderilemez. Dü şey eksen Dü şey eksen ?’ ? ? ?’ Geometrik Nivelman 28 2.1.2.3. Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar İlk sayısal nivo olan WILD NA2000, 1990 yılında Leica Firması tarafından üretilmi ştir. Bu aletle, özel olarak yapılmı ş barkodlu bir miranın görüntüsü, sayısal görüntü i şleme ve korelasyon yöntemine göre de ğerlendirilmektedir. Burada insan gözünün görevini, sıralı dedektörler üstlenmi şti (Uzel, Gülal 1997). Sayısal nivo ile yapılan nivelman, verileri i şleyen ve depolayan programlar ve kontrol hesaplamaları ile desteklenmi ştir. Video Sinyali Şekil 2.10 Sayısal nivoların çalı şma ilkesi Sayısal nivoların yapısı, bir sayısal kamera ile bir Kompensatörlü nivonun kombinasyonu ilkesine dayanır. Sayısal nivolar, optik ve mekanik yapı elemanları bakımından normal nivolara benzer ve klasik optik nivo olarak da kullanılabilir. Sayısal nivo ile yükseklik ölçümlerinin yanı s ıra, 1-2 cm incelikle mira ile nivo arasındaki uzunluklar da ölçülebilmektedir. Sayısal nivoların elektronik olarak çalı şma ilkesi şekil 2.10 ‘da görülmektedir. Miranın üzerinde bulunan barkod çizgilerinin görüntüsü, bir sıralı dedektör (CCD kamera) üzerine yansır. 25 µm aralıklarla düzenlenmi ş 256 ı şık alıcılı fotodiyoddan olu şan sıralı dedektör, miranın üzerinde bulunan barkod çizgilerinin görüntüsünü analog bir video sinyaline dönü ştürür. Bir elektronik okuyucu, bu video sinyalini güçlendirerek A/S (Analog/Sayısal) dönü ştürücüsüne iletir. Ölçü verilerinin de ğerlendirilmesi, mikro i şlemcide yapılır. Mira de ğerleri, elektro optik olarak üretilen miranın sayısal ölçü sinyaliyle referans sinyalinin korelasyon yöntemine göre kar şıla ştırılmasıyla elde edilir. Referans sinyali, ölçü sinyali ile aynı kurallara göre üretilir ve aletin görüntü i şleme kısmında saklanır. Bu kar şıla ştırmayla, miradan elde edilen sinyalin miranın ba şlangıç noktasından ne kadar kaydı ğı saptanır (Uzel, Gülal, 1997). Nivo opti ğinin açılım açısı, üretici firma verilerine göre 2 o dir. Buna göre nivo ile alet arasındaki uzaklı ğa ba ğlı olarak farklı büyüklükteki mira kesitinin görüntüsü, dedektörler üzerine yansır. Sinyalin bar kodlu mira üzerinde taradı ğı bölge, alet ile Netle ştirme Konumu Barkod Görüntüsü Netle ştirme Çözümü Kompensatör Kontrolü Sıralı Dedektör Elektronik Okuyucu Akü 500 mAh Kayıt Birimi Mikro İşlemci Ekran A S Klavye Geometrik Nivelman 29 mira arasındaki uzaklı ğın bir fonksiyonu oldu ğundan, yüksekliklerin belirlenmesinde, ek olarak bu bilgiye de gereksinim duyulur. Miraya olan uzaklık, netle ştirme merce ğinin konumuna göre yakla şık olarak elde edilebilir. Bu uzaklık, s k d = ba ğıntısı ile mikro i şlemci tarafından hesaplanır. Burada, d netle ştirme uzaklı ğı, k optik sabiti ve s netle ştirme merce ğinin durumunu gösterir. Bu uzaklık de ğeri, yükseklik ile birlikte ekranda sayısal olarak gösterilir veya kaydedici üniteye aktarılır (Uzel, Gülal, 1997). Şekil 2.11 Dürbünün görü ş alanı ve mira görüntüsü sınırları Sayısal nivoların geli ştirilmesiyle ona uygun barkodlu miralar da üretilmi ştir. Wild NA 3000 için önerilen miralar, GPCL3 mira tipidir. Bu miralar, 3.05 m boyunda, alüminyumdan yapılmı ş ve ortasından invar şerit geçen miralardır. İnvar şeridin genle şme katsayısı, 1 ppm/ o C den küçüktür ve invar şeridin üzerine 5 cm eninde bar kod çizgileri i şaretlenmi ştir. Ba şka bir mira tipi ise, 1.35 m lik 3 parçadan olu şan GKLN4 tipi mika cinsi malzemeden yapılan miradır. Bunun genle şme katsayısı 10 ppm/ o C den küçüktür. Bu tip miralar, daha az duyarlılıkla çalı şan NA 2000 sayısal nivoları ile birlikte kullanılır. Barkodlu miraların arka yüzü, normal nivelmanda kullanılabilmeleri için, metrik birimde bölümlendirilmi ştir. Sayısal nivolarda ölçme i şlemi, aletin ölçüye hazır hale getirilmesinden sonra yakla şık olarak 4 saniye süren 4 a şamadan olu şmaktadır. İlk a şamada miradan gelen sinyal, dedektör tarafından okunur ve kaydedilir. İkinci a şama olan kaba optimizasyonda, hedef yüksekli ği ve yansıma ölçe ği yakla şık olarak belirlenir. İnce optimizasyon olan üçüncü a şamada mirada okunanın kesin de ğeri ve miraya olan uzaklık hesaplanır. Son aşamada ise elde edilen bu de ğerler ekranda gösterilerek kayıt birimi üzerine kaydedilir. Kayıt birimine kaydedilen bu ölçüler, daha sonraki de ğerlendirme i şlemlerinde kullanılmak üzere bilgisayara aktarılabilir. Böylece arazide ölçümlerin yapılması, ölçülerin bilgisayara aktarılması, de ğerlendirilmesi ve 100 m 2° 63 mm 3500 mm 0 1.8 Mira Mira Dedektör Geometrik Nivelman 30 ar şivlenmesine kadar uzanan bir otomasyon a ğı kurulur. Say ısal nivolarda ölçme sonuçlarını etkileyen faktörler: • Yöneltme ve netle ştirme do ğrulu ğu • Atmosferik de ği şim, titre şim ve mira bölümlerinin etkisi • Aydınlatma • Gölgeleme, Miranın örtülmesi olarak sıralanır. Sayısal nivolarla ölçüm yapabilmek için miranın %30 da fazlasının kapalı olmaması gerekir. 2.1.2.4. Lazer Nivoları Klasik jeodezik yöntemlere pasif gözlem ı şınları egemendir. Yani gözlemci, hedefi dürbünün gözlem çizgileriyle çakı ştırır. Lazer tekni ği ile aktif hedef ı şınlarının yararları ortaya çıkar. Özellikle üretim akı şı içinde, yerinde do ğrudan do ğruya ölçmeyi sa ğlar. Mühendislik ölçmelerinde lazer ı şınlarının yönlendirilmesi çok önemlidir. Görülebilir lazer ı şınları bir do ğrultu boyunca yayılır ve bunlar uygulamada nivelman için uygundur. Dü şey yönlendirmede lazer çeküllemesi ele alınabilir. Lazer ı şınları, silindirsel mercekler yardımıyla yelpazelenebilir ve böylece uzayda arzu edilen konumda düzlem olu şabilir. 1960’lı y ılların sonlarına do ğru, lazer ı şınlarının özelliklerinden nivelmanda da yararlanmak üzere çalı şmalar yo ğunla ştırılmı ştır. Bu çalı şmaların sonucunda, • Fotoelektrik lazer nivosu • De ği ştirilmi ş lazer nivosu • Entegre merkezleme dedektörleri geliştirilmi ştir. Lazer nivoları, geometrik nivelmanda geri ve ileri okuma aralıklarını 50 metreden 100 metreye kadar çıkarmı ştır (Uzel, 1984). Şekil 2.12 Lazer nivolarının olu şturdukları do ğrultu ve düzlemler. Günümüzde yararlanılan merkezleme dedektörleri, kısa mesafelerde lazer ı şı ğının enerji merkezini büyük bir incelikle saptayabilmektedir. 100 metreden daha uzakta, merkezleme inceli ği hızla dü şmektedir. Dedektörler, bir referans çizgisi ile lazer ı şık spotunun merkezi arasındaki aralı ğı 0.01 mm incelikle ölçebilir ve bunu sayısal olarak Geometrik Nivelman 31 verir. Bunun için klasik nivelmanda kullanılan miraya benzer özel biçimli bir mira kullanılır ve buna bir dedektör ba ğlanır ( Şekil 2.13). Şekil 2.13 Lazer nivosu ve mira üzerinde okuma Çekül Lazerleri, çekül hattı gerektiren i şlerde örne ğin, yüksek binalarda yüzey kaplamalarında, aks çıkılmasında, asansör bo şlu ğu yapımında (ray aliymanında), kuyu açımında, yüksek baca yapımında vb. yerlerde büyük kolaylıklar sa ğlar. TOPCON PL-1 çekül lazeri ±3 o aralı ğında kendi kendini düzeçleme özelli ği bulunan aletle yukarıya do ğru 100m ve daha fazla (ortamın aydınlı ğına ba ğlı olarak), a şa ğıya do ğru ise 5 metrelik çekül do ğrultusu olu şturur. Dönen Lazerler, 360 o ’lik bir açıda devamlı gözle görülebilir lazer ı şını yayan bu aletler, yatay ve dü şey uygulamalarda hatasız bir referans yüzeyi olu ştururlar. Bina içi ve bina dı şı uygulamalarda dü şük maliyetli gözle görülebilir lazer ı şını kullanılır. Maksimum görünebilirlik sa ğlamak için tarama özelliklidir. Yatay lazer hattı ve dü şey çekül do ğrultusu olu ştururlar. Opsiyonel sensörler ile basit e ğim seviyeleme mekanizmaları bulunur. Kullanım alanları: Dü şey aliyman olarak; • Duvar yapımı, • Hareketli bölme (sürgülü kapı) yapımı, • Asansör rayı aliymanı, • Çevre duvarı Yatay seviyeleme; • Asma tavan sistemleri ve asma giri ş katı, • Mutfak dolaplarının, pencerelerin, yangın söndürme fıskiyelerinin vb. montaj i şleri, • E ğimli tavan yapımında Geometrik Nivelman 32 • Dört kö şe yapma, Kaplama; • Konstrüksüyon montajı, • Bilgisayar dö şeme montajı, • Çe şitli çekül hattı uygulamaları, • İlgili sensörlerin kullanımı ile 200m çaplı bir alanda e ğim seviyeleme ve beton dökme i şi, e ğimli çatı ve e ğimli duvar yapımı. Kendini otomatik olarak düzeçleyip gözle görülür lazer ı şını yayan dönerli lazerler, devamlı rotasyon halindeki lazer ı şını, bir ı şık düzlemi olu şturup yatay ve dü şey aliyman i şlerinde referans sa ğlarlar. Bu lazerler aynı zamanda a şa ğı ve yukarı do ğrultuda çekül hattı olu şturur. Boru Hattı Lazerleri, Görülebilen kırmızı veya ye şil ı şıklı, otomatik aliymanlı, e ğim ve seviyeleme sistemli 3 ı şınlı boru hattı lazerinde yatay ı şın boru e ğimini kontrol ederken, dü şey ı şın çekül hattı olu şturur. Otomatik merkezleme ve sıfırlama özelli ği bulunur. I şın yanıp sönebilir, e ğim ve hat için uzaktan kumandalı kilit sistemi, uzun mesafeden algılama ve uzaktan kumanda ile e ğim giri şi yapılabilir. Genel in şaat lazerleri, geleneksel optik seviyeleme yöntemleriyle kar şıla ştırıldı ğında kullanıcıya büyük yararlar sa ğlar. • İn şaat alanı seviyelemesi, • Temel kazıları ve beton dökümü, • Drenaj, peyzaj i şlerinde, • Kazıların kontrolü, • Havuz, çit, avlu, kısaca optik seviyeleme yapılan her yerde Kullanılabilir. Lazerler, i ş gücünden %50 ye varan oranlarda tasarruf sa ğlar. Optik okuyucu ile rodu (çubu ğu) tutan ki şi arasındaki irtibatla şma problemini ortadan kaldırır. İş yapımını hızlandırıp hataları azaltır. 2.1.2.5. Optik Mikrometreli Nivolar Yüksek incelikli nivelman aletlerinde gözle yapılan mm tahminleri yeterli de ğildir. Bu amaçla kullanılan nivolar, ek bir düzenle donatılmı şlardır. Objektif önüne takılan paralel yüzlü cam plakanın hareket ettirilmesi ile hedef (gözlem) noktasından gelen ı şınlar, bir mira bölümünün tamamı (genellikle 1 cm) kadar kendisine paralel olarak kayabilmektedir. Düzeç kabarcı ğı ortalanmı ş bir aletle, gözlem çizgileri ile miranın bir sonraki bölümü arasında kalan parçayı ölçmek mümkün olmaktadır. Gözlem do ğrultusunun mira bölüm çizgisine kadar kaydırılması bir mikrometre vidasının döndürülmesi ile sa ğlanmaktadır. Mikrometre vidasının dönme miktarı, cam bir skala üzerine aktarılmakta ve skala üzerinde milimetreler, milimetrenin onda birleri Geometrik Nivelman 33 do ğrudan do ğruya okunabilmekte ve milimetrenin yüzde birleri de tahmin edilmektedir. Camın kalınlı ğı d, kırılma indisi n ve camın dönme açısı ? ise, gözlem do ğrultusunun kayma miktarı ? tan 1 · · - = d n n e dır. Şekil 2.14 Optik mikrometreli nivoların çalı şma ilkesi ve mira üzerinde okuma 2.2. Nivelman Miraları Mira, noktaların nivelman düzleminden olan uzaklı ğını ölçmek için kullanılan, fırınlanmı ş ah şaptan ya da metalden yapılmı ş cetvellerdir. Bazı ah şap miralarda, e ğilmeyi önlemek için miranın arka tarafına veya yan taraflarına destek parçaları eklenir. Miranın alt uç kısmına çelikten yapılmı ş bir parça eklenir. Miranın bölümlemesi bu levhanın alt kısmından ba şlar. Nivelman miraları tek parçalı, katlanabilir ya da sürgülü olabilirler. Uzaktan iyi seçilebilmeleri için 1 metrelik ara ile siyah-beyaz ve kırmızı-beyaz şeklinde bölümlendirilmi ştir. Miralar, genellikle 4 m uzunlu ğunda ve cm bölümlüdür. 2 adet tutama ğı olan miraların dü şeyli ğini sa ğlayabilmek için, bir küresel düzeçle donatılmı şlardır. Hassas nivelmanda kullanılan miralar ise, 3 m boyunda tek parçalı olup 1 cm ya da yarım cm aralıklarla bölümlendirilmi ştir. Bu miralar ah şaptan olup, bölümlendirmeler ah şap üzerine yerleştirilen invar şerit üzerine yapılmı ştır ve tam dü şey tutulabilmeleri için de payandalarla desteklenmi ştir. Kullanılmadıkları zaman bir kutu içinde korunurlar. Geometrik Nivelman 34 a) Normal mira b) Hassas nivelman mirası ve payandası Şekil 2.15 Nivelman miraları Nivelman miralarının boyları, sıcaklık ve nemin etkisiyle zamanla de ği şebilir. Bu nedenle miraların boyları s ık sık bir normal metre ile ya da komparator aletiyle kar şıla ştırılarak kontrol edilmelidir. Ah şap miralar yakla şık 10 o C lik bir sıcaklık de ği şiminde boyları 0.1- 0.2 mm kadar de ği şebildi ği halde invar miralarda bu de ği şim ancak 0.04 mm kadardır. İnvar miraların bölümleri çizgi şeklindedir. Çizgi aralıkları 1 cm veya 0.5 cm olabilir. 2.2.1. Miraların Kontrolü Miralarda şu hatalar olabilir: 1. Düzeç Hatası: Dü şey olarak duran miranın yanına bir çekül asılır ve mira çekülün ipine paralel olarak tutulur. Mira düzecinin kabarcı ğı ortada de ğilse düzeç hatası vardır. Bu hata düzeç ayar vidalarıyla giderilir. Geometrik Nivelman 35 2. Bölümleme Hatası: Basit miralarda iyi bir cetvel ile, invar miralarda komparatorlar yardımıyla mira bölümleri kontrol edilebilir. Özenle yapılmı ş basit miralarda bölüm hatası ± 0.1 mm den, invar miralarda ise ± 0.03 mm den fazla olmamalıdır. 3. Bölüm Ba şlangıç Hatası: Bu hata bölümlemenin, miranın tam yere konulan ucundan ba şlamamasından ileri gelir. Bu hata geri ve ileri okumalarda etkisiz hale gelir. Ancak geri ve ileri okumalarda de ği şik miralar kullanılıyorsa bölüm ba şlangıç hatası, yükseklik farkına etki eder. Hatanın saptanması için farklı yükseklikte birkaç noktaya, örne ğin bir merdivenin basamaklarına mira altlıkları konur ve iki mira ayrı ayrı tutularak nivo ile okumalar yapılır. Aynı noktalara ait okumalar arasındaki fark bölüm ba şlangıç hatasıdır. Çe şitli noktalar için bulunan hataların ortalaması alınarak hata miktarı belirlenir. Bu hatanın etkisini ortadan kaldırmak için, ölçmelere hangi mira ile ba şlanmı şsa, ölçümler yine aynı mira ile bitirilmelidir. 4. Mira Tabanının E ğiklik Hatası: Mira tabanındaki çelik levhanın alt yüzeyinin mira bölüm çizgisine tam paralel olmamasından ileri gelir. Bu hatanın belirlenmesi için mira ucundaki çelik levha ortadan itibaren sa ğa ve sola do ğru e şit parçalara bölünüp i şaretlenir. Bir mira altlı ğına i şaretlenen noktalar ayrı ayrı tutularak nivo ile okumalar yapılır. Okumalar arasında fark varsa hata var demektir. Hatanın etkisiz duruma getirilmesi için mira altlı ğı üzerine daima miranın ortası tutulmalıdır. 5. Katlanma Yeri Hatası: Kalitesiz miralarda görülen bir hatadır. Mira açıldı ğı zaman katlanan parçalar arasında hiç bo şluk kalmamalıdır. Ayrıca katlanma noktasından ön ya da arkaya do ğru kırılmamalıdır. 2.2.2. Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarı ğı) Sa ğlam olmayan zeminlerde ve hassasiyet aranan nivelman i şlerinde, miraların çökmesini önlemek, geri ve ileri okumalarda mira döndürülürken yüksekli ğin de ği şmemesi için kullanılan pik demirden yapılmı ş bir alettir. Ortasında küresel ba şlı bir çıkıntı vardır. Mira bu çıkıntıya tutulur. Ayrıca topra ğa iyi gömülebilmesi için üç sivri aya ğı vardır. Yumu şak zeminde üzerine basılarak topra ğa sa ğlamca oturması sa ğlanır. Ta şınmasını kolayla ştırmak amacıyla bir kulpu vardır. Şekil 2.16 Mira altlı ğı Geometrik Nivelman 36 2.3. Nivoların Kontrolü ve Eksen Ko şulları Nivolarla ölçmelere ba şlamadan önce nivoların, kontrol edilmeleri gerekir. Hatalı bir aletle yapılan ölçmelerin hiçbir i şe yaramayaca ğı açıktır. Böyle bir durumla kar şıla şmamak için nivoların belli aralıklarla kontrol edilmeleri gerekir. Aynı şekilde ilk defa kullanılacak aletlerin eski veya yeni olmasına bakılmaksızın kontrol edilmeleri gerekir. Eksen ko şullarına geçmeden önce nivoların yatay gözlem çizgisinin yatay olup olmadı ğının kontrolünü ele alalım. 2.3.1. Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylı ğının Kontrolü Alet ayarlanarak dü şey eksen tam dü şey duruma getirildikten sonra yatay gözlem çizgisinin bir ucu, arazide net ve keskin görünen bir noktaya yöneltilir. Sonra dürbün yatay yönde yava ş yava ş döndürülerek yatay gözlem çizgisi üzerindeki noktanın, çizginin öteki ucuna kayması sa ğlanır. E ğer nokta, yatay çizgi üzerinden ayrılmadan hareket ediyorsa, yatay gözlem çizgisinin yatay oldu ğu anla şılır. E ğer nokta, yatay gözlem çizgisinin di ğer ucuna alındı ğında çizgiden ayrılmı ş ise ayrılma miktarı hatanın iki katıdır. Hata, gözlem çizgileri ayar vidası yardımıyla giderilir. Yatay gözlem çizgisinin yatay duruma getirilmesi genellikle yandaki ayar vidasının (3 numaralı) gev şetilerek gözlem çizgilerinin, kayma miktarının yarısı kadar döndürülmesiyle sa ğlanır. 1 ve 2 numaralı vidalar, gözlem çizgilerinin a şa ğı–yukarı kaydırılması içindir. Mira okumaları, gözlem çizgilerinin kesi şti ği yerden yapılırsa bu hata etkisiz kalır. Şekil 2.17 Yatay gözlem çizgisinin yataylı ğının kontrolü 2.3.2. Nivolarda Eksen Ko şulları Genel olarak bir nivoda 4 eksen bulunur ve bu eksenler arasında şu ko şullar sa ğlanmalıdır: D D N N V K V K DD : Silindirsel düzeç ekseni NN : Gözlem(ni şan, optik) ekseni VV : Dü şey (asal) eksen KK : Küresel düzeç ekseni 2d d 2 3 1 Geometrik Nivelman 37 2.3.2.1. Küresel düzeç ekseni, dü şey eksene paralel olmalıdır ( KK // VV ). Küresel düzeç, üçayak vidası ile ortalanır ve sonra nivo 200 g döndürülür. E ğer kabarcık ortada ise küresel düzeç ekseninin dü şey eksene paralel oldu ğu anla şılır. Kabarcık kaymı şsa, kayma miktarı hatanın iki katıdır. Hatanın yarısı üçayak vidaları yardımıyla, di ğer yarısı da küresel düzecin ayar vidaları yardımıyla giderilir. 2.3.2.2. Nivolarda temel ko şul, gözlem ekseninin yatay olmasıdır. Bu ko şul, e ğim vidalı nivolarda; gözlem ekseni, düzeç eksenine paralel olmalıdır (NN // DD) biçiminde ifade edilirken otomatik (kompensatörlü) nivolarda; gözlem ekseni, kompensatörün çalı şma alanı içinde yatay olmalıdır biçiminde ifade edilir. Bu ko şulun kontrolü ve sa ğlanması 3 şekilde yapılabilir: 1. Yöntem Şekil 2.18 Nivolarda gözlem ekseninin yataylı ğının kontrolü – 1. yöntem Kontrol edilecek alet, oldukça düz bir arazide aralarındaki uzaklık 60m ? 100m olan A ve B noktalarının ortasına kurulur. Alet ayarlandıktan sonra A ve B noktalarındaki miralara bakılarak 1 b , a ' ' 1 okumaları yapılır. Alet hatasız olsaydı a 1 ve b 1 de ğerlerinin okunması gerekirdi. A ve B noktalarındaki mira okumalarında yapılan hata miktarları birbirine e şittir. İki nokta arasındaki yükseklik farkı, 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( b a c b c a c b c a b a h ' - ' = + ' - - ' = - ' - - ' = - = ? ile hatasız olarak elde edilir. Alette hata olup olmadı ğını anlamak için B noktasının 2-5 m uza ğına alet kurulur. A ve B noktalarındaki miralara bakılarak 2 b ve a ' ' 2 okumaları yapılır. B noktası alete çok yakın oldu ğundan B noktasındaki hatasız kabul edilebilir yani 2 2 b b ' = alınır. Alet hatasız olsaydı, 1 1 2 2 2 b a b h b a ' - ' + = ? + = okumasının yapılması gerekirdi. Hatanın giderilmesi için gözlem çizgileri, A noktasında a 2 de ğeri okununcaya kadar kaydırılır. Gözlem çizgilerinin kaydırılması, ß ß ß e e 60 ? 100 m a 1 ’ B A A B a 1 b 1 b 1 ’ b 2 b 2 ’ a 2 ’ a 2 2-5m c c Mira Mira Mira Mira Geometrik Nivelman 38 e ğim vidalı nivolarda e ğim vidası döndürülerek yapılır. Bu durumda silindirsel düzeç kabarcı ğı kayacaktır; kayan düzeç kabarcı ğı da düzeç ayar vidaları yardımıyla ortalanır. Kompensatörlü nivolarda gözlem çizgilerinin kaydırılması farklı aletlerde de ği şik şekillerde olabilir. Bazı aletlerde gözlem çizgileri kaydırılmak suretiyle, bazılarında objektifin önündeki prizmatik bir camın döndürülmesiyle, bazılarında ise Kompensatörün ayar vidası ile bazılarında da optik eksen üzerindeki bir prizmanın kaydırılmasıyla sa ğlanır. En iyisi, kontrol edilen nivonun kullanım kitapçı ğında belirtildiği şekilde gözlem çizgilerinin kaydırılmasıdır. Kontrol için i şlem, de ği şik alet yüksekliklerinde tekrarlanır. 2. Yöntem Mira Mira a’ 4 a’ 3 a 4 a 3 a’ 1 a’ 2 a 1 a 2 B C D A s s s Şekil 2.19 Nivolarda gözlem ekseninin yataylı ğının kontrolü – 2. yöntem a 4 - a 1 = a 3 - a 2 a’ 3 den a’ 1 a’ 2 ye paralel çizilirse, bu paralel B mirasını a 4 de keser. a 4 - a’ 1 = a’ 3 - a’ 2 a 4 = a’ 1 - a’ 2 + a’ 3 Örnek: a’ 1 =1.998 a’ 3 =1.456 a’ 2 =0.890 a’ 4 =2.574 a’ 1 - a’ 2 =1.108 a’ 3 =1.456 a 4 = a’ 1 - a’ 2 + a’ 3 =2.564 Nivo D noktasında iken B noktasındaki mirada 2.564 de ğeri okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır. Geometrik Nivelman 39 3. Yöntem (Kukkamäki Yöntemi) Şekil 2.20 Nivolarda gözlem ekseninin yataylı ğının kontrolü – 3. yöntem ) ( ) ( 2 ) 2 ( 2 2 2 ) 2 ( 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 b a b a d d b a b a idi, b a b a d b a d b d a d b d a b a d b b d a a b a d b d a d b d a b a b a b a ' - ' - ' - ' = ? + ' - ' = ' - ' - = - + ' - ' = + ' - - ' = - ' - - ' = - - ' = - ' = ' - ' = + ' - - ' = - ' - - ' = - - = - d nin bulunan bu de ğeri, yukarıda a 2 ve b 2 yi veren e şitliklerde yerine konulursa, )) ( ) [( 2 2 )] ( ) [( 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 b a b a b d b b b a b a a d a a ' - ' - ' - ' · - ' = - ' = ' - ' - ' - ' - ' = - ' = elde edilir. Örnek: 270 . 1 ) 020 . 0 ( 250 . 1 2 682 . 1 ) 010 . 0 ( 672 . 1 010 . 0 422 . 0 412 . 0 ) ( ) ( 422 . 0 412 . 0 250 . 1 425 . 1 672 . 1 837 . 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 = - - = - ' = = - - = - ' = - = - = ' - ' - ' - ' = = ' - ' = ' - ' = ' = ' = ' = ' d b b d a a b a b a d b a b a b b a a 2 2 A noktasındaki mirada a 2 =1.682 veya B noktasındaki mirada ise b 2 =1.270 de ğeri okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır. A veya B noktasındaki miraların birinde okunması gereken de ğere okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır; di ğer noktada ise kontrol yapılır. B A a’ 1 a 1 b’ 1 b 1 b’ 2 b 2 a’ 2 a 2 2d s d d/2 d/2 s/2 s/2 Geometrik Nivelman 40 2.4. Nivelman Noktalarının Tesisi Yerle şim alanları d ı şında (kırsal kesimde) ve sa ğlam bina, köprü gibi yapıların bulunmadı ğı durumlarda nivelman noktaları, şekil 2.21a daki biçim ve özelliklerde zemin tesisi olarak yapılır. Yerle şim alanlarında ise, binaların sa ğlam temel duvarlarına ya da kolonlarına, sa ğlam duvar ve yapıların uygun yerlerine şekil 2.21b deki biçim ve özelliklerde duvar tesisi olarak yapılır. Şekil 2.21 a) Kırsal alanda nivelman zemin tesisi, b) Yerle şim alanında nivelman duvar tesisi 2.5. Do ğrultu (Hat) Nivelmanı Bir geçki boyunca iki ya da daha fazla nokta arasındaki yükseklik farklarını belirlemeye yönelik olarak yapılan nivelmana do ğrultu (hat) nivelmanı denilir. Yükseklik farkı belirlenecek A ve B noktaları birbirlerine yakın ve aralarında fazla yükseklik farkı yoksa yakla şık her iki noktaya da e şit uzaklıkta ortada bir yere, alet bir kere kurularak bu iki nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir. A ve B noktalarında dü şey olarak tutulan miralara bakılarak, nivonun gözlem çizgilerinden ortadaki yatay çizgiye rastlayan mira bölüm de ğerleri okunur. İşlem yönüne göre gerideki mirada yapılan okuma de ğerine, geri okuma (g), ilerideki mirada yapılan okuma de ğerine de ileri okuma (i) adı verilir. Bir noktada alet kaldırılmadan ikiden fazla mira okuması yapılmı şsa, ilk okuma geri, son okuma ileri, aradaki tüm okumalar da orta okuma olarak adlandırılır. Geometrik Nivelman 41 i B ?h A1 = g a - i 1 g A i 4 ?h 12 = g 1 - o 2 ?h 23 = o 2 –o 3 ?h 34 = o 3 – i 4 ?h 4B = g 4 - i B [ ?h]=[g]+[o]-[i]-[o]=[g]-[i] A 1 2 3 4 B Şekil 2.22 Orta okumalı do ğrultu (hat) nivelmanı 2.5.1. Açık Nivelman Yüksekli ği bilinen bir noktadan nivelman i şlemine ba şlanır, fakat yüksekli ği bilinen ba şka bir noktaya ba ğlanılmazsa bu tür nivelmana açık nivelman diyoruz. Açık nivelmanda yapılan ölçümün kontrolü olmadı ğı için nivelman ve poligon noktalarının yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılmaz. Örnek: Gidi ş Nivelmanı Nokta Mira Okumaları (m) Geri Orta İleri Yükseklik Farkları ( ?h) + ( m ) - A 1.815 1 2.372 0.817 0.998 2 1.783 1.561 0.811 3 2.563 2.158 0.375 4 1.218 1.345 [g]= [i]= 8.533 5.754 [i]= 5.754 3.154 -0.375 -0.375 [g]-[ i]= 2.779 [ ?h] = 2.779 m o 3 o 2 A B 1 2 3 4 i 1 g 1 g 4 Geometrik Nivelman 42 Dönü ş Nivelmanı Nokta Mira Okumaları ( m ) Geri Orta İleri Yükseklik Farkları ?h + ( m ) - 4 1.361 3 1.879 2.702 1.341 2 2.124 1.502 0.377 1 1.543 2.932 0.808 A 2.546 1.003 [g]= [i]= 6.907 9.682 [i]= 9.682 0.377 3.152 -3.152 [g]-[ i]= -2.775 [ ?h] = -2.775 m Gidi ş - Dönü ş ortalamasıyla Kesin Yükseklikler Nokta Yükseklik Farkları ( ?h) Gidi ş Dönü ş Ortalama Yükseklik H A 95.740 m 1 0.998 1.003 1.000 96.740 2 0.811 0.808 0.810 97.550 3 - 0.375 - 0.377 - 0.376 97.174 4 1.345 1.341 1.343 98.517 Gidi ş – dönü ş ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının ortalaması alınırken, dönü ş ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının i şareti ters alınır. 2.5.2. Dayalı Nivelman Yüksekli ği bilinen bir noktadan nivelmana ba şlanır ve yüksekli ği bilinen ba şka bir noktaya ba ğlanılır. Dayalı nivelmanda yapılan ölçümler kontrol edilebilir. Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesinde en çok kullanılan yöntemdir. Nokta Uzunluk ( m ) Mira Okumaları ( m ) Geri Orta İleri Yükseklik Farkları ( ?h) + ( m ) - Yükseklik H ( m ) Kroki ve Açıklama A - 1.375 +4 203.125 1 - 2.934 1.555 201.570 2 - 1.861 1.073 202.643 3 - 2.238 +4 2.747 0.886 201.757 4 - 1.657 +4 1.915 0.327 202.084 5 - 2.545 0.884 201.200 B - 0.995 1.550 202.750 [g] = 5.270 [i] = 5.657 [i] = 5.657 2.950 3.325 -3.325 -0.375 [g] - [i] = -0.387 [ ?h] = -0.375 m H B -H A = - 0.375 Kapanma hatası = - 0.012 m = -12 mm Geometrik Nivelman 43 2.5.3. Kapalı Nivelman Bir noktadan nivelmana ba şlanır ve bir halka olu şturularak aynı noktaya ba ğlanılır. Nokta Uzunluk ( m ) Mira Okumaları ( m ) Geri Orta İleri Yükseklik Farkları ?h + ( m ) - Yükseklik H ( m ) Kroki ve Açıklama A - 1.371 +3 100.000 1 - 1.864 0.490 99.510 2 - 1.615 +3 2.718 0.854 98.656 3 - 1.399 +2 0.985 0.633 99.289 4 - 2.078 0.677 98.612 A - 0.690 1.388 100.000 [g] = 4.385 [i] = 4.393 [i] = 4.393 2.021 2.021 2.021 0.000 [g] - [i] = -0.008 [ ?h] = 0.000 H B -H A = 0.000 Kapanma hatası = - 0.008 m = -8 mm 2.5.4. Gözlem Düzlemi Yüksekli ğine Göre Nivelman Gözlem düzlemi kotuna göre nivelman hesabı, orta okuma sayısı fazla oldu ğunda hesap kolaylı ğı sa ğlar. Nokta No Geri Orta İleri Gözlem Düzlemi Yüksekli ği Yükseklik H A 2.146 +2 102.148 m 100.000 m 1 2.062 100.086 2 1.854 100.294 3 1.250 100.898 4 2.695 +2 0.985 -2 103.862 m 101.165 5 2.443 101.419 6 2.321 101.541 7 2.056 101.806 8 1.875 101.987 B 1.654 -2 102.210 m [g] = 4.841 [i] = 2.639 H B - H A = 2.210 m [i] = 2.639 [g]-[i] = 2.202 [g]-[i] = 2.202 Düzeltme miktarı =+0.008 m = 8 mm A 1 2 3 4 5 6 7 8 B g A o 1 o 2 o 3 i 4 g 4 o 5 o 6 o 7 o 8 i B Şekil 2.23 Gözlem düzlemi yüksekli ğine göre nivelman Geometrik Nivelman 44 G İD İŞ N İVELMANI Nokta Uzunluk ( m ) Mira Okumaları ( m ) Geri Orta İleri Yükseklik Farkları ( ?h) + ( m ) - Yükseklik H ( m ) Ortalama Yükseklik ( m ) Kroki ve Açıklama Rs.285 12 - 0.524 -2 72.568 72.568 15 - 16 0.460 3.806 3.284 P.1 13 - 17 0.520 -2 2.844 2.384 66.900 66.900 20 - 16 0.646 2.968 2.450 8 - 21 0.455 2.972 2.326 P.2 7 - 10 0.559 -2 2.263 1.808 60.316 60.310 15 - 12 0.459 3.313 2.756 20 - 18 0.789 3.089 2.630 P.3 16 - 25 0.504 -2 2.589 1.800 53.130 53.124 18 - 20 0.218 3.622 3.120 15 - 16 0.840 2.780 2.562 P.4 17 - 13 2.898 -1 1.912 1.072 46.376 46.370 21 - 24 0.820 2.389 0.508 22 - 25 0.945 3.386 2.566 P.5 26 - 30 1.184 -1 2.645 1.700 42.618 42.618 25 - 34 0.951 1.882 0.699 Rs.344 - 20 12.772 2.334 1.383 40.536 40.536 [L]= 587 m 42.794 44.794 0.508 -32.540 -32.032 [g]-[i]= -32.022 -32.540 m H 344 -H 285 = -32.032 [ ?h] = -32.032 m [ |h |]=33.048 m Hata miktarı=+0.010m=10 mm Ho şgörü sınırı: d=0.02 ? [L] +0.0003 *[ |h |] =0.02 ? 0.587 +0.0003 * 33.048 =0.025 m =25 mm Hata miktarı < Ho şgörü sınırı (10 mm < 25 mm ) oldu ğu için hata da ğıtımı yapılır. DÖNÜ Ş N İVELMANI Nokta Uzaklık ( m ) Mira Okumaları ( m ) Geri Orta İleri Yükseklik Farkları ( ?h) + (m) - Yükseklik H ( m ) Ortalama Yükseklik ( m ) Kroki ve Açıklama Rs.344 - 2.492 +2 40.536 - 1.900 1.102 1.392 P.5 - 1.576 +2 1.211 0.689 42.617 - 3.211 1.840 0.262 - 2.209 0.751 2.460 P.4 - 2.224 +3 0.660 1.549 46.364 - 3.527 0.420 1.807 - 2.832 0.655 2.872 P.3 - 2.482 +3 0.757 2.075 53.118 - 3.274 0.572 1.913 - 3.032 0.441 2.833 P.2 - 3.253 +3 0.592 2.440 60.304 - 2.662 0.465 2.791 - 2.262 0.633 2.029 P.1 - 2.435 +3 0.487 1.775 66.899 - 2.775 0.788 1.650 - 2.693 0.492 2.283 Rs.285 44.839 0.957 1.736 72.568 [g]= 12.823 12.823 32.294 0.262 32.032m [g]-[i] = 32.016 -0.262 32.016 H 285 -H 344 = 32.032 32.032 +0.016 m =+16 mm Hata miktarı =- 0.016 m =-16 mm Geometrik Nivelman 45 Poligon noktalarının yükseklikleri, genellikle iki nivelman noktasına dayalı olarak yapılan gidi ş - dönü ş nivelmanıyla belirlenir. Yukarıda böyle bir örnek görülmektedir. Ara nivelman noktalarının yükseklikleri a şa ğıdaki çizelgede görüldü ğü gibi hesaplanabilir. Düzeltme de ğerleri, nivelman yolu uzunlu ğu ile orantılı olarak verilir. N İVELMAN HESAP Ç İZELGESİ Ölçülen Yükseklik Farkları ?h Ortalama ?h Bilinen Nokta Yeni Nokta Nivelm. Def. No Say. No Rs.ler Arası Mesafe Gidi ş Dönü ş + - Yükseklik Açıklama m m m m m m Rs 5 122.514 G.13 572 +13.874 +13.882 13.878 +3 Rs 12 D.29 136.395 G.14 461 -21.613 -21.605 21.609 +2 Rs 21 D.26 114.788 G.18 695 -11.988 -11.982 11.985 +3 Rs 14 D.32 102.806 G.16 880 +34.396 +34.388 34.392 +4 Rs 2 D.34 137.202 2608 48.270 33.594 14.688 33.594 14.676 14.676 Düzeltme +12 mm 81 121.349 G.1/7 -13.750 -13.756 13.753 +3 Ortalama 88 D.2/16 107.599 107.600 G.1/8 -35.853 -35.857 35.855 +2 83 D.2/7 71.746 49.608 -49.603 -49.608 Düzeltme + 5 mm 82 97.815 G.1/21 +9.783 +9.790 +9.786 88 D.2/20 107.601 2.6. Yüzey Nivelmanı İn şaat i şleri, arazi tesviyesi, spor alanları gibi projelerin uygulanmasında, özellikle kazılacak ve doldurulacak toprak miktarlarının hesaplanması için arazinin e şyükseklik Geometrik Nivelman 46 e ğrili planına ihtiyaç duyulur. Bunun için, arazinin topografik yapısı çok engebeli de ğilse ya kareler a ğı yöntemiyle ya da ı şınsal yöntemle yüzey nivelmanı yapılır. 2.6.1. Kareler A ğı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı Şekil 2.24 Kareler a ğı yöntemine göre yüzey nivelmanı krokisi Yüzey nivelmanı yapılacak arazide bir ölçü do ğrusu belirlenir ve bu do ğru üzerinde belirli aralıklarla, takeometre, nivo ya da prizmalarla dikler çıkılır. Sonra aynı i şlem bu dikler üzerinde tekrarlanarak arazi karelere bölünür. Kareler a ğı yönteminde karelerin kenar uzunlu ğu, arazinin topografik yapısı ve ihtiyaca göre 5–30 m arasında seçilebilir. Kare kö şelerine ve kare kenarlarının arazi detaylarını kesti ği noktalara kot verilir. Parselin çizimi için, kare uzantılarının arazi sınırını kesti ği noktaya olan mesafelerden gerekli olanları çelik şerit ile ölçülür. Arazinin yakınındaki yüksekli ği bilinen bir noktaya dayalı olarak nivelman yapılır. Plan çiziminde karelerin kesim noktasına, ölçülen yükseklik de ğerleri yazılır. Yükseklik de ğerlerinin metre ve alt birimlerini ayıran “.” i şareti, aynı zamanda karelerin kesim noktası olacaktır. Geometrik Nivelman 47 Nokta Mira Okumaları Gözlem Düzlemi Yükseklik No Geri Orta İleri Yüksekliği H P1 1.415 +2 74.320 72.903 m 1 1.618 72.702 2 1.871 72.449 3 1.999 72.321 4 2.365 71.955 5 2.583 71.737 6 2.612 71.708 7 2.649 71.671 8 2.670 71.650 9 2.720 71.600 10 2.656 71.664 11 2.343 71.977 12 2.019 72.301 13 1.871 72.449 14 1.637 72.683 15 1.592 72.728 16 1.817 72.503 17 1.968 72.352 18 2.045 72.275 19 2.375 71.945 20 1.671 +2 2.789 73.204 71.531 21 1.813 71.391 22 1.941 71.263 23 1.716 71.488 24 1.584 71.620 25 1.532 71.672 26 1.497 71.707 27 1.385 71.819 28 1.290 71.914 29 1.365 71.839 30 1.444 71.760 31 1.615 71.589 32 1.743 71.461 33 1.861 71.343 34 1.714 +2 1.957 72.963 71.247 P2 2.650 70.313 [g]= 4.800 [i]= 7.396 H P2 -H P1 = -2.590 [i]= 7.396 [g]-[i] = -2.596 [g]-[i]= -2.596 Düzeltme Miktarı= +0.006 m= +6 mm H P2 -H P1 = -2.590 Hata miktarı= -0.006 m = - 6 mm 2.6.2. I şınsal (Kutupsal) Nivelman Yatay açı bölüm dairesi bulunan nivelman aletleri ile yapılır. Nivelman aleti, ölçme alanındaki poligon noktası gibi konumu ve yüksekli ği bilinen bir noktaya kurularak, Geometrik Nivelman 48 konumu ve yüksekli ği bilinen ba şka 2 noktaya bakılarak mirada alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı okumaları yapılır. Ayrıca alet yüksekli ği ölçülür. I şınsal nivelmanda mira okumaları cm biriminde yapılır. Yüzey nivelmanı yapılacak alanın kırık noktalarına, arazinin karakteristik noktalarına ve belli aralıklarla arazi taranarak mira tutulur. Bakılan tüm noktalarda miradaki alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı de ğerleri okunur. Üst-orta çizgi okuması farkı ile orta-alt çizgi okuması farkının birbirine e şit olması gerekir. Ayrıca, bu iki farkın toplamı ile üst çizgi-alt çizgi okumaları farkının e şit olması gerekir. Üst-alt çizgi okumalarının cm birimindeki farkı, 100 ile çarpılarak alet ile mira arasındaki uzunluklar cm biriminde bulunur. Ya da ba şka bir deyi şle, cm birimindeki üst çizgi-alt çizgi okumaları farkı, m biriminde aletle mira arasındaki uzunlu ğu verir. 2 5 3 1 P 2 P 3 P1 Şekil 2.25 I şınsal nivelman Mira Mira Yatay Yükseklik DN BN Yatay Açı Okumaları Farkları Uzaklık H 144 P2 P1 0 g .00 181 37 cm 74.0 m 135.17 m i = 1.55 m 218 37 H P2 =135.43 m 198 136.98 m P3 248,50 243.4 45.4 90.8 134.55 288.8 45.4 316.8 1 46,75 338.3 21.5 43.0 133.60 359.8 21.5 90 2 85,60 115.5 25.5 51.0 135.82 141 25.5 205.2 3 112,40 221.0 15.8 31.6 134.77 236.8 15.8 Yatay açı ve uzunluklarla, bakılan noktaların konumları kutupsal olarak belirlenir. Alet kurulan noktanın yüksekli ğine, alet yüksekli ği eklenince aletin gözlem düzleminin yüksekli ği elde edilir. Aletin gözleme düzleminin yüksekli ğinden, orta çizgi okumaları (m biriminde) çıkartılırsa, bakılan noktanın yüksekli ği m biriminde bulunur. Geometrik Nivelman 49 2.6.3. Hacim Hesabı Yüzey nivelmanı yapılan yerde ço ğunlukla bir kazı ya da dolgu i şlemi vardır. Kazı veya dolgu miktarının (kazılacak ya da doldurulacak topra ğın hacminin) bulunması kareler a ğı yönteminde daha kolay olmaktadır. Olu şturulan her bir kare için, kare kö şelerindeki kazı ya da dolgu yüksekli ği hesaplanır; hacim hesabında ise bu kare kö şelerindeki kazı ve dolgu yüksekliklerinin ortalaması alınmak suretiyle her kare için bir ortalama kazı ya da dolgu yüksekli ği bulunur. Problem, tabanı ve tavanı kare, yüksekli ği ortalama kazı ya da dolgu yüksekli ği olan bir kare prizmanın hacminin bulunmasına dönü şür. Bu kare prizmanın hacmi, karenin alanı ile ortalama kazı veya dolgu yüksekli ğinin çarpılması ile bulunur. Hâlbuki ı şınsal nivelmanda ölçüm yapılan noktalar, kare veya dikdörtgen gibi alanı kolay hesaplanabilir bir geometrik şekil olu şturmadıkları için alan hesabında temel şekil olarak üçgen alınır. Hâlbuki bu üçgenlerin hiç bir elemanı do ğrudan ölçülmemi ştir. Dolayısıyla alan ve hacim hesabı direkt yapılamaz. Alan ve hacim hesabı için dolaylı yollara ba şvurulur. Örne ğin, ölçülen tüm noktaların önce koordinatları, sonra da bu koordinatlardan üçgenlerin alanı bulunur veya yapılan ölçümlere göre ölçekli bir çizim yapılır ve olu şturulacak üçgenlerin kenarları grafik olarak ölçülerek alan hesabı yapılabilir. Daha sonra bu üçgenlerin ortalama kazı yüksekli ği bulunarak üçgen prizmaların hacmi hesaplanır. Fakat burada i şlemler oldukça uzun olmaktadır. Hesaplama i şlemi bilgisayar yardımıyla bir programa dayalı olarak yapılmayacaksa yüzey nivelmanı için ı şınsal nivelman tercih edilmemelidir. ÖRNEK: Şekildeki alan, 95.000 m yüksekli ğine kadar kazılacaktır. Verilenler, P noktasının yüksekli ği ve mira okumaları oldu ğuna göre kazı miktarını bulunuz. Mira Okumaları Gözleme Yükseklik Kazı Nokta Geri Orta İleri Düzlemi Kotu H Yüksekli ği (h) P 2.345 102.345 100.000 1 1.954 100.391 5.391 m 2 2.312 100.033 5.033 3 2.564 99.781 4.781 4 1.988 100.357 5.357 5 1.999 1.492 102.852 100.853 5.853 6 2.550 100.302 5.302 7 2.300 100.552 5.552 8 1.640 101.212 6.212 1 2 3 4 5 6 8 7 P 10m 10m 10m 10m 10m I II III IV Geometrik Nivelman 50 5.68867m 3 17.066 3 6.212 5.552 5.302 3 8 h 7 h 6 h IV h 5.516m 4 22.064 4 5.552 5.302 5.853 5.357 4 7 h 6 h 5 h 4 h III h 5.18075m 4 20.723 4 5.552 5.357 4.781 5.033 4 7 h 4 h 3 h 2 h II h 5.547m 4 22.188 4 6.212 5.552 5.033 5.391 4 8 h 7 h 2 h 1 h I h = = + + = + + = = = + + + = + + + = = = + + + = + + + = = = + + + = + + + = 3 IV III II I Toplam 3 IV IV IV 3 III III III 3 II II II 3 I I I 2 IV 2 III II I m 808 . 1908 V V V V V V m 433 . 284 50 68867 . 5 h F V m 600 . 551 100 516 . 5 h F V m 075 . 518 100 18075 . 5 h F V m 700 . 554 100 547 . 5 h F V m 50 2 / 10 10 F m 100 10 10 F F F = + + + = = = * = * = = * = * = = * = * = = * = * = = * = = * = = = 2.7. Hassas Nivelman Hassas nivelman, birinci ve ikinci derece ülke nivelman a ğlarının ölçülmesinde, köprü, baraj, gökdelen gibi mühendislik yapıları ve yakın çevresindeki dü şey yöndeki hareketlerin belirlenmesinde kullanılır. Hassas nivelmanda kullanılan nivoların dürbün büyütmeleri 40–50, silindirsel düzecin duyarlı ğı ya da kompensatörün çalı şma duyarlı ğı 10” den az olmalıdır. Optik mikrometre düzeni bulunan nivolar kullanılır. Aletin sehpası sa ğlam ve tek parça (sürgüsüz) olmalıdır. Genellikle tek parçalı ve 3 m boyunda invar miralar kullanılır. Miraların çift bölümlü olanları ye ğlenir. Hassas nivelmanda daima çift mira kullanılır. Miralar yarım santimetre ya da bir santimetre bölümlü olurlar. Miranın dü şeyli ği mira üzerindeki bir küresel düzeçle kontrol edilir ve miranın sallanmadan durması için mira destekleri kullanılır. Hassas nivelman mutlaka gidi ş-dönü ş olarak ve olanaklıysa farklı zamanlarda yapılmalıdır. Bu şekilde e şit atmosfer ko şullarından do ğabilecek düzenli hatalardan sakınılmı ş olunur. Hassas nivelmanda yüksek bir do ğruluk elde etmek için ölçmeler sırasında şu hususlara dikkat etmek gerekir: 1. Alet, ölçme yaparken sallanmayacak şekilde kurulmalıdır. 2. Miralar, mutlaka mira altlıkları üzerine tutulmalıdır. 3. Aletle mira arasındaki uzaklık 35 metreden fazla olmamak üzere e şit olarak alınmalıdır. Geri ve ileri uzaklıklar arasındaki fark 0.50 metreden fazla olmamalıdır. Geometrik Nivelman 51 4. I şı ğın kırılmasının (refraksiyonun) etkilerini önlemek amacıyla alet mümkün oldu ğunca yüksek kurulmalı ve gözlem ı şını yerden en az 70 cm yüksekten geçmelidir. 5. Mira bölüm başlangıç hatasının etkisini önlemek amacıyla, ölçmeye hangi mira ile ba şlanmı şsa o mira ile bitirilmelidir. Gidi ş-dönü ş ölçmelerine farklı miralarla ba şlanmalı. 6. Düzenli hataların etkisini azaltmak için gidi ş ve dönü ş ölçmeleri mutlaka aynı yol üzerinde yapılmalıdır. 7. Ölçmeler, bulutlu havalarda ya da sabah ve ak şam saatlerinde yapılmalıdır. Hiçbir zaman güne şli havalarda ve ö ğle saatlerinde nivelman yapılmamalıdır. 8. Miralar daima mira payandaları ile desteklenmeli ve mira düzeci yardımıyla tam dü şey durumda tutulmalıdır. 9. Her mira okumasında e ğim vidası yardımıyla silindirsel düzeç, yeniden ve çok iyi ayarlanmalıdır. 10. Mira okumalarında önce gerideki mirada sol bölüm (g ı ), sonra ilerideki mirada sol bölüm (i ı ), daha sonra yine ilerdeki mirada sa ğ bölüm (i ıı ) ve son olarak da gerideki mirada sa ğ bölüm (g ıı ) okunur. 11. Otomatik (kompensatörlü) nivolarda ufuk hatasının etkisini azaltmak için daha dikkatli olunmalı ve alet sürekli aynı miraya do ğru yöneltilerek küresel düzeç ortalanmalı ve ilk mira okuması hep aynı mirada yapılmalıdır (i ı g ı g ıı i ıı ). 12. Ölçmeler ne kadar çabuk yapılırsa o kadar iyi sonuç alınır. 13. Miranın ucu ve mira altlı ğı daima temiz tutulmalıdır. Hassas nivelmanda hesap şu formüllere göre yapılır. [][] 2 ıı ı A B ıı ıı ıı ı ı ı h h H H h i g h i g + = - ? ? ? ? ? = - = - Kontroller ise, [][][] [][][] [][][ ] ıı ı ıı ı ıı ıı ıı ı ı ı h h h h h i g h i g - = - = - = - formüllerine göre yapılır. Bulunan de ğer mira bölümü birimindendir. Nivelmanda tek bölümlü mira kullanılmı ş ise geri ve ileri okumalar yapıldıktan sonra, aletin üçaya ğı oynatılmak suretiyle alet yüksekli ği biraz de ği ştirilip ikinci bir okuma yapılarak çift bölümlü miralarla oldu ğu gibi ölçmeler yapılabilir. Geometrik Nivelman 52 Nokta No Mira No Uzaklık Bakılan Yön g ı i ı (cm) g ı - i ı = h ı [h ı ] (cm) g ıı i ıı (cm) g ıı - i ıı = h ıı [h ıı ] (cm) f=h ı -h ıı [f] A 1 34 m g 115.32 448.83 1 2 34 i 178.27 -62.95 511.79 -62.96 1 1 2 30 g 193.86 527.33 2 1 30 i 177.41 16.45 510.89 16.44 1 -46.50 -46.52 2 2 1 32 g 138.74 472.26 3 2 32 i 221.28 -82.54 554.77 -82.51 -3 -129.04 -129.03 -1 3 2 27 g 193.11 526.62 4 1 27 i 200.24 -7.13 533.73 -7.11 -2 -136.17 -136.14 -3 4 1 25 g 218.47 551.99 5 2 25 i 116.82 101.65 450.34 101.65 0 -34.52 -34.49 -3 5 2 30 g 167.45 500.95 B 1 30 i 136.54 30.91 470.05 30.90 1 350 [g] 1026.95 -3.61 3027.98 -3.59 -2 [i] 1030.56 3031.57 [g]-[i]= -3.61 -3.59 [][] cm 60 3 2 59 3 61 3 2 . . . h h H H ıı ı A B - = + - = + = - 2.8. Kesit Nivelmanı Yol, kanal, yüksek gerilim hattı vb. tesislerin yapımında arazinin boyuna ve enine kesitleri çıkarılır. Boy kesitler güzergâh yönünde, en kesitler de bu yöne dik do ğrultuda çıkarılırlar. İşin amacına ve arazinin topografik yapısına göre, boy kesit için okumalar 20, 50 ya da 100 m de bir ve ayrıca e ğimin de ği şti ği noktalarda yapılır. En kesitlerde ise eksen üzerinde, yolun sol ve sa ğ bitim noktalarında ve ayrıca e ğimin de ği şti ği noktalarda okumalar yapılır. Uzaklıklar, çelik şerit metre ile ölçülürler. 2.8.1. Boy Kesit Şekil 2.26 Boy kesit nivelman krokisi Geometrik Nivelman 53 Boy kesit nivelmanı Mira Okumaları Nokta Uzaklık Geri Orta İleri Gözlem Düzlemi Kotu Yükseklik H Açıklama P6 33 - 1.806 +2 124.808 m 123.000 m A 41 - 35 3.125 +2 2.594 125.341 122.214 1+440 - 40 3.186 +2 1.335 127.194 124.006 1+460 1.487 125.707 1+480 1.306 +2 0.696 127.806 126.498 1+500 2.545 125.261 1+513.25 2.740 125.066 1+520 1.445 +2 0.637 128.616 127.169 1+540 0.791 127.825 1+560 34 - 2.865 +2 1.979 129.504 126.637 B 40 - 34 3.203 +2 0.722 131.987 128.782 P19 - 43 1.473 130.514 m 16.936 9436 7.514 9.436 7.500 7.500 Düzeltme miktarı : 0.014 m = 14 mm 128 127 126 125 Referans Kotu 124 m Ba şlangıca uzaklıklar 1+440 1+460 1+480 1+500 1+513.25 1+520 1+540 1+560 Siyah Kot 124.006 125.707 126.498 125.261 125.066 127.169 127.825 126.637 Kırmızı Kot 124.90 125.33 125.77 126.20 126.49 126.63 127.07 127.50 Şekil 2.27 Boy kesit çizimi 1/1000 1/100 Geometrik Nivelman 54 2 2 0216667 0 00 120 60 2 00 120 90 124 50 127 50 127 90 124 00 120 . % . . . . . . s H H ? tan m ? m . H m . H m . s : Önek AB A B AB B A AB = = = - = - = = = ? ? ? ? ? = = = AB m Aliyman şeklindeki kırmızı çizginin ilk (1+440 m) ve son (1+560) noktalarının yükseklikleri boy kesitten alınır. Yatay uzunlukla kırmızı çizginin e ğiminin çarpımı ile iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanır. İlk noktaya göre hesaplanan yükseklik farkları, ilk nokta yüksekli ğine eklenerek ara noktalardaki kırmızı kotlar elde edilir. m H m m H m 480 1 460 1 77 125 87 0 90 124 867 0 40 0217 0 33 125 43 0 90 124 433 0 20 0217 0 2 440 1 2 1 440 1 1 . . . h H . . h . . . h H . . h s m h i i = + = + = = · = = + = + = = · = · = + + + + ? ? ? ? ? 2.8.2. En Kesit En kesitler genellikle hacim hesapları için kullanılır. En kesit için yapılan yükseklik ve uzunluk ölçümleri genelikle bir kroki üzerine yazılır. E ğer nivonun bir kez kurulmasıyla tüm kesit noktaları ölçülemez ve alet ikinci bir kez daha kurulmu şsa, kroki buna göre düzenlenir. En kesitlerde yatay ve dü şey ölçekler aynı ve genellikle de 1/100 ya da 1/200 alınır. Şekil 2.28 En kesit nivelman krokisi ? s ?h uzunluk yatay farkı yükseklik Eğim s h ? tan m ? = = = = Geometrik Nivelman 55 En Kesit Nivelmanı Ölçüm ve Hesap Çizelgesi Eksenden Mira Okumaları Gözlem Düzlemi Yükseklik Uzaklık Geri Orta İleri Yüksekli ği H Açıklama 10.00 3.242 124.408 8.64 2.853 124.797 Sol 5.26 2.945 124.705 0.00 1.152 127.650 126.498 3.36 2.594 1.075 129.169 126.575 5.85 1.872 127.297 Sa ğ 10.00 1.385 127.784 En kesitler, tip en kesite uygun olarak ölçü de ğerlerine göre çizilir. A şa ğıdaki şekilde bir tip en kesit örne ği görülmektedir. Yarmada şev e ğimi, zeminin cinsine göre de ği şik de ğerler alır. Dolguda şev e ğimi, dolgunun h yüksekli ğine göre de ği şir. Karayollarının kabul etti ği de ğerler: 3/1 için m 3.0 h 1.5 4/1 için < ? < m h 5 . 1 3/2 için m 5.0 h 2/1 için m 5.0 h 3 ? < ? 0 . %2 %2 1/1 1/1 4/1 Tip En Kesit 2.269 - - 045 0. 000 0 728 0 . . %2 4/1 360 3 805 0 . . 850 5 527 1 . . 750 6 870 0 . . - 000 6 120 0 . . - 260 5 065 1 . . - - 640 8 973 0 . . - - 124.000 m 124.408 3.38 5.26 3.36 2.49 1.36 4.15 124.797 124.705 126.498 126.575 127.297 127.784 Uzaklık Siyah Kot 000 10 362 1 . . - - 000 10 120 1 . . - - 000 6 120 0 . . - - 000 10 2 . .014 000 0 0 . .000 1/100 1/100 1/1 %2 Şekil 2.29 En kesit çizimi K.K. 125.77 585 9 966 . . 1 ? = = cot dh s e ğimi Şev Geometrik Nivelman 56 Arazi E ğimi ve Şev E ğimi Aynı Yönde Arazi E ğimi ve Şev E ğimi Ters Yönde 11735 0 850 5 000 10 527 1 014 2 . . . . . m a = - - = s 269 2 045 0 . . - - 260 5 065 1 . . - - 000 0 728 0 . . m a m ş 000 0 000 0 . . x p x m ş m a s x p s m a m ş p s . + + 750 6 1 x .633 000 6. 0.120 - 750 6 633 1 . . 850 5 527 1 . . 585 9 1 . .966 l k m ş x s m a m ş =1/1 000 10 014 2 . . 750 6. 0.870 - a a ş a ş ş a m ) m m ( s m s m s p p m s m s p s p x ) Şevin s x - = › - · = · - · = - · = · - · = › · = + › + = · = › = ş ş ş ş a a m p s m s x m s p x (m e ğimi m s x ) (m e ğimi Arazi a a a ş ş a m p s m s s m p s m s s x m s x p s s x p m + = › = · + · › · - = · · = › = · = › - = · › - = ş ş ş a a m p s m m x m - p x m m 045 0 269 2 02 0 269 2 32087 0 728 0 34087 0 02 0 728 0 34087 0 260 5 793 1 260 5 065 1 728 0 02 0 . . . s m x m . s . . . . . m m p s . . . . ) . ( . m . m ş a ş a ş = · = · = = - = - = - = = = - - = = m 9.585 2.835 6.750 s 6.750 m 1.966 0.333 1.633 x 1.633 (kontrol) m m m m p s m 2.503 (-0.870) - 1.633 p m 1.633 0.106 1.527 1.527 m m a ş = + = + = + = + = - = - · = = · = · = = = - = - = = = = + = + = · = = - = = = 332 0 503 2 835 2 333 0 8353 2 11735 0 8353 2 88265 0 503 2 11735 0 1 503 2 106 0 11735 0 900 0 900 0 850 5 750 6 1 1 1 . . . p m s x . . . s m x . . . . . . . . . . . k m ş a ş l l Geometrik Nivelman 57 2.8.3. Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı Şekil 2.30 Kesitlerle alan hesabı Her hangi bir noktadan ba şlanarak saat ibresinin ters yönünde sırayla tüm koordinat de ğerleri yazıldıktan sonra, ilk noktanın koordinatları tekrar yazılır. + yönündeki okların çarpımlarının toplamından – yöndeki okların çarpımlarının toplamı çıkartılır. = - - - - - - - - - = 00 0 00 0 50 7 15 0 20 10 28 1 15 2 32 1 81 5 40 1 50 9 25 1 50 7 15 0 00 0 00 0 2 . . . . . . . . . . . . . . . . F I 2 I m F 72435 21 4487 43 3865 17 0622 26 2 . . ) . ( . F I = ? = - - = = - - - - - - - - - = 00 0 00 0 50 7 15 0 12 10 23 1 74 6 12 1 95 1 36 1 05 6 22 1 75 9 27 1 50 7 15 0 00 0 00 0 2 . . . . - . . . . . . . . . . . . . . F II 2 II m F 3073 20 6146 40 9588 22 6558 17 2 . . ) . ( . F II = ? = - - = 2.8.4. Kesitlerle Hacim Hesabı 2.8.4.1. Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin ikisi de dolgudur ve aralarındaki uzaklık s=20 m olsun. Bu iki kesit arasındaki hacim (dolgu miktarı), 3 m 3165 420 00 20 015825 21 00 20 2 3073 20 72435 21 2 . . . . . . s F F V II I = · = · + = · + = olarak hesaplanır. -1.40 -5.81 -0.15 7.50 -0.15 -7.50 -0.15 -7.50 -0.15 7.50 0.00 0.00 0.00 0.00 -1.27 -9.75 -1.22 -6.05 -1.36 1.95 -1.12 6.74 -1.23 10.12 -1.28 10.20 -1.32 2.15 -1.25 -9.50 II I h x + - Saat ibresinin ters yönünde - - Geometrik Nivelman 58 2.8.4.2. Kesitlerin Biri Dolgu Di ğeri Yarma Kesitin biri dolgu di ğeri yarma ise, dolgudan yarmaya geçilen nokta bulunarak; dolgu ve yarma hacimleri ayrı ayrı hesaplanır. Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin birisi dolgu di ğeri yarmadır ve aralarındaki uzaklık s=20 m olsun. Bu iki kesit arasındaki kazı ve dolgu miktarı, 2 2 m 667 18 334 37 7495 21 5845 15 2 00 0 00 0 60 6 13 0 7.35 - 0.88 - 75 8 90 0 15 3 04 1 10 9 85 0 50 7 90 0 75 6 13 0 00 0 00 0 2 m 9855 14 971 29 9515 18 095 11 00 0 00 0 70 6 13 0 10 8 95 0 10 4 15 1 95 7 05 1 50 6 13 0 00 0 00 0 2 . F . ) . ( . F . . . . . . . . . . . . . . . . F . F . ) . ( . F . . . . . . . . . . . . . . F y y y d d d = › = - - = - - - - - - = = › = - - = - - - - - - - = A N O F d O D C’ B C A’ D’ B’ M F d F y F y l k MN=s= İki kesit arasındaki uzaklık 2 2 l l l · = = · = = - = + · = · = + · · - · = · - = = y y d d d y d d d y d d y y d F V k F V k s F F F s k F s ) F F ( k F k F s F k k s k k F F hacmi Yarma hacmi Dolgu 0.00 0.00 -0.13 -6.60 -0.13 6.75 -1.15 4.10 0.00 0.00 -0.13 6.70 -0.95 8.10 -0.13 -6.50 -1.05 -7.95 1.04 -3.15 0.90 -8.75 -0.88 -7.35 0.85 9.10 -0.90 7.50 Yarma Dolgu Geometrik Nivelman 59 m 11.094 8.906 - 20.000 k - s m = = = = = + * = + · = l 906 . 8 6525 . 33 71 . 299 667 . 18 9855 . 14 00 . 20 9855 . 14 y d d F F s F k miktarı kazı m miktarı dolgu m 3 3 546 . 103 2 094 . 11 667 . 18 2 730 . 66 2 906 . 8 9855 . 14 2 = * = * = = * = * = l y y d d F V k F V 2.8.4.3. Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Di ğeri Karı şık a DOLGU Y A R M A DOLGU b a-b çizgisinin solunda kalan yerlerdeki hacim hesabı, kesitlerin her ikisinin de aynı olması durumuna göre; sa ğında kalan yerlerdeki hacim hesabı ise kesitlerden birinin dolgu, di ğerinin yarma olması durumuna göre yapılır. F d1 ve F d2 alanlarının hesabı için öncelikle C noktasının koordinat de ğerlerinin hesaplanması gerekir. 02 0 50 12 25 0 50 12 00 0 25 0 . . . . . . m AB - = - = - - = C noktasının eksene uzaklı ğı, D noktasının eksene uzaklı ğı olan 3.85 m de ğerine e şittir. C noktasının yüksekli ği ve koordinat de ğerleri, m m 08 . 0 077 . 0 077 . 0 00 . 0 ) 02 . 0 ( 85 . 3 00 . 0 85 . 3 - ? - = - = - * + = * + = AB A C m H H 85 3 08 0 . . - şeklinde bulunur. 20 6 45 0 . . 85 3 06 1 . . - 12 15 30 0 . . 80 12 26 0 . . - 22 14 05 1 . . - - 70 14 94 0 . . - - 40 13 28 0 . . - - 85 3 08 0 . . - 56 13 12 1 . . - 75 9 34 1 . . - - 50 13 29 0 . . - - 95 8 42 1 . . - - 85 3 07 0 . . - 00 0 00 0 . . 00 0 00 0 . . F d1 F d2 F d3 F y 50 12 25 0 . . - 20 14 18 1 . . - A B C D Geometrik Nivelman 60 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 43225 6 8645 12 7635 17 899 4 85 3 07 0 20 6 45 0 12 15 30 0 56 13 12 1 80 12 26 0 3.85 0.07 2 355 12 71 24 2023 9 9123 33 00 0 00 0 85 3 07 0 75 9 34 1 22 14 05 1 50 13 29 0 00 0 00 0 2 9492 8 m 8985 17 0725 31 174 13 85 3 08 0 50 12 25 0 20 14 18 1 85 3 06 1 85 3 08 0 2 834 19 m 668 39 981 2 649 42 00 0 00 0 85 3 08 0 85 3 06 1 95 8 42 1 70 14 94 0 40 13 28 0 00 0 00 0 2 m . F m . ) . ( . . . . . . . . . . . F m . F m . . . . . . . . . . . . . . . F m . F . ) . ( . . . . . . . . . . . F m . F . . . . . . . . . . . . . . . . . F y y d d d d d d = = - - - = - - - - = = = - = - - - - - - - = = = - - - = - - - - - = = = - = - - - - - - - - = miktarı dolgu Toplam miktarı Kazı 3 2 d 1 d d 3 2 d 2 d 3 3 d 1 d 1 d 3 y y m 97 . 373 08 . 52 89 . 321 V V V m 08 . 52 64 . 11 2 9492 . 8 k 2 F V m 89 . 321 00 . 20 2 355 . 12 834 . 19 00 . 20 2 F F V m 89 . 26 36 . 8 2 43225 . 6 2 F V = + = + = = · = · = = · + = · + = = · = · = l 2.8.4.4. Kesitlerin İkisi de Karı şık 1+560 1+540 F d1 F y1 F d2 F y2 a b F d2 O F y l k m k m F F F k y d d 36 . 8 64 . 11 00 . 20 00 . 20 64 . 11 43225 . 6 9492 . 8 9492 . 8 00 . 20 00 . 20 2 2 = - = - = = + * = + · = l Her iki kesitin solunda ve sa ğında kalan alanlar aynı tür ise (yandaki şekilde oldu ğu gibi), sol ve sa ğ taraf için ayrı ayrı 1. durumda açıklandı ğı şekilde yarma ve dolgu hacimleri hesaplanır. Aksi takdirde 2. durumda açıklandı ğı şekilde hesap yapılır. Geometrik Nivelman 61 Örnek: F d1 =6.14 m 2 F y1 =13.48 m 2 V d =? F d2 =8.25 m 2 F y2 =14.72 m 2 V y =? İki kesit arasındaki uzaklık=1560–1540=20 m 3 2 1 2 1 00 . 282 00 . 20 2 72 . 14 48 . 13 2 3 90 . 143 00 . 20 2 25 . 8 14 . 6 2 m s F F V m s F F V y y y d d d = · + = · + = = · + = · + = 2.9. Nivelmana Etki Eden Hatalar 2.9.1. Düzenli (Sistematik) Hatalar 1. Küreselli ğin (Yerin E ğrili ğinin) Etkisi ' i i dh dh = e şitli ği sa ğlandı ğı anda hata giderilmi ş olur. Bunun için de alet, miraların ortasına kurulmalıdır (s i =s i ’ olmalıdır). s i nin bazı de ğerleri için bu hatanın etkisi hesaplanırsa, a şa ğıdaki çizelgede verilen de ğerler elde edilir. s i 50 m 100 m 250 m 500 m 1 km dh i 0.2 mm 0.78 mm 4.9 mm 1.96 cm 7.85 cm 2. Gözlem Ekseninin Kırılması (Simetrik Kırılma) Gözlem ı şını, geçti ği ortamın etkisiyle küçük bir sapmaya u ğrar. Bu nedenle gözlem ı şını, bir do ğru olmayıp e ğri olur. Bu e ğrinin yarıçapı R’, k R R ı = O R R s i ’ s i dh i ’ i i dh dhi g i g i = Geri okuma i i = İleri okuma 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i dh dh R R s R ) dh R ( s R + · · + = + + = + Dünyanın yarıçapı R ve s uzaklı ğına göre, dh i çok küçük oldu ğundan 2 i dh ihmal edilebilir. Bu durumda, R s dh i · ? 2 2 olur. Geometrik Nivelman 62 ba ğıntısı ile hesaplanır. Burada, R dünyanın yarıçapı, k ı şı ğın kırılma katsayısıdır. Türkiye için ortalama kırılma katsayısı k=0.13 olarak alınır. I şı ğın kırılmasının her bir mira okumasına etkisi, küreselli ğin etkisine benzer şekilde, k R s k R s R s dh ı k · = · = · = 2 2 2 2 2 2 hesaplanır. Alet ortaya kurulmak suretiyle hatanın etkisi ortadan kaldırılabilir. I şı ğın kırılmasının etkisini azaltmak için gözlem ı şınları, yerden en az 70 cm yüksekten geçmelidir. 3. Simetrik Olmayan Kırılma Bu hatanın etkisini azaltmak için, nivelman yolu, sabit e ğimli arazi olarak seçilmemelidir. 4. Artık E ğim Hatası Bu hata düzeç kabarcı ğının iyi ortalanmamasından ileri gelir. Bundan dolayı ortaya çıkacak hatayı e ile gösterirsek, bunun geri ve ileri okumalara etkisi, e s dhe e s dhe i i g g · = · = A düzeç duyarlı ğı olmak üzere, hata miktarı, cc ) m ( i ) mm ( A s dhe · · = - 3 10 4 e şitli ği ile verilmektedir. Hatanı giderilmesi için alet, iki miranın ortasına kurulmalıdır. Örnek: mm 0.075 dhe mm 075 0 5 015 0 25 50 3 10 dhe ım. hesaplayal hatasını e ğim artık dhe göre e verildi ğin olarak 25 A 50 4 (mm) cc = = · = · · · = = = - . . , m s ) m ( 5 . Alet ve Miranın Yere Batmasının Etkisi Hatanın etkisini azaltmak için mira, mümkün oldu ğunca sabit ve sert zeminlere tutulmalı ve alet de sert zeminlere kurulmalıdır. dh g B dh i A dh g ?dh i Arazinin eğiminin fazla oldu ğu durumlarda, ı şı ğın kırılması farklı ortamlarda olmakta ve bu hata ortaya çıkmaktadır. i g i i g g dh dh k R s dh k R s dh ? › ? ? ? ? ? ? ? · · = · · = 2 2 2 2 dh e s e Geometrik Nivelman 63 6. Miranın E ğik Tutulmasından Do ğan Hata Mira d ? kadar e ğik tutulursa, okunması gereken de ğerden dr kadar fazla bir de ğer okunur. da’nın bu de ğeri (1) e şitli ğinde yerine konulursa, 2 2 2 2 1 dr 2 ? ? d r dr r d r · · = › · = · olur. Örnek 1: r=3.5 m, d ?=1 E için dr=? mm 5 0 000533 0 2958 57 1 5 3 2 1 1 5 3 2 1 2 1 2 2 2 . m . ) . ( . ) ( . d r dr o o = = · · = · · = · · = ? ? Örnek 2: r=3.5 m, d ?=2 0 .5 için dr=? mm 3 3 0033 0 2958 57 5 2 5 3 2 1 5 2 5 3 2 1 2 1 2 2 2 . m . ) . . ( . ) . ( . d r dr o o = = · · = · · = · · = ? ? Mira, dikkatlice dik tutulursa, mira e ğikli ğinin etkisi ihmal edilebilir. Bir mira, Çıplak gözle ±2 0 .5 (=0.952 mm/m), Çekülle ±1 0 .5 (=0.343 mm/m), Küresel düzeçle ±0 0 .5 ~1 0 (=0.038 ~ 0.152 mm/m) Küresel düzeç ve mira destekleri ile ±0 E.1 (=0.002 mm/m) lik bir hata ile dik tutulabilir (Banger, 1981). 7. Paralaks Hatası p Düzeç camı Düzeç kabarcı ğı Kabarcık ucu dr C A r d ? O da’ da Gözlem ekseni r Mira B ? d r da üçgeninde OCB (1) 2 da 2 dr da dr da' üçgeninde ABC dr dr 2r da' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 · = › · = + · = + + = › + · = + = + › dr r dr dr r da ) dr r ( ' da r üçgeninde OAB Düzece yandan bakılırsa kabarcık, p kadar kaymı ş görülür. n noktada hata, geri-ileri okumalarında çift etki gösterece ğinden bu kaymanın etkisi, n s p i · · 2 dir. Hata sistematiktir. Bu hatanın yok edilmesi için düzece tam kar şıdan; kontrol için bir kere sa ğdan bir kere de soldan bakılmalıdır. Geometrik Nivelman 64 E ğer düzece, bazen sa ğdan bazen de soldan bakılırsa hata tesadüfidir. Bu durumda hata, S s p s S s p n s p i i i i · · = · · = · · 2 2 2 2 olur. 2.9.2. Düzensiz (Tesadüfi) Hatalar 1. Mira bölümlerinin tesadüfi ortalama hatası, 2. Mira üzerinde tesadüfi ortalama okuma hatası, 3. Nivelman yolunun de ği şik eğimde olması dolayısıyla ı şı ğın kırılmasının ortalama hatası, 4. Düzeçlemeden do ğan ortalama hata, 5. E şit olmayan hedef uzaklıklarından do ğan ortalama hatalardır. Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 65 3. BÖLÜM TR İGONOMETR İK YÜKSEKL İK ÖLÇÜMÜ Yükseklikler genellikle geometrik nivelmanla belirlenir. Minare kule gibi yanına gidilemeyen ya da arazinin çok engebeli oldu ğu durumlarda ve geometrik nivelman inceli ği istenmeyen i şlerde, noktaların yükseklikleri trigonometrik nivelmanla belirlenir. Trigonometrik nivelman, daha çok nirengi noktaları ile takimetrik alımda ve total station benzeri elektronik aletlerle yapılan üç boyutlu kutupsal alımda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Trigonometrik yükseklik belirlemesi için yüksekli ği bilinen bir noktaya teodolit ya da total station kurularak, dü şey açı okunur, alet yüksekli ği ve i şaret yüksekli ği ölçülür. Ayrıca iki nokta arasındaki uzaklı ğın da bilinmesi veya ölçülmesi gerekir. 3.1. Dü şey Açı Şekil 3.1 Dü şey açı İki çe şit dü şey açı vardır. Bunlar zenit (ba şucu) açısı ve e ğim açısıdır. Teodolitlerde dü şey açı ölçme düzenleri genellikle zenit açısı ölçülecek şekilde yapılmı ştır. Dü şey açı bölüm dairesi, daire merkezi yatay eksenle çakı şacak şekilde ve dü şey durumda dürbüne ba ğlanmı ştır. Dürbün a şa ğı yukarı hareket ettirildi ği zaman düşey açı bölüm dairesi de dürbünle birlikte hareket eder. P Z Zenit (Ba şucu) Yatay Z : Zenit (ba şucu) açısı ? : E ğim açısı Z+ ? = 100 g Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 66 3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası Dü şey açı bir gösterge çizgisiyle okunuyorsa, optik eksen tam yatay durumda iken gösterge çizgisinin de tam 100 gradı göstermesi gerekir. Optik eksen yatay durumda iken dü şey açı düzeci ayarlandı ğında gösterge çizgilerini birle ştiren do ğru ile bölüm dairesinin 100 ve 300 grad çizgileri çakı şmıyorsa açı 100 gradtan biraz farklı olacaktır. Bu fazla ya da az okunan miktara gösterge hatası veya dü şey kolimasyon hatası denir. Gösterge çizgilerinin yataylanması dü şey açı düzeci yardımıyla veya kompensatörlerle otomatik olarak sa ğlanmaktadır. Gösterge hatası, ya optik eksen ile bölüm dairesinin 100 g -300 g çizgilerini birle ştiren do ğru, ya da düzeç ekseni ile gösterge ekseni birbirlerine paralel de ğilse olu şur. Şekilde birinci hata ? 1 , ikinci hata ise ? 2 ile gösterilmi ştir. Açı ölçümünde bu iki hatanın toplamı bir tek hata olarak görünür. Dü şey kolimasyon hatası, dü şey açı bölüm dairesinin zenit do ğrultusundan kayıklı ğı olarak dü şünülürse a şa ğıdaki şekilde gösterilebilir. Şekil 3.2 Dü şey kolimasyon hatası ? 1 + ? 2 = 400 g +2 ? ?=( ? 1 + ? 2 - 400 g ) / 2 E ğer alet hatalı de ğilse dürbünün iki durumunda ölçülen zenit açılarının toplamı 400 g olur. 400 gradtan fazla olan miktar, gösterge hatasının iki katıdır. Bunun yarısı ? 1 den çıkarılarak hatasız zenit açısı bulunur. Gösterge hatası her alet kurulan noktada ölçülen bütün açılar için yakla şık olarak e şittir. Bir aletle iki dürbün durumunda yapılan ölçümlerle hatasız zenit açısı elde edilir. Hata büyük olursa hesapta zorluk yarataca ğı ve bir dürbün durumunda yapılan ölçümler hatalı olaca ğından alet ayarlanarak bu hata giderilir. Alette hatanın giderilmesi şöyle yapılır: ? hata miktarı birinci dürbün durumunda okunan açıdan çıkarılarak hatasız zenit açısı Z bulunur. ? ? - = 1 Z ? ? 2 ? 1 O O 0 200 300 100 Zenit (ba şucu) 100 100 200 200 300 300 0 0 Zenit Zenit P P Z ? 1 ? ? 2 ? Z ? 1 = Z+ ? Z =? 1 - ? ? 2 =400 g - Z+ ? Z =400 g -( ? 2 - ?) Birinci dürbün durumu İkinci dürbün durumu Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 67 Sonra alet birinci dürbün durumunda P noktasına yöneltilir ve mikrometre vidası ile okunması gereken Z açı de ğeri ayarlanır. Dü şey açı bölüm dairesinin bölüm (taksimat) çizgileri, dü şey açı düzeçleme vidası yardımıyla çakı ştırılır ve kayan düzeç kabarcı ğı düzeç ayar vidası yardımıyla ortalanarak aletin hatası giderilmi ş olur. Hata giderildikten sonra kontrol için i şlem yinelenir. Örnek: ? 1 =97 g .6586 ? 2 =302 g .3458 6564 . 97 0022 . 0 6586 . 97 0022 . 0 2 0044 . 0 2 400 0044 . 400 2 400 1 2 1 g g g g g Z = - = - = = = - = - + = ? ? ? ? ? 3.1.2. Dü şey Açı Ölçümü ve Hesabı Dü şey açı ölçümü genellikle refraksiyonun (ı şı ğın kırılmasının) az oldu ğu ö ğle saatlerinde yapılmalıdır. Dü şey açılar genellikle 2 silsile olarak ölçülürler. Bir silsile dü şey açı ölçümü şöyle yapılır: Alet nokta üzerine kurulup düzeçlendikten sonra bir P noktasına yöneltilir ve yatay gözlem çizgisinin ortaya yakın bir yeri dürbünün dü şey az hareket vidası yardımıyla noktaya tatbik edilir. Dü şey açı düzeci yataylanır ve dü şey açı okunur. E ğer alet otomatik ise yani gösterge çizgisinin yataylanması bir kompensatör yardımıyla otomatik olarak yapılıyorsa düzecin ayarlanmasına gerek yoktur. Dürbün ikinci duruma getirilir ve yatay gözlem çizgisi tekrar noktaya tatbik edilip, düzeç ayarlandıktan sonra dü şey açı okunur. İkinci silsileye ba şlarken yatay açı ölçümündeki gibi ba şlangıç do ğrultusunun kaydırılması söz konusu de ğildir. DN BN Silsile No Dürbün Durumu Okunan Dü şey Açı ? Z 400 g -Z Ortalama Z v ? V ? 2 A B 1 I 95 g .7718 -30 cc 95 g .7688 95 g .7689 -3 9 II 304.2342 -30 cc 304.2312 400.0060 400.0000 2 I 95.7730 -40 cc 95.7690 +7 49 II 304.2350 -40 cc 304.2310 400.0080 400.0000 C 1 I 107.3641 -35 cc 107.3606 107.3601 +2 4 II 292.6429 -35 cc 292.6394 400.0070 400.0000 2 I 107.3623 -27 cc 107.3596 -6 36 II 292.6431 -27 cc 292.6404 400.0054 ? ort =-33 400.0000 Bir istasyonda s tane noktaya bakılarak n silsile dü şey açı ölçülmü şse, ölçü sayısı n·s olur. Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 68 [] hatası ortalama açının ölçülen silsile n hatası ortalama açının ölçülen silsile Bir n m M 1 s n ] v [ m ? ? ? s n ? v z z 2 ? z i ort i i i ? ± = - · ± = - = - · = hatası ortalama açının bir ölçülen silsile 2 .04 2 5.72 hatası ortalama açının bir ölçülen silsile Bir .72 cc z z cc 2 ? z 4 n m M 5 1 2 2 98 1 s n ] v [ m ± = ± = ± = ± = - · ± = - · ± = Refraksiyon katsayısı, havanın sıcaklık derecesine, yo ğunlu ğuna, rutubetine ve basıncına göre de ği şir. En büyük de ği şmeler sabah ve ak şam saatlerinde, en küçük de ği şmeler ö ğle saatlerinde olmaktadır. Bu nedenle trigonometrik yükseklik ölçümünde dü şey açı ölçümleri ö ğle saatlerinde yapılmalıdır. Bundan ba şka, yere ve su yüzeylerine yakın geçen ı şınlar daha fazla kırıldıklarından, açı ölçümünde ı şınların mümkün mertebe yere ve su yüzeyine yakın olmamasına dikkat edilmelidir. k de ğeri, Türkiye’nin çe şitli bölgeleri için Harita genel Komutanlı ğınca 1/200 000 ölçekli 27 pafta için hesaplanmı ş olan 27 de ğerin ortalaması alınarak 0.13 bulunmu ştur. (C. Songu, Ölçme Bilgisi, ikinci Cilt, 1975). 3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü D t Y a t a y i ?h S Şekil 3.3 Trigonometrik nivelman Şekil 3.3 den, H B = H A + i + h – t ( 3 . 1 ) h = S cotZ Yatay uzunlu ğa göre h = D cosZ E ğik uzunlu ğa göre yazılabilir. h’ın de ğeri yukarıdaki (3.1) e şitli ğinde yerine konursa, H B = H A + i + S cotZ – t (3.2) H B = H A + i + D cosZ – t Z h A B Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 69 e şitlikleri elde edilir. İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine teodolit kurularak, di ğer noktadaki i şarete bakılır ve dü şey açı ile birlikte yatay ya da e ğik uzunluk ölçülür. Ayrıca durulan noktada alet yüksekli ği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da i şaret yüksekli ği ölçülür. Yerin küreselli ğinin ve refraksiyonun (ı şı ğın kırılmasının) etkisi 250 metreye kadar uzunluklarda 1 cm nin altında kaldı ğı için bu iki faktörün etkisi, 250 metreye kadar olan uzunluklarda dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında 250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe olarak adlandırılır. 3.2.1. Kule Yüksekli ği Ölçümü Kule Yüksekli ği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunlu ğunun do ğrudan ölçülüp ölçülmemesine ba ğlı olarak iki şekilde ele alınır. 3.2.1.1. S Uzunlu ğu Ölçülüyor Şekil 3.4 S uzunlu ğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekli ği hesabı h kule yüksekli ği, şekilden de görüldü ğü üzere h = H T - H T’ ba ğıntısı ile hesaplanır. Öncelikle verilenlere göre H T ve H T’ nün hesaplanması gerekir. H T = H A +i+ S cotZ 1 H T’ = H A +i+ S cotZ 2 h = H T – H T’ = S (cotZ 1 – cotZ 2 ) Örnek: Z 1 = 95 g .3674 S = 75.14 m Z 2 = 102 g .1826 h = ? h = S (cotZ 1 – cotZ 2 ) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m h = 8.05 m E ğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekli ği önceden biliniyorsa ya da geometrik nivelmanla belirlenmi şse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin yüksekli ğinin (H T ) hesaplanması yeterlidir. Yine h=H T -H T’ ba ğıntısı kullanılarak h hesaplanır. Bu durumda Z 2 nin ölçülmesine ihtiyaç yoktur; fakat i alet yüksekli ğinin ölçülmesi gerekir. T Z 1 Z 2 h S A T’ i Bilinen: HA Ölçülen: Z1, Z 2 , S İstenen: h = ? Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 70 Örnek : Z = 93 g .7853 S = 86.55 m H A = 125.82 m i = 1.50 m H T’ = 127.39 m h = ? H T = H A + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 = 135.80 m h = H T – H T’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m 3.2.1.2. S Uzunlu ğu Ölçülemiyor a) Yatayda Olu şturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bilinenler : H A , H T’ yükseklikleri İstenen: h = ? Ölçülenler : Z dü şey açısı ?, ß, ?, ? yatay açıları a ve b kenarları T T T’ A S Şekil 3.5 Yatayda olu şturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekli ği hesabı ?) sin( ? sin ? b S ATC ß) sin( ? sin ? a S ABT + · = › + · = › Buradan ortalama S bulunur ve bu de ğerle de H T yüksekli ği hesaplanır. H T = H A + i + S * cotZ h = H T – H T’ Ö r n e k : a = 28.15 m ? = 75 g .1428 b = 23.90 m ß = 67.3920 Z = 95 g .1686 ? = 71.2675 i = 1.50 m ? = 80.4750 H A = 101.00 m H T’ =101.95 m h = ? Z ? a b S A B C ß ? ?Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 71 m ) sin( sin b S m 33.162 ß) sin( ? sin ? a S 142 . 33 ? ? ? = + · = = + · = S ort = 33.152 m H T = H A + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95 g .1686 = = 101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m h = H T –H T’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m b) Dü şey Düzlemde Olu şturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bu yöntemde A, B ve T noktaları, aynı dü şey düzlem içinde olacak şekilde seçilir. Bilinenler: H A , H B , H T’ Ölçülenler : Z A , ZB dü şey açıları d uzaklı ğı i a , i b alet yükseklikleri İstenen: h = ? Şekil 3.6 Dü şey düzlemde iki üçgen olu şturulması H T = H A + i a + (d + e) cotZ A H T = H B + i b + e cotZ B H A +i a + (d+e) cotZ A = H B + i b + e cotZ B e cotZ A - e cotZ B = H B + i b - HA - i a - d cotZ A B A A a b A B cotZ cotZ cotZ d i i H H e - · - - + - = T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat edilmelidir: 1. B noktası, Z B açısı yakla şık 50 g olacak şekilde seçilmelidir. 2. d uzunlu ğu, kule yüksekli ğinin yakla şık iki katı olmalıdır. Bunun için de Z A , 80 g civarında olur. 3. A noktasındaki zenit açısı Z A , Z B ye göre daha hassas ölçülmelidir. 4. d uzunlu ğu hassas bir şekilde ölçülmelidir. 5. Kulenin yüksekli ği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B noktasındaki hesap kontrol için yapılmalıdır. Hesap : H T = H A + i a + (d+e) * cotZ A Kontrol: H T = H B + i b + e * cotZ B 6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir. Z B A d Z A T’ e h T i a i b BTrigonometrik Yükseklik Ölçümü 72 Örnek: Z A = 82 g .1694 i a =1.55 m Z B = 53 g .4961 i b =1.42 m H A = 100.00 m d = 42.76 m H B = 102.15 m h = ? H T’ = 105.24 m m 13.47 105.24 118.71 H H h m 118.709 cot53.4961 16.90 1.42 102.15 H Kontrol m 118.712 cot82.1694 16.90) (42.76 1.55 100.00 H Hesap m 16.903 92 0.60814156 2 10.2796382 cot53.4961 cot82.1694 cot82.1694 42.76 1.55 1.42 100.00 102.15 cotZ cotZ cotZ d i i H H e cotZ e i H cotZ e) (d i H cotZ e i H H cotZ e) (d i H H T T T T B A A a b A B B b B A a A B b B T A a A T = - = - = = · + + = › = · + + + = › = - - = - · - - + - = - · - - + - = · + + = · + + + · + + = · + + + = ' e 3.2.2. Trigonometrik Nivelman Şekil 3.7 Trigonometrik nivelman Trigonometrik nivelmanla iki nokta arasındaki yükseklik farkının bulunmasında, geometrik nivelmandaki geri - ileri ba ğıntısından yararlanılır. B A A a B b A B B b B A a A A B B B A A A B AB cotZ s cotZ s H H cotZ s cotZ s H H ) h ( ) h ( ileri geri H H ?H l l l l l l - + · - · + = · + - · - = - - - - = - = - = Yukarıdaki ba ğıntı * , şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve B noktalarının yüksekliklerini veren ba ğıntılar yazılır ve sonra bu ba ğıntılardan H B -H A olu şturulur. * Bu ba ğıntı çıkartılırken Z A ve Z B nin de ğerleri ne olursa olsun, Z A ve Z B nin 100 g dan küçük, yani h A ve h B nin pozitif oldu ğu şekil 3.7 esas alınır. Z A ve Z B nin tüm de ğerleri için yukarıdaki e şitlik geçerlidir. h A h B l B l A s a s b Z A Z B A B geri ileri P Bilinen : H A Ölçülenler: Z A , Z B , s a , s b , l A , l B İstenen : H B = ? Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 73 B A A a B b A B B A A a B b A B A A a P A B B b P B Z cot s Z cot s H H Z cot s Z cot s H H Z cot s i H H Z cot s i H H l l l l l l - + · - · + = - + · - · = - - · + + = - · + + = Örnek : m HA H H Z s Z s H H Z s Z s H H H A A B A B b A a B A B b B A a A A B AB 66 . 979 m 661 . 979 339 . 20 00 . 1000 46 . 3 20 . 1 782 . 8 817 . 13 00 . 1000 46 . 3 20 . 1 3943 . 95 cot 17 . 121 1871 . 106 cot 72 . 141 00 . 1000 cot cot ) cot ( ) cot ( = = - = + - - - = + - - + = + - - + = - - - = - = ? l l l l 3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunlu ğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması Şekil 3.8 Uzunluk ölçülmeden yükseklik farkının hesaplanması l l l l = - · · = - · = · - · = ? + = · ) Z cot Z (cot s Z cot s Z cot s m Z cot s Z cot s m m Z cot s 2 1 2 1 2 1 1 t i Z cot s H H h ? ) t ( i Z cot s H H h ? Z cot Z cot s 2 A B AB 1 A B AB 2 1 - + · = - = + - + · = - = - = l l h A h B l B l A 141.72 m 121.17 m Z A Z B A B P Bilinen : H B =1000.00 m Ölçülenler : Z A =106 g .1871 Z B =95 g .3943 l A =1.20 m l B =3.46 m İstenen : H A = ? Z 1 Z 2 A B s m l t ?h AB i Ölçülenler : Z 1 , Z 2 , i, t, l İstenen : ?h AB =? Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 74 Örnek: m H H m H H m Z Z s A B A B 57 . 104 90 . 1 9122 . 97 cot 89 . 105 50 . 1 57 . 104 90 . 1 00 . 2 7120 . 96 cot 89 . 105 50 . 1 89 . 105 0188869 . 0 00 . 2 9122 . 97 cot 7120 . 96 cot 00 . 2 cot cot 2 1 = - · + + = = - - · + + = = = - = - = l 3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik Ölçülen büyüklükler, s uzunlu ğu, Z dü şey açısı, i alet yüksekli ği ve t i şaret yüksekli ği ile bunların ortalama hataları da m s , m z , m i , m t olmak üzere kısa uzunluklarda trigonometrik yükseklik ölçümündeki inceli ği bulmak için, ?h AB =H B -H A =s cotZ+i-t formülüne hata yayılma kanunu uygulanırsa; 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 sin cot sin cot t i z s h m m m Z s m Z m dt di dz Z s ds Z dh + + · + · = - + - · = ? ? elde edilir. Örnek : mm m m m Z Z mm m m s m Z mm m mm m mm m m mm m m m m Z s m Z m m h h h g g h h g t h i h s t i z s h cc z 3 3 4.4 7 . ? 6099 . 13 4 4 5544 . 5 0555 . 0 99 90 9 . 100 9796 . 14 4 4 586 . 5 3936 . 1 95 2 2 478 . 19 4 4 834 . 5 644 . 5 15 sin cot 15 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 ± = = = + + + = ? = = ± = = = + + + = ? = ± = ± = ± = = + + + = ± = + + · + · = ± = ? ? ? ? ? ? ? ? ? Z 1 Z 2 A B s m l t ?h AB i Ölçülenler :Z 1 =96 g .7120 Z 2 =97 g .9122 İ= 1.50 m t=1.90 m l= 2.00 m Bilinen : H A =101.50 m İstenen : H B =? Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 75 3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselli ğinin ve ı şı ğın kırılmasının (refraksiyonun) etkisi hesaba katılır. Şekil 3.9 Uzun mesafede trigonometrik nivelman edilir. h konulursa, yerine e e şitli ğind (1) de ğer Bu , oldu ğundan açı küçük üçgeninde AOC (1) üçgeninde k elde R 2 s R 2 s s R 2 s 2 ? tan 2 ? R s ? tan ? ? R s ? tan 2 ? tan s h s h 2 ? tan AEC 2 k k = · = = = ? = = = · = ? = I şın yayı, bir daire yayı olarak alınabilir ve yarıçapı R‘ ile gösterilirse, ı şı ğın kırılmasının etkisi de, yerin küreselli ğinin etkisine benzetilerek R 2 k s k R 2 s R 2 s h 2 2 2 r · = = ' = R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı), R’= R/k (I şın yayının yarıçapı), k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı, h k = Yerin küreselli ğinin etkisi, h r =Refraksiyonun (ı şı ğın kırılmasının) etkisi, ?H = A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı, Z = 100 g – ? h = s * tan ? = s * cot Z O O’ R R’ A B F E C ? 2 ? s ? h h r ?h h k 2 ?Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 76 yazılabilir. Şekilden görüldü ğü gibi, küreselli ğin etkisi daima (+),ı şı ğın kırılmasının etkisi ise eksi daima (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da bilinmiyorsa, ülkemizde k=0.13 ortalama de ğeri kullanılır. 2R s k) (1 s H 2R k s 2R s s H h h h ?H 2 2 2 r k · - + · = · - + · = - + = Z cot ? Z cot ? Alet ve i şaret yükseklikleri de dikkate alınırsa, t i s 2R k) (1 s ?H 2 - + · - + · = Z cot olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekli ği biliniyorsa, bakılan noktanın yüksekli ği a şa ğıdaki e şitlik ile bulunur. t i s R 2 ) k 1 ( Z cot s H H ? H H 2 A A B - + · - + · + = + = Yerin küreselli ğinin ve ı şı ğın kırılmasının etkisi k=0.13, R=6373394 m alınarak, belirli uzunluklar için hesaplanmı ş ve a şa ğıdaki çizelgede verilmi ştir. s i 50 m 100 m 250 m 500 m 1 km h k 0.20 mm 0.78 mm 4.90 mm 9.61 mm 78,45 mm h r -0,03 mm -0.10 mm -0.64 mm -2.54 mm 10.20 mm H k +h r 0.17 mm 0.68 mm 4.26 mm 7.07 mm 68.25 mm Örnek 1: H A = 2000.00 m H B = ? m 45 . 2203 10 . 3 50 . 1 414 . 0 634 . 204 00 . 2000 H 10 . 3 50 . 1 ) 36 . 2462 ( 6373394 2 ) 13 . 0 1 ( 7215 . 94 cot 36 . 2462 00 . 2000 H t i s R 2 ) k 1 ( Z cot s H H B 2 B 2 A B = - + + + = - + · · - + · + = - + · - + · + = 94 g .7215 1.50 3.10 m s=2462.36m A BTrigonometrik Yükseklik Ölçümü 77 Örnek 2: m 755 . 305 m 755 . 105 H m 755 . 105 H H 85 . 1 50 . 1 ) 14 . 345 94 . 762 ( R 2 13 . 0 1 4715 . 103 cot 14 . 345 7524 . 92 cot 94 . 762 ) s s ( R 2 k 1 Z cot s Z cot s H H s R 2 k 1 Z cot s i H H s R 2 k 1 Z cot s i H H A A B 2 2 g g 2 1 2 A 2 B A A B B A B 1 2 A A A C A 2 2 B B B C B H B = + = › = - - + - - + · - · = - + - · - + · - · = - - · - + · + + = - · - + · + + = l l l l I şı ğın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi Şekil 3.10 I şı ğın kırılma katsayısı k nın belirlenmesi Z A Z B s' ? ß 1 ß 2 ? 2 ? 1 C O B A R R' R' s ? i C A B l 2 =1.85 m l 1 =1.50 m 103 g .4715 92 g .7524 s A =345.14 m s B =762.94 m H A =200.00 m H B = ? R=6373 394 mTrigonometrik Yükseklik Ölçümü 78 ? ? ? ? ? ? ? ß ? ß ? ß ß + = + + + = + - - + - - + - = + - = = + + ? 200 Z Z (2) konulursa, e yerlerin de (1) yukarıda de ğer (1) 200 üçgeninden 2 1 B A 2 1 g 2 200 Z 200 Z 200 iki Bu Z 200 Z 200 AOB 2 B 1 A g 2 B 1 A 1 ) ( ) ( elde edilir. AB ı şın yayı bir daire yayı olarak alınırsa, ? 1 = ? 2 olur. İnceli ğe bir etkisi olmadı ğından s’=s alınabilir. Bu durumda, 2 ? k k R 2 s k R 2 s ' R 2 s ? ? 2 1 = · = · = · = = olur. Bu de ğerler (2) de yerlerine konulursa, ? 200 Z Z k 1 ) k 1 ( ? ? k ? 200 Z Z ? 200 ? k Z Z g B A g B A g B A - + = - ? - · = · - = - + + = · + + ? R s ? · = de ğeri yerine radyan cinsinden kar şılı ğı yazılırsa, ? ? g B A g B A 200 Z Z s R 1 k R s 200 Z Z k 1 - + · - = › · - + = - 3.4. Kar şılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı Günümüzde hesaplama araçlarının geli şmi ş olması nedeniyle Z A ve Z B açıları; yakla şık olarak de ğil kesin olarak hesaplanmalıdır. Şekil 3.11 Kar şılıklı gözlemlerle iki nokta arasındaki yükseklik farkının belirlenmesi A B C ?/2 ß 1 Z A Z B D ? ß 2 ? 2 ? 1 O R s ? Deniz yüzeyi H B h H A A B Z’ A s t A i A ?Z B t B i B Z’ B ?Z A Z A Z B D AB D BA LTrigonometrik Yükseklik Ölçümü 79 Z’ : Ölçülen zenit açısı Z : İşaret tepesine indirgenmi ş zenit açısı ?Z A ve ?Z B nin yakla şık hesabı: B B B A A Z Z' Z Z' Z ? ? s i t Z ? Z ? ? s i t Z ? B B B A A A A + = · - = + = · - = Z A ve Z B nin Kesin hesabı: D AB ve D BA e ğik uzunlukları ölçülmemi ş ve s yatay uzunlu ğu verilmişse öncelikle bu e ğik uzunluklar, ; ' ' sin sin BA BA AB AB Z s D Z s D = = e şitlikleri ile hesaplanır. Sonra tanjant teoremine göre yazılan a şa ğıdaki e şitlikten ?Z A hesaplanır. 2 Z 200 Z 2 2 Z 200 2 Z Z 200 Z 2 Z Z 200 Z D a D a A g A A g A A g A A A g A AB AB ' ' ' ' tan tan ) ( tan ) ( tan + - - = - - - - - + = - + ? ? ? ? ? 2 Z 200 D a D a 2 Z 200 Z 2 A g AB AB A g A ' ' tan tan - · + - = + - ? ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = + - 2 Z 200 D a D a atn 2 Z 200 Z 2 A g AB AB A g A ' ' tan ? ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = - - 2 Z 200 D a D a atn 2 Z 200 2 Z 2 A g AB AB A g A ' ' tan ? 2 Z 200 2 Z 200 D a D a atn Z A g A g AB AB A ' ' tan - + ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = ? Benzer şekilde 2 200 2 200 tan ' ' B g B g BA BA B Z Z D b D b atn Z - + ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = ? yazılır. Bir üçgende bir dı ş açı kendisine kom şu olmayan iki iç açının toplamına e şit oldu ğundan, şekle göre B B BA A A AB Z Z Z Z Z Z ? ? + = + = ' ' Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 80 yazılarak Z A ve Z B hesaplanır. Tanjant teoremine göre OAB üçgeninden, 2 ß ß tan 2 ß ß tan ) H R ( ) H R ( ) H R ( ) H R ( 2 1 2 1 A B A B + - = + + + + - + ( 1 ) yazılabilir. 2 ? cot ) 2 ? 2 ? tan( 2 ß ß tan 2 ? 2 ? 2 ? 200 2 ß ß 2 1 g 2 1 = - = + - = - = + 2 ? Z ? Z tan 2 ß ß tan ? Z ? Z ? Z 200 ? Z 200 2 ß 1 ß ) ? Z ( 200 ß ) ? Z ( 200 ß 1 A 2 B 2 1 1 A 2 B 2 B 1 A 2 B g 2 1 A g 1 - - + = - - - + = + + - - - = - + - = + - = yazılabilir. 2 ß ß tan ve 2 ß ß tan 2 1 2 1 - + de ğerleri, yukarıda (1) no lu e şitlikte yerlerine konulursa, 2 ? cot 2 ? Z ? Z tan HA HB R 2 HA HB 1 A 2 B - - + = + + - olur. Buradan ?h AB = H B - H A çekilirse, 2 ? Z ? Z tan ) R 2 H H 1 ( 2 ? tan R 2 H H H ? 2 ? cot 2 ? Z ? Z tan ) R 2 H H 1 ( R 2 H H H ? 1 A 2 B B A A B AB 1 A 2 B B A A B AB - - + · + + · · = - = - - + · + + · = - = ? küçük açı oldu ğundan s ? R 2 s R 2 s 2 ? tan = · ? = = 2 tan 2R yazılabilir. Öte yandan AB ı şın yayı bir daire yayı olarak kabul edilirse ? 1 = ? 2 olur. Ayrıca, m B A H 2 H H = + denilir ve A ile B noktalarındaki i şaret yükseklikleri de dikkate alınırsa, Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 81 B A A B m A B AB t t 2 Z Z tan ) R H 1 ( s H H H ? - + - · + · = - = şeklini alır. Noktalar arasındaki s uzaklı ğı ya da ortalama yükseklik Hm küçük ise parantez içindeki terim ihmal edilebilir. Bu durumda, B A A B A B AB t t 2 Z Z tan s H H H ? - + - · = - = ( 2 ) olur. Formüldeki Z A ve Z B açıları i şaret tepesine indirgenmi ş zenit açılarıdır. A noktasının yüksekli ği biliniyorsa, B noktasının yüksekli ği; B A A B m A AB A B t t 2 Z Z tan ) R H 1 ( s H H ? H H - + - · + · + = + = ( 3 ) şeklinde yazılabilir. AB H ? yükseklik farkı şu formülle de hesaplanabilir: i şaret yükseklikleri dikkate alınmadan A ve B noktaları arasındaki yükseklik farklar ?H AB ve ?h BA , B BA A AB Z cot s H ? Z cot s H ? · = · = biçiminde yazılabilir. Bu iki de ğerin ortalaması alınmak suretiyle, 2 Z cot Z cot s 2 Z cot s Z cot s 2 H ? H ? 2 ) H ? ( H ? H ? B A B A BA AB BA AB AB - · = · - · = - = - + = elde edilir. İşaret yükseklikleri de dikkate alınırsa, B A B A A B AB t t 2 Z cot Z cot s H H H ? - + - · = - = ( 4 ) Yatay uzunluk yerine e ğik uzunluk kullanılırsa (4 ) numaralı e şitlik yerine, B A B A A B AB t t 2 Z cos Z cos D H H H ? - + - · = - = ( 5 ) olur. (4) numaralı e şitlikten elde edilen sonuçla, (2) numaralı e şitlikten elde edilen sonuçlar aynıdır. İki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanırken, önce (2) veya (4) numaralı e şitliklerden birine göre aranan nokta yüksekli ği hesaplanır ve daha sonra, (3) numaralı e şitlikten noktanın kesin yüksekli ği elde edilir. Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 82 3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi Şekil 3.12 Zenit açılarının zemin noktasına indirgenmesi Z’ A , Z’ B : Ölçülen zenit açıları, Z A , Z B : Zemin noktasına indirgenmi ş zenit açıları, D’, D’’ : Ölçülen e ğik uzunluklar, D : Zemin noktaları arasındaki e ğik uzunluk, S : Zemin noktaları arasındaki yatay uzunluk, i A , i B : Alet yükseklikleri, t A , t B : İşaret yükseklikleri olmak üzere; a = t A -i B, b = t B -i A kısaltmaları ile ve uzun mesafede D D D ? ' ' ? ' kabulüyle, ı A sinZ s D = › · = ı A Z sin D s B B B A A A B B A A Z ? Z Z Z ? Z Z Z sin D a Z ? Sin Z sin D b Z ? Sin + ' = + ' = ' · = ' · = ' · = ' · = B 2 A 2 Z sin s a Z sin s b yazılır. 1 Z sin sinZ arasında 2 ? ? - = g g 110 90 Z al ınabilir. B Z ve ? Z ? A nin küçük açılar oldu ğu da dikkate alınırsa; ? s a ? D a Z ? ? s b ? D b Z ? B A · = · = · = · = yazılabilir. A B s D D D D’ t A i A a b t B i B Z’ B Z’ A Z A Z’ A Z B Z’ B D” ?Z A ?Z B Z ATrigonometrik Yükseklik Ölçümü 83 ÖRNEKLER: 1- A ve B noktaları arasında kar şılıklı gözlem yapılmı ştır. A şa ğıdaki verilere göre; a) k kırılma (refraksiyon) katsayısını hesaplayınız. b) H A =2500.00 m verildi ğine göre, B noktasının yüksekli ğini hesaplayınız. 0483 . 0 6620 . 63 38 . 4745 40 . 1 00 . 5 S i t Z 0402 . 0 6620 . 63 38 . 4745 50 . 1 50 . 4 S i t Z g B B B g A A A = · - = · - = ? = · - = · - = ? ? ? 5856 . 96 0483 . 0 5373 . 96 Z 5373 . 96 Z 4518 . 103 0402 . 0 4116 . 103 Z 4116 . 103 Z g B B g A A = + = ? + = = + = ? + = a) 6620 . 63 0374 . 0 38 . 4745 6373394 1 6620 . 63 200 5856 . 96 4518 . 103 S R 1 200 Z Z S R 1 k g B A · - = - + · - = - + · - = ? 21 . 0 789 . 0 1 k = - = b) B A A B A B t t 2 Z Z tan S H H - + - * + = 00 . 5 50 . 4 2 4518 . 103 5856 . 96 tan 38 . 44745 H H A B - + - * + = m 347 . 2243 50 . 0 1525 . 256 00 . 2500 H B = - - = B A A B m A B t t 2 Z Z tan ) R H 1 ( S H H - + - * + · + = m 674 . 2371 2 347 . 2243 00 . 2500 2 H H H B A m = + = + = = - + - * + · + = 00 . 5 50 . 4 2 4518 . 103 5856 . 96 tan ) 6373394 674 . 2371 1 ( 38 . 4745 00 . 2500 H B m 25 . 2243 50 . 0 248 . 256 00 . 2500 H B = - - = ?Z B Z A 103 g .4116 5.00 m 1.40 1.50 4.50 m 96 g .5373 S= 4745.38 m A B Z B ?Z ATrigonometrik Yükseklik Ölçümü 84 2- A ve B noktaları arasında kar şılıklı gözlem yapılıyor. H A =2000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekli ğini ve k kırılma (refraksiyon) katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır). 0158 . 0 6620 . 63 34 . 4785 35 . 0 54 . 1 S t i Z 0121 . 0 6620 . 63 34 . 4785 055 46 . 1 S t i Z g B B B g A A A = · - = · - = ? = · - = · - = ? ? ? 8691 . 93 0158 . 0 8849 . 93 Z 5373 . 96 Z 1715 . 106 0121 . 0 1836 . 106 Z 1836 . 106 Z g B B g A A = - = ? - = = - = ? - = a) 6620 . 63 0406 . 0 34 . 4785 6373394 1 6620 . 63 200 8691 . 93 1715 . 106 S R 1 200 Z Z S R 1 k g B A · - = - + · - = - + · - = ? 15 . 0 849 . 0 1 k = - = b) B A A B A B t t 2 Z Z tan S H H - + - * + = 35 . 0 55 . 0 2 1715 . 106 8691 . 93 tan 34 . 4785 H H A B - + - * + = m 38 . 1536 20 . 0 817 . 463 00 . 2000 H B = + - = B A A B m A B t t 2 Z Z tan ) R H 1 ( S H H - + - * + · + = m 19 . 1768 2 38 . 1536 00 . 2000 2 H H H B A m = + = + = 35 . 0 55 . 0 2 1715 . 106 8691 . 93 tan ) 6373394 19 . 1768 1 ( 34 . 4785 00 . 2000 H B - + - * + · + = m 25 . 1536 20 . 0 946 . 463 00 . 2000 H B = + - = ?Z A 106 g .1836 93 g .8849 S=4785.34 m ?Z B Z B Z A 1.46 1.54 m 0.35 0.55 A BTrigonometrik Yükseklik Ölçümü 85 3- A ve B noktaları arasında kar şılıklı gözlem yapılıyor. H B =3000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekli ğini ve k kırılma katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır). 108 g .3685 91 g .7007 1.60 0.45 A 1 . 5 0 m 0.65 S = 6666.66 m B a) İşaret Tepesine İndirgenmi ş Açılarla Çözüm 0081 0 6620 63 66 6666 65 0 50 1 S t i Z 0110 0 6620 63 66 6666 45 0 60 1 S t i Z g B B B g A A A . . . . . . . . . . = * - = · - = = * - = · - = ? ? ? ? 6926 91 0081 0 7007 91 Z Z Z 3575 108 0110 0 3685 108 Z Z Z g B B B g A A A . . . . . . ' ' = - = - = = - = - = ? ? 45 0 65 0 2 6926 91 3575 108 66 6666 t t 2 Z Z S H H H A B B A B A BA . . . . tan . tan - + - * = - + - · = - = ? m 788 877 45 0 65 0 588 877 H H B A . . . . = - + = - m 788 3877 788 877 00 3000 788 877 H H B A . . . . = + = + = m 89 3438 2 000 3000 788 3877 2 H H H B A m . . . = + = + = 20 0 062 878 45 0 65 0 2 6926 91 3575 108 6373394 89 3438 1 66 6666 H H t t 2 Z Z R H 1 S H H B A A B B A m B A . . . . . . tan ) . ( . tan ) ( + = - + - * + * = - = - + - · + · = - m 3878.26 878.262 3000.000 878.262 H H m B A = + = + = › = - 262 878 H H B A . m 26 3878 H A . = ?Z A 108 g .3685 91 g .7007 S=6666.66 m ?Z B Z B Z A 1.60 1.50 m 0.65 0.45 A BTrigonometrik Yükseklik Ölçümü 86 6620 63 0501 0 66 6666 6373394 1 6620 63 200 6926 91 3575 108 S R 1 200 Z Z S R 1 k g B A . . . . . . · - = - + · - = - + · - = ? 248 0 24765 0 75235 0 1 k . . . ? = - = b) Zemin Noktasına İndirgenmi ş Açılarla Çözüm 108 g .3685 1 . 6 0 1 . 5 0 m 0.65 S = 6666.66 m B 0091 0 6620 63 66 6666 95 0 6620 63 66 6666 65 0 60 1 S b S t i Z g B A A . . . . . . . . = · = · - = · = · - = ? ? ? 0100 0 6620 63 66 6666 05 1 6620 63 66 6666 45 0 50 1 S a S t i Z g A B B . . . . . . . . = · = · - = · = · - = ? ? ? 6908 91 0099 0 7007 91 Z Z Z 3596 108 0089 0 3685 108 Z Z Z 0099 0 624 0001548385 0 7007 91 66 6666 05 1 Z Sin 398 0001400519 0 3685 108 Z Sin g B B B g A A A g 2 B 2 A . . . . . . . . . sin . . . . sin = - = - ' = = - = - ' = = › = · = ' · = = › = · = ' · = ? ? ? ? ? ? B B 2 g A A 2 Z Z sin S a .0089 0 Z 6666.66 0.95 Z sin S b m 796 877 2 6908 91 3596 108 66 6666 2 Z Z S H H H B A B A BA . . . tan . tan = - * = - · = - = ? m 796 3877 796 877 00 3000 796 877 H H B A . . . . = + = + = m 90 3438 2 000 3000 796 3877 2 H H H B A m . . . = + = + = 2 6908 91 3596 108 6373394 90 3438 1 66 6666 2 Z Z R H 1 S H H B A m B A . . tan ) . ( . tan ) ( - * + * = - · + · = - m 3878.27 878.270 3000.000 878.270 H H m B A = + = + = › = - 270 878 H H B A . 6620 63 0504 0 66 6666 6373394 1 6620 63 200 6908 91 3596 108 S R 1 200 Z Z S R 1 k g B A . . . . . . · - = - + · - = - + · - = ? 243 0 2431 0 7569 0 1 k . . . ? = - = 91 g .7007 ?Z B Z A A Z B b=1.60-0.65=0.95 a=1.50-0.45=1.05 ?Z A 0.45 Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 87 Elektronik Takeometrelerle Yapılan Kar şılıklı Gözlemlerle Trigonometrik Yükseklik Ölçümü Aralarındaki yükseklik farkı belirlenecek iki noktada da, a şa ğıdaki şekilde görüldü ğü gibi üzerine reflektör yerle ştirilmi ş birer elektronik takeometre (total station) olmalıdır. Bu iki noktada e ş zamanlı kar şılıklı gözlemlerle dü şey açı ve e ğik uzunluklar ölçülürse, iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanabilir. Elektronik takeometrenin yatay ekseni ile üzerindeki reflektör arasındaki a mesafesinin her alet için, bir kez incelikli olarak ölçülmesi yeterlidir. Daha sonra ölçüm anında yalnızca elektronik takeometrelerin yatay ekseninin zemindeki noktadan olan mesafesinin ölçülmesi yeterli olur. Dü şey açı ölçümünde, yatay gözlem çizgisinin hedef levhasındaki > < i şaretlerinin ortasına tatbik edilmesi yerinde olur. Neper Formüllerine Göre Çözüm: Yukarıdaki şekil ve notasyonlara göre Neper formüllerine göre, 2 Z 200 Z ? 2 tan 2 Z 200 tan 2 ) Z ? Z 200 ( Z ? tan 2 ) Z ? Z 200 ( Z ? tan D a D a ' AB g A ' AB g A ' AB g A A ' AB g A AB AB + - - = - - - - - + = - + 2 Z 200 tan D a D a 2 Z 200 Z ? 2 tan ' AB g AB AB ' AB g A - · + - = + - ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = + - 2 Z 200 tan D a D a atn 2 Z 200 Z ? 2 ' AB g AB AB ' AB g A ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = - - 2 Z 200 tan D a D a atn 2 Z 200 2 Z ? 2 ' AB g AB AB ' AB g A ?Z B Z AB Z’ AB t B i B i A t A Z’ BA S A B Z BA ?Z A L D AB D BA a a aTrigonometrik Yükseklik Ölçümü 88 2 Z 200 2 Z 200 tan D a D a atn Z ? ' AB g ' AB g AB AB A - + ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = Benzer şekilde 2 Z 200 2 Z 200 tan D a D a atn Z ? ' BA g ' BA g BA BA B - + ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = yazılır. B ' BA BA A ' AB AB Z ? Z Z Z ? Z Z + = + = 2 L L L sinZ sinZ DBA L sinZ sinZ D L BA AB BA ' BA BA AB ' AB AB AB + = ? ? ? ? ? ? ? · = › = · = › = BA BA ' BA BA AB AB ' AB AB Z sin D Z sin L Z sin D Z sin L B A BA AB AB t t ) Z cos Z (cos 2 L H ? - + - · = Kosinüs Teoremine Göre Çözüm Bu çözüm yolunda dü şey açının 100 grad civarında olması durumunda, a kenarının çok kısa olması nedeniyle ölçülerin formüllerde yerine konmasıyla anlamsız sonuçlara ula şılabilmektedir. Bu nedenle dü şey açının 100 g civarında oldu ğu durumlarda Neper formüllerine göre çözüm yapılması daha do ğru olacaktır. B A BA AB A B AB t t ) Z cot Z (cot S 2 1 H H H ? - + - · = - = Yatay uzunlu ğa göre B A BA AB A B AB t t ) Z cos Z (cos L 2 1 H H H ? - + - · = - = E ğik uzunlu ğa göre 2 L L L Z cos D a 2 D a L Z cos D a 2 D a L BA AB ' BA BA 2 BA 2 BA ' AB AB 2 AB 2 AB + = ? ? ? ? ? · · · - + = · · · - + = Sinüs teoremine göre, ' AB AB ' AB AB AB Z sin L D L Z sin D Z sin · = › = AB sinZ ) Z sin L D arcsin( Z ) Z sin L D arcsin( Z ' BA BA BA ' AB AB AB · = · = B A BA AB AB t t ) Z cos Z (cos 2 L H ? - + - = Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 89 Örnek: A ve B noktaları arasında kar şılıklı gözlem yapılıyor. A şa ğıdaki verilere göre B noktasının yüksekli ğini bulunuz. ? . . . . . . ' ' = = = = = = = = AB B BA A AB H m t m D m 0.22 a m t m D ? 81 1 475 57 5718 95 Z 80 1 450 57 9388 103 Z g BA g AB a) Neper formüllerine göre çözüm: 2 Z 200 2 Z 200 tan D a D a atn Z ? ' AB g ' AB g AB AB A - + ? ? ? ? - · ? ? ? ? + - = 24326 0 2 9388 103 200 2 9388 103 200 450 57 22 0 450 57 22 0 atn Z g g g A . . . tan . . . . = - + ? ? ? ? - · ? ? ? + - = ? 24316 0 2 5718 95 200 2 5718 95 200 475 57 22 0 475 57 22 0 atn Z g g g B . . . tan . . . . = - + ? ? ? ? - · ? ? ? + - = ? 81496 95 24316 0 5718 95 Z Z Z 18241 104 24326 0 9388 103 Z Z Z g B BA BA g A AB AB . . . . . . ' ' = + = + = = + = + = ? ? m 462 57 460 7 464 7 m 460 57 81496 95 5718 95 475 57 2 5 5 L sinZ sinZ DBA L m 57.464 41 sin104.182 8 sin103.938 57.450 sinZ sinZ D L BA ' BA BA AB ' AB AB AB . . . . . sin . sin . = + = ? ? ? ? ? ? ? = · = · = = · = · = () 81 1 80 1 81496 95 18241 104 2 462 57 t t Z Z 2 L H B A BA AB AB . . . cos . cos . ) cos (cos - + - · = - + - · = ? m 783 3 H AB . - = ? b) Kosinüs teoremine göre çözüm: m L L L m 0.22 L m L 0.22 BA AB 2 AB 2 462 57 2 460 57 464 57 2 460 57 L 5718 95 475 57 22 0 2 475 57 Z D a 2 D a 464 57 9388 103 450 57 22 0 2 450 57 Z D a 2 D a L BA 2 BA BA 2 BA 2 BA 2 AB AB 2 AB 2 AB . . . . . cos . . . cos . . cos . . . cos ' ' = + = + = = * * * - + = · · · - + = = * * * - + = · · · - + = 7823 95 5718 95 462 57 475 57 Z L D Z 1491 104 9388 103 462 57 450 57 Z L D Z g BA BA BA g AB AB AB . ) . sin . . arcsin( ) sin arcsin( . ) . sin . . arcsin( ) sin arcsin( ' ' = = = · = = · = · = = - + - · = - + - = 81 1 80 1 7823 95 1491 104 2 462 57 t t Z Z 2 L H B A BA AB AB . . ) . cos . (cos . ) cos (cos ? m 783 3 H AB . - = ? Trigonometrik Yükseklik Ölçümü 90 Aralarındaki yüksek farkı belirlenecek olan A ve B gibi iki noktanın deniz seviyesinden yükseklikleri fazla de ğilse veya aralarındaki uzunluk çok büyük de ğilse, e ş zamanlı kar şılıklı gözlemlerden iki nokta arasındaki yükseklik farkı şu şekilde de belirlenebilir. A B BA B BA BA B A AB A AB AB t i D R k Z D H t i D R k Z D H - + - + · = ? - + - + · = ? 2 2 2 1 cos 2 1 cos A B BA B BA B A AB A AB BA AB t i D R k Z D t i D R k Z D H H + - - - · - - + - + · = ? - ? 2 2 2 1 cos 2 1 cos 2 2 2 1 2 1 BA AB D R k D R k - ? - ifadeleri birbirine e şit alınabilir. Bu durumda, A B B BA B A A AB BA AB t i Z D t i Z D H H + - · - - + · = ? - ? cos cos olur. Ayrıca BA AB H H ? - = ? oldu ğundan A B B A B BA A AB AB AB AB BA AB t i t i Z D Z D H H H H H + - - + · - · = ? = ? + ? = ? - ? cos cos 2 ) ( ) ( cos cos 2 B A B A B BA A AB AB t t i i Z D Z D H - + - + · - · = ? 2 ) ( ) ( 2 cos cos B A B A B BA A AB AB t t i i Z D Z D H - + - + · - · = ? elde edilir. Z AB t B i B i A t A Z BA S A B D AB D BATakimetri 82 4. BÖLÜM TAK İMETR İ Takimetri yönteminde bir noktanın yatay konumu ile yüksekli ği birlikte belirlenir. Koordinatları ve yüksekli ği bilinen bir noktaya (örne ğin, poligon noktası) takeometre aleti kurularak ölçülecek noktaların konumları kutupsal koordinat yöntemine göre, yükseklikleri de trigonometrik olarak belirlenir. Kutupsal alım yönteminde, ölçülecek noktaların bilinen bir do ğrultuyla yaptı ğı yatay açılar ve alet kurulan noktadan olan uzaklıkları optik olarak ölçülürler. Takimetri yöntemi, genel olarak yol ve demiryolu projelerinin yapımında, havai nakil hatları etütlerinde, konut, fabrika in şaatı alanlarında, yükseklik e ğrili haritaların alımı i şlerinde uygulanır. Şekil 4.1 Takimetrik alım krokisi Takimetri 83 4.1. Takimetrik Alımın Yapılı şı Takimetri ekibi, 1 krokici, 1 operatör (takeometreyi kullanan), 1 yazıcı ve yeterince miracıdan olu şur. Ekibi, krokici yönlendirir. Takimetrik alım için operatör takeometreyi, konumu ve yüksekli ği bilinen (genelde poligon) bir noktaya kurar ve alet yüksekli ğini (aletin üzerine kuruldu ğu zemin noktası ile aletin yatay ekseni arasındaki dü şey uzaklık) çelik şerit ya da mira ile ölçer. Öncelikle konumu ve yüksekli ği bilinen ba şka bir noktaya bakılarak yatay ve dü şey açı okumaları ile birlikte mira okumaları yapılır. Matematiksel olarak bilinen tek bir noktaya bakmak yeterlidir. Fakat kontrol amacıyla bilinen ikinci bir noktaya daha bakılarak aynı okumalar orada da yapılır. Yapılan okumaları, yazıcı takimetrik ölçüm çizelgesine kaydeder. Krokici, miracılarla birlikte ölçülecek yeri dola şarak, detayı yerinde çizer ve miracılara, mirayı tutacakları yerleri gösterir. Her mira tutulan noktaya bir numara verilir ve ölçü krokisinde “x” i şaretiyle (elektrik dire ği, sokak lambası vb. Özel gösterimi olan noktalar hariç) gösterilir. Kontrol amacıyla 10 noktada bir, yazıcı ile numaralar kar şıla ştırılır ve bir hata varsa düzeltilir. Nokta numarası, haritası yapılacak bölge için 1 den ba şlar ve birbirini izleyerek devam eder. Takimetrik olarak yollar, elektrik, telefon direkleri, büyük a ğaçlar, duvar, dere, tepe, şev gibi arazinin karakteristik özellik gösteren yerleri ile yükseklik e ğrilerinin çizimini sa ğlayacak şekilde belli aralıklarla mira tutularak arazi taranır. Bir poligon noktasından alınabilen tüm detayın ölçümleri yapılır. Alet (takeometre) bilinen ba şka bir noktaya kurularak aynı i şlemler tekrarlanır. Noktaların numaralanması kaldı ğı yerden devam eder. Takeometre miraya yöneltilince, gözlem çizgilerinin alt çizgisi (küçük okuma de ğerin oldu ğu çizgi) mirada 100 cm de ğerine tatbik edilir. E ğer 100 de ğeri okunamıyorsa, 200 de ğerine, o da okunamıyorsa 300 de ğerine tatbik edilir. Onlar da görülemiyorsa özellikle a ğaçlık bölgelerde desimetre ba şlangıçlarına da tatbik yapılabilir. Mira üzerinde alt, orta ve üst çizgi okumaları yapılır. Daha sonra yatay açı ve dü şey açı okunur. Yazıcı, operatörün okuduğu de ğerleri takimetrik ölçü çizelgesine kaydeder. Yazıcı, orta-alt çizgi okuma farkı ile üst-orta çizgi okuma farkını alarak bunların birbirine e şit olup olmadı ğını kontrol eder. E ğer farklar, birbirine e şit de ğilse operatörü uyararak mira okumalarını yeniden yapmasını sa ğlar. Bu iki farkın toplamı, aynı zamanda üst çizgi - alt çizgi okuma farkına e şit olması gerekir. Miralar, nokta üzerine küresel düzeci yardımıyla dü şey olarak tutulurlar. Takimetri 84 4.1.2. Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi : Yatay eksen Objektif ? f D’ Şekil 4.2 Uzunlukların optik olarak ölçülmesi l l l l l l · = · = = = + · = = + · = + = + = · = › = 100 k S durumda, Bu dür. 100 k ve 0 C Aletlerde olur. C k S denilirse, k p f C p f C ' D S f ? C p f ' D f p ' D olur. Burada k=100 katsayısı, cm biriminde bulunan mira farklarının m birimine dönü ştürülmesini sa ğlar. Yalnız bu formül, optik eksen yatay, yani miraya dik oldu ğu zaman geçerlidir. Hâlbuki e ğimli arazide optik eksen miraya dik de ğildir. t h B Z ? S A Şekil 10.3 Takimetrik alımda yatay uzunlu ğun ve yükseklik farkının belirlenmesi s C l p Mira Alt çizgi okuması Üst çizgi okuması p i l’ l ? s’ Üst çizgi Alt çizgi ?Takimetri 85 l N = l cos ? S N = C+ k l N = C+ k l cos ? S = S N cos ? = C cos ? + k l cos 2 ? cos ? ?cos 2 ? alınabilir (C küçük bir de ğer ve cos ? da 1 ‘e yakın). S = C cos 2 ? +k l cos 2 ? = (c+k l) cos 2 ? C = 0 ise, yatay uzunluk, S = k l cos 2 ? = k l sin 2 Z olur. h = S’ sin ? = (c + k l cos ?) sin ? = c sin ? + k l sin ? cos ? sin ? ? sin ? = cos ? alınabilir. h = c sin ? cos ? + k l sin ? cos ? = (C + k l) sin ? cos ? h =½ (C+ k l ) sin2 ? C = 0 ise, h = ½ k l sin2 ? = ½ k l sin2Z olur. Ya da S yatay uzunlu ğu bilindi ğine göre h, h = S cotZ = S / tanZ şeklinde hesaplanabilir. Durulan noktadaki alet yüksekli ği i, miradaki orta çizgi okuması (i şaret yüksekli ği) t ise, bakılan noktanın yüksekli ği; H B = H A + i + h –t Ya da h yerine kar şılı ğı yazılırsa, H B = H A + i + ½ k l sin2Z – t H B = H A + i + S / tanZ – t formülleri ile bulunur. Örnek : Yatay Dü şey Mira Orta-Alt Üst-Alt Yatay Yükseklik DN BN Açı Açı Okuması Üst-Orta l Uzunluk h H 100 P 2 P 1 0 g .000 101 g .380 172.3 72.3 144.6 144.53 m -3.134 96.59 m i=1.45 244.6 72.3 H P2 =100.00 100 101.45 P 3 221.150 96.410 151.4 51.4 102.8 102.47 5.785 105.72 202.8 51.4 100 1 21.452 98.483 114 14 28 27.98 0.667 100.98 128 14 200 2 75.765 103.550 241.5 41.5 83 82.74 -4.619 94..42 283 41.5 100 3 125.360 102.130 122.4 22.4 44.8 44.75 -1.498 98.73 144.8 22.4 Kaynaklar 86 KAYNAKLAR Aydın, Ö. : Ölçme Bilgisi 2, Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayın Merkezi, Üniversite yayın no: YTÜ. İN. DN–97.0318, 1997. Banger, G. : Hassas Nivelmanda Hata Kaynakları. İ.Ü. Orman Fakültesi Dergisi, Seri A, 2/1981, Ayrı Baskı. Baumann, E. : Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band I, ISBN 3-427-79041-x, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1986. Baumann, E. :Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band II, ISBN 3-427-79051-7, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1985. Demirel, H. : Harita ve Kadastro Mühendisli ği, sayı:44, 1983 Demir, C.; : Türkiye Ulusal Dü şey Kontrol A ğı (TUDKA-99), Cingöz, A. http://www.hgk.mil.tr Erbudak, M. : Tu ğluo ğlu, A. : Fiziksel Geodezi. İDMMA yayınları Sayı:129, Özarkada ş Matbaası, İstanbul–1976. Gürkan, O. : Fiziksel Jeodezi, Weikkoa Heiskanen ve Helmut Moritz’den çeviri, Karadeniz Üniversitesi Basımevi, Trabzon–1984. Heck, B. : Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung. 2. auflage, Herbert Wichmann Verlag, Heidelberg 1995. Kahmen, H. : Vermessungskunde I, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988. Kahmen, H. : Vermessungskunde III, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988. Koç, İ. :Ölçme Bilgisi I, ISBN 975-95964, İstanbul – 1988. Möser, M.; : Handbuch Ingenieurgeodaesie, Grundlagen. Herbert Wichmann Müller, G.; Verlag, Heidelberg - 2000. Schlemmer, H.; Verner, H. Özbenli, E.; : Ölçme Bilgisi. Pratik Jeodezi. Matbaa Teknisyenleri Basımevi, Tüde ş, T. İstanbul -1972. Özgen, M.G. : Topo ğrafya (Ölçme Bilgisi), İstanbul -1984 Songu, C. : Ölçme Bilgisi, İkinci cilt, Ankara -1975. Kaynaklar 87 Şerbetçi, M. : Ülke Temel Jeodezik A ğın Tarihçesi, Nirengi, Nivelman ve Gravite A ğları, Harita ve Kadastro Mühendisli ği 1992 sayı 72). Şerbetçi, M. : Türk Haritacılı ğı Tarihi s:65, Trabzon 1995 Ulsoy, E. :Matematiksel Geodezi, İDMMA Yayınları Sayı:144, İstanbul 1977 Ulsoy, E. : Ülke Jeodezi A ğları, Ders Notu, İTÜ Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisli ği bölümü, Jeodezi Kürsüsü Yayınları No:2, İstanbul 1976. Uzel, T. : Mimarlık Ölçme Bilgisi, Klasik ve Fotogrametrik Yöntemler, Rölöve Örüklü, E. Çalı şmaları. İDMMA Yayınları Sayı:140 Uzel, T. : Harita ve Kadastro Mühendisli ği. Sayı:83, 1997. Gülal, E. Uzel, T. :Jeodezik Amaçlı Elektromagnetik Ölçmeler C:II. YÜ, İstanbul-1984. AnaBritannica, cilt:18, s:139, Ana Yayıncılık A. Ş. İstanbul, 2000. Açıklamalı-Örneklemeli Büyük Ölçekli Haritaların Yapım Yönetmeli ği, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası – İstanbul Şubesi, 1992. Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeli ği, 2005